陳元千，傅禮兵

（中國石油勘探開發(fā)研究院，北京 100083）

產(chǎn)量遞減法是預(yù)測油氣井、油氣藏和油氣田產(chǎn)量和可采儲量的重要方法。它的應(yīng)用不受油氣藏的儲集類型、驅(qū)動類型、流體類型和開采方式的限制，只要進入了產(chǎn)量遞減階段，即可進行方法的選擇和有效的應(yīng)用。Arps［1-2］于1945 年和1956 年提出了指數(shù)、雙曲線和調(diào)和三種經(jīng)典遞減模型。其中指數(shù)遞減模型應(yīng)用最為廣泛，而雙曲線遞減模型應(yīng)用較少，調(diào)和遞減模型出現(xiàn)的概率很低。這主要與三種遞減模型的適用性和預(yù)測結(jié)果的可靠性有關(guān)。陳元千等于2015 年提出的線性遞減模型［3］，僅適用于壓裂后投產(chǎn)而產(chǎn)量遞減較快的致密性砂巖和頁巖的油氣井和油氣藏。陳元千等于2016 年建立的廣義遞減模型［4-5］，對注水開發(fā)油田的加密調(diào)整效果［6］、注聚合物溶液的三次采油效果［7］和重質(zhì)原油熱力開采的效果［8-9］可以作出有效評價。對于致密、超致密的砂巖油氣藏和頁巖油氣井，若在經(jīng)水力壓裂投產(chǎn)后，產(chǎn)量較低，遞減較快，可采用線性或指數(shù)遞減模型進行評價［10］。而對于投產(chǎn)后產(chǎn)量遞減較慢的頁巖水平氣井，可利用筆者建立的冪函數(shù)遞減模型，進行產(chǎn)氣量、累積產(chǎn)氣量和經(jīng)濟可采儲量、采出程度和遞減率的預(yù)測。

1 冪函數(shù)遞減模型的建立

Pareto于1897年提出的負(fù)指數(shù)冪函數(shù)表達(dá)式［11］為:

由（1）式可以看出，當(dāng)x=0 時，y趨于無窮大，這是該函數(shù)的一個特點，也是它的一個缺陷。為了將（1）式用于產(chǎn)量遞減，對（1）式作如下修正:

這樣，由（2）式可以看出，當(dāng)x=0時，y=a，而不是無窮大。若將y改為產(chǎn)量q，x改為時間t，由（2）式得冪函數(shù)遞減的產(chǎn)量為:

由（3）式可以看出，當(dāng)t=0 時，q=a，而a就是t=0時的初始理論產(chǎn)量qi。為了確定（3）式中常數(shù)a和b值，將該式取自然對數(shù)得:

由（4）式可以看出，q與（1+t）之間呈雙對數(shù)直線關(guān)系，故冪函數(shù)遞減又可稱為雙對數(shù)遞減。

已知累積產(chǎn)量與產(chǎn)量的關(guān)系為:

將（3）式代入（7）式，經(jīng)積分后得冪函數(shù)遞減的累積產(chǎn)量為:

若經(jīng)過經(jīng)濟評價確定了經(jīng)濟極限產(chǎn)量qEL后，那么，由（3）式可得與其相對應(yīng)的經(jīng)濟極限生產(chǎn)時間為:

將（9）式代入（8）式，得冪函數(shù)遞減的經(jīng)濟可采儲量為:

由（8）式除以（10）式，得可采儲量的采出程度為:

由（3）式對時間求導(dǎo)得:

已知Arps定義的遞減率［1］為:

將（3）式和（13）式代入（12）式，得冪函數(shù)的遞減率與時間的關(guān)系式為:

由（14）式可以看出，冪函數(shù)遞減的遞減率隨時間的增加呈雙曲線降低，當(dāng)t=0 時，D=Di=b，故由（14）式得:

2 不同遞減模型的對比

表1列出了按Arps遞減指數(shù)劃分的不同遞減模型:n=-1 時為線性遞減；n=0 時為指數(shù)遞減；0＜n＜1時為雙曲線遞減；n=1 時為調(diào)和遞減；1＜n≤2 而n=1/Di時為冪函數(shù)遞減。表1 中的無因次產(chǎn)量qD=q/qi，無因次遞減率DD=D/Di，無因次時間tD=Dit。

表1 不同遞減模型的n，D，DD，q和qD的對比Table1 Comparisons of n，D，DD，q and qD for different decline models

繪制不同遞減模型的無因次產(chǎn)量與無因次時間的典型曲線。由圖1 可看出，線性遞減（n=-1）的典型曲線處在最左邊，其次是指數(shù)遞減（n=0）的典型曲線，接著是雙曲線遞減（n=0.5）和調(diào)和遞減（n=1）的典型曲線，最右邊的是冪函數(shù)遞減（n=2）的典型曲線。利用實際生產(chǎn)的產(chǎn)量遞減數(shù)據(jù)與典型曲線擬合［12］，可以判斷遞減模型，確定遞減常數(shù)和評價可采儲量。

圖1 不同遞減模型無因次產(chǎn)量qD與無因次時間tD的關(guān)系Fig.1 Plot of qD and tD of different decline models

繪制不同遞減模型的無因次遞減率DD與無因次時間tD的關(guān)系曲線。由圖2 可以看出，不同遞減模型的遞減率隨時間變化的理論關(guān)系，冪函數(shù)遞減是遞減最慢的一種遞減模型。

圖2 不同遞減模型的無因次遞減率DD與無因次時間tD的關(guān)系Fig.2 Plot of DD and tD of different decline model

3 應(yīng)用實例

美國賓夕法尼亞州阿巴拉琴盆地的Marcellus頁巖氣藏［13］，A 井和B 井兩口頁巖水平氣井投產(chǎn)后的生產(chǎn)數(shù)據(jù)繪于圖3。按照（4）式的關(guān)系，將兩口井的生產(chǎn)數(shù)據(jù)繪于雙對數(shù)坐標(biāo)系統(tǒng)中，由圖4看出，在雙對數(shù)坐標(biāo)系統(tǒng)中，兩口井的q與1+t具有很好的直線關(guān)系，經(jīng)（4）式的線性回歸求得A 井的α=6.760 8，β=0.522 6，相關(guān)系數(shù)r=0.983 3；B 井的α=6.138 1，β=0.526 6，相關(guān)系數(shù)r=0.985 7。由（5）式和（6）式分別求得:A 井的a=863.33 和b=0.526 6；B 井的a=462.88和b=0.522 6。

圖3 A井和B井產(chǎn)量曲線Fig.3 Production curves of Well A and Well B

圖4 A井和B井的lnq與ln（1+t）的關(guān)系Fig.4 Plot of lnq vs.ln（1+t）of Well A and Well B

將兩口井的a和b值分別代入（3）式，得預(yù)測A井和B井的產(chǎn)量關(guān)系式分別為:

再將A 井和B 井的a和b值分別代入（6）式，得預(yù)測兩口井的累積產(chǎn)量關(guān)系式分別為:

最后，將兩口井的a，b和qEL值分別代入（11）式，得預(yù)測A井和B井的采出程度關(guān)系式分別為:

將兩口井的b值分別代入（11）式，得預(yù)測A 井和B井的遞減率的關(guān)系式分別為:

將（16）式和（17）式預(yù)測兩口井的產(chǎn)量數(shù)據(jù)繪于圖3。由圖3看出，預(yù)測結(jié)果與實際生產(chǎn)數(shù)據(jù)符合得較好。由（18）式和（19）式預(yù)測兩口井的累積產(chǎn)氣量繪于圖5。由圖5可以看出，預(yù)測結(jié)果與實際生產(chǎn)數(shù)據(jù)也符合得很好。由（20）式和（21）式預(yù)測兩口井的采出程度繪于圖6。由（22）式和（23）式預(yù)測兩口井的遞減率繪于圖7。由圖7看出，盡管兩口井的產(chǎn)氣量與可采儲量相差明顯，但遞減率曲線幾乎重合。

圖5 A井和B井的Gp與t的關(guān)系圖Fig.5 Plot of Gp vs.t of Well A and Well B

圖6 A井和B井的R與t的關(guān)系圖Fig.6 Plot of R vs.t of Well A and Well B

圖7 A井和B井的D與t的關(guān)系圖Fig.7 Plot of D vs.t of Well A and Well B

若設(shè)頁巖水平氣井生產(chǎn)的月經(jīng)濟極限產(chǎn)量qEL=30×104m3/mon，將該值與兩口井的a和b值分別代入（10）式，可得A井和B井的經(jīng)濟可采儲量分別為:

4 結(jié)論

通過對Pareto 于1897 年提出的負(fù)指數(shù)冪函數(shù)的修正和推導(dǎo)，建立了冪函數(shù)遞減模型。該遞減模型是對由Arps 提出的指數(shù)遞減、雙曲線遞減、調(diào)和遞減模型以及由陳元千提出的線性遞減模型所構(gòu)成的遞減模型序列的重要補充和完善。Arps 提出的遞減指數(shù)n是判斷和劃分遞減模型的重要參數(shù)。遞減指數(shù)愈大，產(chǎn)量的遞減愈慢。線性遞減的n=-1，雙曲線遞減的0＜n＜1，調(diào)和遞減的n=1，冪函數(shù)遞減的1＜n≤2。因此，冪函數(shù)遞減是最慢的一種遞減模型，而且產(chǎn)量開始遞減得快，而后逐漸變慢。

實際工作經(jīng)驗表明，利用Arps 的指數(shù)遞減和雙曲線遞減模型，以及陳元千的線性遞減模型，對于頁巖水平氣井的產(chǎn)量和可采儲量的預(yù)測，有時達(dá)不到比較可靠的結(jié)果。然而，利用筆者建立的冪函數(shù)遞減模型，對兩口頁巖水平氣井的產(chǎn)量、累積產(chǎn)量、經(jīng)濟可采儲量和遞減率的預(yù)測，取得了比較滿意的結(jié)果。兩口井的遞減指數(shù)幾乎相同，接近于2，屬于遞減最慢的類型。預(yù)測兩口井的經(jīng)濟可采儲量并不高，分別為3.554 3×108m3和1.083 7×108m3，這可能與兩口水平井的水平段較短有關(guān)。

符號解釋

y—冪函數(shù)的因變量；

x—冪函數(shù)的自變量；

q—氣井的產(chǎn)量，104m3/d或104m3/mon；

qi—氣井的初始理論產(chǎn)量（qi=a），104m3/d或104m3/mon；

qD—氣井的無因次產(chǎn)量，dim；

qEL—氣井的經(jīng)濟極限產(chǎn)量，104m3/d或104m3/mon；

Gp—氣井的累積產(chǎn)量，104m3；

GR—氣井的經(jīng)濟可采儲量，104m3；

t—生產(chǎn)時間，d或mon；

tD—無因次生產(chǎn)時間，dim；

tEL—經(jīng)濟極限的生產(chǎn)時間，d或mon；

n—遞減指數(shù)，dim；

D—遞減率，d-1或mon-1；

Di—初始理論遞減率，d-1或mon-1；

DD—無因次遞減率，dim；

R—可采儲量的采出程度，frac；

a和b—冪函數(shù)遞減方程的常數(shù)；

α和β—冪函數(shù)遞減雙對數(shù)直線的截距和斜率。