陳利艷

（安陽(yáng)幼兒師范高等?？茖W(xué)校學(xué)前教育系，河南安陽(yáng)456150）

混合水平正交表在20世紀(jì)60年代初期開(kāi)始引起較多的關(guān)注，近年來(lái)，實(shí)驗(yàn)因素具有不同水平數(shù)的實(shí)際問(wèn)題也促進(jìn)了對(duì)新的正交表的研究。在因素間有交互作用的正交設(shè)計(jì)數(shù)據(jù)分析中，需要用到有交互作用列的正交表[1-3]。因此，對(duì)于構(gòu)造的正交表，知道哪些列是交互作用列顯得非常重要。在混合正交表的構(gòu)造方法中，主要有擴(kuò)張性替換法和壓縮性替換法，其中擴(kuò)張性替換法較為容易，而壓縮性替換法需要原始正交表的結(jié)構(gòu)滿足一定的條件[4-6]，也就是說(shuō)，要用壓縮性替換法構(gòu)造混合正交表時(shí)，首先要知道原始表的結(jié)構(gòu)，或者說(shuō)知道某些列的交互作用列。而且與交互作用列有關(guān)的混雜現(xiàn)象也是正交設(shè)計(jì)的難點(diǎn)[7-9]。但是研究正交表交互作用列的組合結(jié)構(gòu)和性質(zhì)的工作較少［3，10-11]。在文獻(xiàn)[12]中利用交互作用列的線性關(guān)系進(jìn)行替換，即如果一個(gè)正交表包括3個(gè)2水平列，且其中一列是另外兩列在mod2下的和，則這三列可用一個(gè)4水平列來(lái)替換，這種方法可以推廣到任何素?cái)?shù)P，但這僅僅適用于正交表中相同水平列之間，對(duì)于不同水平列之間是不成立的。本文利用矩陣象的概念確定正交表交互作用列的投影矩陣形式，并將其應(yīng)用于壓縮性替換，從而構(gòu)造更多的混合正交表。這種方法沒(méi)有以上限制。

1 基本概念和定理

定義1[11]一個(gè)第j列的元素是0,1,…,sj-1的n×k矩陣，稱為一個(gè)強(qiáng)度為2的正交表，如果滿足以下條件：

（1）每一列中每個(gè)元素出現(xiàn)的次數(shù)相同。

（2）在任兩列ai,aj(1≤i,j≤k)中每一數(shù)對(duì) (0,0),…,(0,sj-1),(1,0),…,(1,sj-1)(si-1,0),…,(si-1,sj-1)出現(xiàn)的次數(shù)相同。

一般地我們假設(shè) 2＜s1＜s2＜…＜sr和k≥1,i=1,2,…,r，我們采用 Taguchi和 Wu[10]的記法，記Ln(s1,…,sk)表示一個(gè)正交表，如果s1,…,sk中一些相同，用表示，這里n表示實(shí)驗(yàn)次數(shù)，如果r≥2稱為一個(gè)混合正交表或非對(duì)稱正交表。

定義2[13]對(duì)正交表Ln(t1×t2×…×tm)來(lái)說(shuō)，若第k列中任二不同水平相應(yīng)于第i,j兩列的水平對(duì)不同時(shí)，則稱第k列為第i,j兩列的交互作用列。

定義3[11]以G={0,1}中元素為元素，并且任兩列正交的矩陣，稱為Hadamard矩陣。

定理1[13]若a,b,c是一個(gè)2水平列的正交表的三列，則c是a,b的交互作用列，當(dāng)且僅當(dāng)m(c)=nm(a)°m(b)

定義4[14]設(shè)是一個(gè)正交表，這里是兩個(gè)行數(shù)為n和p的正交表，并且T是一個(gè)置換矩陣，如果存在行數(shù)為p的正交表，使得，那么可以在正交表Ln中將的第k行替換成的第k行，由此也得到一個(gè)正交表，對(duì)這種情況，稱正交表可以被所替換，這種替換方法稱為正交表廣義替換法。

定理2設(shè)是正交表，則m(L1⊕L2)=m(L1)?m(L2)定理3若a,b,c是正交表Ln(2m)的三列，且a是b,c的交互作用列，則這三列中任兩列都是第三列的交互作用列。

2 應(yīng)用