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        Fredholm型泛函積分方程基于Nystrm插值的兩層網(wǎng)格解法

        2019-12-05 02:02:54王奇生周惠敏
        關(guān)鍵詞:數(shù)值積分辛普森收斂性

        王奇生,周惠敏

        (五邑大學(xué) 數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院,廣東 江門 529020)

        本文考慮一類Fredholm型泛函積分方程

        其中f(x),α(x),k(x,t)為適當(dāng)光滑的已知函數(shù),u(x)為未知函數(shù),且泛函因子α(x)滿足如下的條件:

        令y=α(t),則

        這樣,將式(1)等價(jià)轉(zhuǎn)化為在子區(qū)間上積分的Fredholm型積分方程(3),其中=±λ,或者[,

        積分方程的數(shù)值解法主要有配置與譜配置方法[1-2]、最佳平方逼近與Galerkin投影逼近方法[3-4]、變分迭代與不動(dòng)點(diǎn)迭代方法[5-6]、無網(wǎng)格與兩網(wǎng)格方法[7-9]和小波與多尺度方法[10-12]等等. 但很少有文獻(xiàn)研究泛函積分方程的兩層網(wǎng)格解法,本文的研究豐富了Fredholm型泛函積分方程的高效數(shù)值方法.

        1 解析解存在唯一性的充分條件

        利用Banach不動(dòng)點(diǎn)原理,給出方程(1)解析解存在唯一性的條件.

        定理1(解析解的存在唯一性) 假設(shè)泛函因子滿足條件(2),并且有

        則積分方程(1)存在唯一解.

        證明令T是C[a,b]到C[a,b]上的映射,有對(duì)任意的u1,u2∈C[a,b]有

        2 粗網(wǎng)格上Nystrm插值解以及其收斂性

        其中n>m.

        選擇網(wǎng)格點(diǎn)為求積節(jié)點(diǎn),分別在粗細(xì)兩層網(wǎng)格構(gòu)造高效數(shù)值求積公式

        其中,求積系數(shù)與余項(xiàng)分別滿足

        令x=yi,并忽略余項(xiàng)得到粗網(wǎng)格上的離散化的線性方程組

        等價(jià)的矩陣方程為

        其中Gm=(gij)(m+1)×(m+1),Um=(um(y0),um(y1),…,um(ym))T,Fm=(f(y0),f(y1),…,f(ym))T,當(dāng)i≠j時(shí),gij=當(dāng)i=j時(shí),

        利用式(4)和(7)可得

        因此,系數(shù)矩陣Gm是嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)矩陣,故

        稱為u(x)在粗網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)上滿足插值條件(12)的Nystrm插值函數(shù),也叫Nystrm插值解. 下面給出粗網(wǎng)格上Nystrm插值解的收斂性結(jié)果.

        定理2(Nystrm插值解的收斂性定理) 設(shè)u(x)為積分方程(3)的真解,um(x)為對(duì)應(yīng)數(shù)值積分公式(5)下的Nystrm插值解,如果均滿足上述條件(2)、(4)、(7),則成立如下的誤差估計(jì)式:

        證明由式(8)減去式(13)得

        利用式(4)和(7)可得

        整理得到

        下面就數(shù)值積分公式分別選取復(fù)化梯形公式和復(fù)化辛普森公式,分別給出Nystrom插值解收斂性結(jié)果的兩個(gè)推論.

        推論1在定理2的條件下,如果數(shù)值積分為復(fù)化梯形公式,則

        推論2在定理2的條件下,如果數(shù)值積分為復(fù)化辛普森公式,則

        3 不動(dòng)點(diǎn)迭代兩網(wǎng)格解以及其收斂性

        對(duì)于方程(3)的數(shù)值積分離散化,其計(jì)算復(fù)雜程度有賴于網(wǎng)格剖分的直徑h,數(shù)值計(jì)算的工作量通常是O(n3),這里n=1/h.因此構(gòu)造合適的兩層網(wǎng)格算法能較好地解決計(jì)算復(fù)雜性的困難.下面分三步介紹一種不動(dòng)點(diǎn)迭代逼近方法,得到細(xì)網(wǎng)格上Nystrm插值解un(x)的逼近解,也稱兩網(wǎng)格解.

        1)選取細(xì)網(wǎng)格解un(x)的初始迭代為粗網(wǎng)格解um(x),即對(duì)任意亦即有初始值

        2)對(duì)任意x∈[a,b],在細(xì)網(wǎng)格上定義Nystrm插值解

        其中βi,zi(i=1,2,…,n)分別為細(xì)網(wǎng)格的求積系數(shù)和剖分節(jié)點(diǎn).

        3)對(duì)任意x∈[a,b]構(gòu)造迭代格式

        證明將式(19)和(20)兩邊相減得到

        這樣,逐步遞推可得

        利用式(4)和(7)可得

        4 數(shù)值例子

        本節(jié)給出了數(shù)值例子闡述上述理論分析的可行性及有效性. 考慮Fredholm型泛函積分方程

        表1 復(fù)化梯形公式下計(jì)算結(jié)果

        表1 復(fù)化梯形公式下計(jì)算結(jié)果

        8 1.316 8e-05 5.327 7e-05 4.734 8e-04 16 3.291 9e-06 4.000 1 1.331 7e-05 4.000 7 1.183 7e-04 4.000 0 32 8.229 5e-07 4.000 1 3.329 2e-06 4.000 1 2.959 3e-05 3.999 9 64 2.057 4e-07 4.000 0 8.323 0e-07 4.000 0 7.398 2e-06 4.000 0

        表2 復(fù)化辛普森公式下計(jì)算結(jié)果

        表2 復(fù)化辛普森公式下計(jì)算結(jié)果

        4 0 0 0 8 3.243 2e-20 0 0 0 0 0 16 7.141 5e-20 0.454 1 2.703 5e-19 0 0 0 32 1.034 6e-19 0.690 3 4.024 5e-19 0.671 8 0 0

        其次將迭代解的收斂率定義為Ratio2=選取(m,n)分別為(8,32)(8,64),(16,64),對(duì)式(24)、(25)以及(26)分別計(jì)算它們的細(xì)網(wǎng)格解un(x)和迭代解之間的最大誤差(見表3),其中3,4,5,6,數(shù)值積分采取復(fù)化梯形公式.最后針對(duì)(α1(x),f1(x))的情況,給出當(dāng)m=8,n=64,k=6時(shí)其真解u(x)、粗網(wǎng)格解um(x)以及迭代解的圖像(見圖4).

        圖4 復(fù)化辛普森公式下(α1(x),f1(x))解的圖像

        表3 復(fù)化梯形公式下計(jì)算結(jié)果

        表3 復(fù)化梯形公式下計(jì)算結(jié)果

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