□ 王志南

【課程內(nèi)容】

奇妙的斐波那契數(shù)列

1.數(shù)史呈現(xiàn)

意大利的數(shù)學(xué)家列昂那多·斐波那契（約1175—1250）在《計(jì)算之書》中提出了一個(gè)有趣的兔子問題：假設(shè)一對小兔子要一個(gè)月成熟，一對成熟兔子每月會(huì)生一對小兔子。那么，由一對小兔子開始，12個(gè)月后會(huì)有多少對兔子？

讓我們來推算一下在第6個(gè)月結(jié)束時(shí)兔子的總數(shù)。

第1個(gè)月：只有1對小兔子；

第2個(gè)月：1對小兔子長成1對大兔子；

第3個(gè)月：這對兔子生了1對小兔子，這時(shí)共有2對兔子；

第4個(gè)月：老兔子又生了1對小兔子，而上個(gè)月出生的兔子剛成熟，這時(shí)共有3對兔子；

第5個(gè)月：這時(shí)已有2對兔子可以生殖，于是生了2對小兔子，這時(shí)共有5對兔子；

第6個(gè)月：這時(shí)已有3對兔子可以生殖，于是生了3對小兔子，這時(shí)共有8對兔子；

第7個(gè)月：……

2.關(guān)系探究

我們可以用列表的方法逐月記錄兔子的繁殖情況，你能把下面的表格填寫完整嗎？

表1 1-12月兔子繁殖情況

到第12個(gè)月時(shí)有大兔子_對，小兔子_對，共有兔子__+__= __對。

觀察上表，你發(fā)現(xiàn)每月小兔對數(shù)與什么有關(guān)？每月大兔對數(shù)與哪些數(shù)量有關(guān)？

每月兔子對數(shù)依次排成一列為：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，……此數(shù)列被稱為斐波那契數(shù)列。如此繼續(xù)下去，是否要一直這樣麻煩地記錄下去呢？不妨讓我們仔細(xì)尋找一下這些數(shù)字之間的關(guān)系吧！請把你的發(fā)現(xiàn)寫出來。

3.點(diǎn)亮生活

一個(gè)樓梯共有10級臺(tái)階，規(guī)定每步可以邁1級臺(tái)階或2級臺(tái)階，從地面到最上面一級臺(tái)階，一共可以有多少種不同的走法？

列表試試看吧！

表2 10級臺(tái)階的不同走法列表

思考：

有5級臺(tái)階時(shí)：若第一次邁1級臺(tái)階，還剩4級臺(tái)階，有幾種走法？

若第一次邁2級臺(tái)階，還剩3級臺(tái)階，有幾種走法？你有什么發(fā)現(xiàn)？

4.規(guī)律延伸

“斐波那契數(shù)列”有什么研究價(jià)值呢？這里我們要提到黃金分割。研究發(fā)現(xiàn)，相鄰兩個(gè)斐波那契數(shù)的比值是隨序號的增加而逐漸逼近黃金分割比的。

【課堂實(shí)錄】

一、故事引入，提出挑戰(zhàn)性問題

師：同學(xué)們，王老師最近看到一則關(guān)于兔子的新聞，說的是澳大利亞兔子泛濫成災(zāi)，讓我們一起去看一看。（播放視頻）

師：同學(xué)們，如果用數(shù)學(xué)的眼光去看這則新聞，你知道了什么？

生：兔子的繁殖能力特別強(qiáng)。

師：是的，看了新聞中的數(shù)據(jù)，我們或許更為震撼！

出示文字：1859年，一些農(nóng)場主將幾只野兔從英國帶到澳大利亞，作為休閑狩獵的獵物。由于沒有鷹、狐貍等天敵，兔子在這里迅速繁殖。70年后，這里的兔子的數(shù)量達(dá)到了驚人的100億只。

師：早在1202年，意大利數(shù)學(xué)家斐波那契就在《計(jì)算之書》中研究過兔子問題，今天我們就隨著斐波那契的腳步一起來研究！

課件出示：如果一對剛出生的小兔子一個(gè)月后就能長成大兔子，再過一個(gè)月便能生下一對小兔子。并且此后每個(gè)月都能生一對小兔子，一年內(nèi)沒有發(fā)生死亡。那么由一對剛出生的兔子開始，到第12個(gè)月會(huì)有多少對兔子呢？

師：同學(xué)們讀懂了嗎？

師：你是怎樣理解第一句話的？

生：一對小兔子到第2個(gè)月就長成了大兔子，要到第3個(gè)月才能生出一對小兔子。

師：一對小兔子下個(gè)月就能生小兔子嗎？

生：不是，小兔子必須長成大兔子后下一個(gè)月才會(huì)生出小兔子。

師：對“此后每個(gè)月都能生一對小兔，一年內(nèi)沒有發(fā)生死亡”這句話怎樣理解？

生：所有的小兔子長成大兔子后，每個(gè)月都能生下一對小兔子，而且不管是小兔子還是大兔子，都能健康成長，沒有死亡。

師：是呀！新出生的小兔子到第3個(gè)月又可以生小兔子，它們生下的小兔子到第3個(gè)月又可以生小兔子。……同學(xué)們，你們能告訴我到第12個(gè)月，到底有多少對兔子嗎？

生：太難了。

師：我國古代的思想家老子說過這樣一句話：“天下難事，必作于易。”就是說遇到難度很大的問題時(shí)，我們應(yīng)該從其中簡單的事物入手，探索發(fā)現(xiàn)它的規(guī)律，然后運(yùn)用這個(gè)規(guī)律來解決這一難題?。ò鍟簭暮唵蔚南肫穑?/p>

師：現(xiàn)在，我們就用這個(gè)法寶嘗試著解決問題吧！大家認(rèn)為開始從第幾個(gè)月研究比較好呢？

生：從第1個(gè)月開始。

二、分層探究，初探兔子數(shù)增長的規(guī)律

探究活動(dòng)一：從一對小兔子開始，到第4個(gè)月時(shí)，一共有多少對兔子呢？你能用自己的方法表示出兔子從第1個(gè)月到第4個(gè)月的對數(shù)變化情況嗎？

師：同學(xué)們準(zhǔn)備怎樣表示一對兔子呢？

生：可以用文字表示，一對小兔子寫“小”，一對大兔子寫“大”。

生：可以用一個(gè)三角形表示一對小兔子，用一個(gè)圓表示一對大兔子。

師：在這里，為了研究的方便，我們統(tǒng)一用一個(gè)三角形表示一對小兔子，用一個(gè)圓圈表示一對大兔子。接下來，請同學(xué)們獨(dú)立研究這個(gè)問題吧！

（學(xué)生探究，教師巡視指導(dǎo)）

學(xué)生匯報(bào)研究結(jié)果。

生：我是這樣表示的（如圖1）。

圖1

生：我不同意他的看法，到第4個(gè)月時(shí)，小兔子會(huì)長成大兔子，同時(shí)原來的大兔子還會(huì)再生一對小兔子。我是這樣畫的（如圖2）。

圖2

師：說得真好，這兒的大兔子每個(gè)月都會(huì)生一對小兔子。

探究活動(dòng)二：到第7個(gè)月時(shí)，一共有多少對兔子呢？你能接著剛才的研究表示出兔子從第1個(gè)月到第7個(gè)月的對數(shù)變化情況嗎？（畫好后在圖的下方標(biāo)上兔子的總對數(shù)）

師：請大家邊畫邊思考兩個(gè)問題：每一個(gè)月大兔子的對數(shù)與上個(gè)月的什么數(shù)量有關(guān)？每一個(gè)月小兔子的對數(shù)與上個(gè)月的什么數(shù)量有關(guān)？

學(xué)生匯報(bào)展示。

生：我是這樣表示兔子對數(shù)變化的（如圖3）。

圖3

師：真厲害！大家發(fā)現(xiàn)每個(gè)月大兔子的數(shù)量和什么有關(guān)了嗎？每一個(gè)月小兔子的對數(shù)和什么有關(guān)？

生：我發(fā)現(xiàn)第5個(gè)月的大兔子數(shù)等于第4個(gè)月的兔子總對數(shù)，第5個(gè)月的小兔子對數(shù)等于第4個(gè)月的大兔子對數(shù)，所以它們之間的關(guān)系可以用這樣的示意圖來表示（如圖4）。

圖4

師：說得真好！到第7個(gè)月一共有多少對兔子？（板書畫△、○，填寫對數(shù)）

師：要想知道第12個(gè)月共有多少對兔子，該怎么辦？有沒有更巧妙的方法呢？

生：我們可以根據(jù)兔子總數(shù)中的規(guī)律，計(jì)算得出答案。

師：為了讓規(guī)律更明確，請同學(xué)們同桌合作，完成探究活動(dòng)三。

探究活動(dòng)三：在表格中將1到12月的兔子數(shù)列舉出來。（板書：列表）

出示表1，學(xué)生活動(dòng)。

師：現(xiàn)在看出兔子數(shù)變化的規(guī)律了嗎？你能接著推算出8到12月兔子的對數(shù)嗎？

師：大家非常能干，都推算出了答案，和剛才自己猜想的結(jié)果對比一下，一樣嗎？

生：相差得很多，我原來猜想只有50對，讓我感到很震撼。

師：意大利數(shù)學(xué)家斐波那契發(fā)現(xiàn)了這個(gè)有趣的數(shù)列，所以這個(gè)數(shù)列就以他的名字命名，叫作斐波那契數(shù)列（揭示課題）。誰能用自己的話說說什么樣的數(shù)列叫作斐波那契數(shù)列？

生：數(shù)列中的數(shù)等于與它相鄰的前兩個(gè)數(shù)的和。

師：我們一起來看看數(shù)學(xué)家總結(jié)的規(guī)律：一個(gè)數(shù)列，如果從第三項(xiàng)起，每一項(xiàng)都是前兩項(xiàng)之和，我們把這樣的數(shù)列稱為斐波那契數(shù)列。

三、深度探究，再探斐波那契數(shù)列之奧秘

師：斐波那契數(shù)列還有怎樣的神奇之處呢？

1.奧秘探索一

探究內(nèi)容：相鄰的兩個(gè)斐波那契數(shù)，如果用前一項(xiàng)除以后一項(xiàng)，它的商大約是多少？它們的商有怎樣的規(guī)律？（除不盡的得數(shù)保留三位小數(shù)）

探究要求：

（1）借助計(jì)算器，同桌兩人合作進(jìn)行研究，將計(jì)算出的得數(shù)填寫在研究記錄中。

（2）說一說：研究中你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律？

（3）從斐波那契數(shù)列中選兩個(gè)較大（后面）的相鄰數(shù)，它們的商還符合這樣的規(guī)律嗎？

學(xué)生交流：

生：我發(fā)現(xiàn)，相鄰的兩個(gè)斐波那契數(shù)，如果用前一項(xiàng)除以后一項(xiàng)，它的商大約是0.618。

師：是一開始商就約等于0.618嗎？

生：不是，它們的商的近似值是越來越接近0.618這個(gè)數(shù)的。

師：如果選兩個(gè)較大的相鄰斐波那契數(shù)，它們的商還符合這樣的規(guī)律嗎？

生：符合。

師：我們發(fā)現(xiàn)，從第三項(xiàng)開始，前后兩個(gè)數(shù)的商越來越接近一個(gè)數(shù)0.618，這個(gè)數(shù)叫作黃金分割數(shù)。看來，斐波那契數(shù)列與黃金比值有關(guān)系！

2.奧秘探索二

（1）寫出下面幾個(gè)斐波那契數(shù)的平方。

（2）探究提示（同桌合作進(jìn)行探究）。

探究內(nèi)容：

將第1個(gè)、第2個(gè)、第3個(gè)斐波那契數(shù)的平方數(shù)相加，和是多少？再繼續(xù)加一個(gè)呢？你能發(fā)現(xiàn)所得的和中隱藏的斐波那契數(shù)嗎？

展示交流：

師：誰來說說你的發(fā)現(xiàn)？

生：我發(fā)現(xiàn) 12+12+22＝2×3，12+12+22+32＝3×5……這里的斐波那契數(shù)的平方相加的和等于兩個(gè)相鄰斐波那契數(shù)的乘積。

師：真厲害！那同學(xué)們知道為什么12+12+22+32+52+82＝8×13嗎？

3.數(shù)形結(jié)合，揭示規(guī)律

師：我們可以借助畫圖來思考?？梢韵犬嬕粋€(gè)邊長1厘米的正方形，它的面積表示為12，再畫一個(gè)邊長1厘米的正方形，它的面積還是12，再畫一個(gè)邊長2厘米的正方形，它的面積是22，接著畫一個(gè)邊長3厘米的正方形，面積用32來表示。接下來怎么畫？

生：接著畫邊長5厘米和邊長8厘米的正方形。

師：同學(xué)們請仔細(xì)觀察，這些小正方形拼起來的大長方形的面積可以怎樣表示？

生：12+12+22+32+52+82。

師：再仔細(xì)觀察大長方形，你還發(fā)現(xiàn)什么？

生：大長方形的長是13厘米，寬是8厘米，所以長方形的面積還可以用8×13來計(jì)算。

師：現(xiàn)在大家明白為什么12+12+22+32+52+82=8×13嗎？

生（齊答）：明白了。

師：大多數(shù)植物的花，其花瓣數(shù)都恰好是斐波那契數(shù)。例如，蘭花、茉莉花、百合花有3個(gè)花瓣，毛茛屬的植物有5個(gè)花瓣，翠雀屬植物有8個(gè)花瓣，萬壽菊屬植物有13個(gè)花瓣，紫菀屬植物有21個(gè)花瓣，雛菊屬植物有34，55或89個(gè)花瓣。所以斐波那契數(shù)列又被稱為“大自然的密碼”“上帝的指紋”！斐波那契數(shù)列的更多奧秘有待于我們?nèi)ニ伎肌⑷ヌ剿鳌?/p>

【教后反思】

斐波那契數(shù)列是人教版六年級數(shù)學(xué)教材中“比的認(rèn)識”部分的補(bǔ)充內(nèi)容，大部分教師在教學(xué)時(shí)將其作為一個(gè)課外拓展故事進(jìn)行簡要介紹，不會(huì)引導(dǎo)學(xué)生對斐波那契數(shù)列進(jìn)行探究。事實(shí)上，這一教學(xué)素材可以充分地引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行自主探究和數(shù)學(xué)思考，運(yùn)用多種解題策略綜合性地解決問題，是教學(xué)黃金分割比的有益補(bǔ)充，學(xué)生在探索過程中可以體驗(yàn)到數(shù)學(xué)的神奇。

那么，怎樣挖掘斐波那契數(shù)列中所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)教學(xué)價(jià)值呢？

一、挑戰(zhàn)性問題驅(qū)動(dòng)，引領(lǐng)學(xué)生走向數(shù)學(xué)深度學(xué)習(xí)

斐波那契數(shù)列非常奇妙，如果教師引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行開放性的探究，學(xué)生則會(huì)在探索中發(fā)現(xiàn)其中的奧妙。這里的“奧妙”不僅是數(shù)學(xué)規(guī)律，更著眼于在探究中思考為什么存在這樣的規(guī)律，引領(lǐng)學(xué)生走向數(shù)學(xué)深度學(xué)習(xí)。

數(shù)學(xué)深度學(xué)習(xí)是以知識深度加工、意義建構(gòu)和深度思維為主要特征，以理解、應(yīng)用、分析、推理、綜合、評價(jià)、創(chuàng)造等高層次認(rèn)知活動(dòng)為主要內(nèi)容的學(xué)習(xí)活動(dòng)。就“斐波那契數(shù)列”一課的教學(xué)而言，教學(xué)目標(biāo)不能僅僅局限于發(fā)現(xiàn)其中的數(shù)學(xué)規(guī)律，更在于在探索數(shù)學(xué)規(guī)律的過程中，綜合運(yùn)用多種數(shù)學(xué)方法展開“全景式”的數(shù)學(xué)探究活動(dòng)，培養(yǎng)和激發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)探究精神。

二、分層探究，助力學(xué)生自主發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)規(guī)律

教學(xué)時(shí)，教師分三個(gè)層次引領(lǐng)學(xué)生進(jìn)行自主探究：一是探究兔子從第1個(gè)月到第4個(gè)月的對數(shù)變化情況，意在引導(dǎo)學(xué)生“從簡單想起”，同時(shí)促進(jìn)學(xué)生對“一對剛出生的小兔子1個(gè)月后就能長成大兔子，再過1個(gè)月便能生下一對小兔子”“此后大兔子每個(gè)月都能生一對小兔子”等題意的理解。二是探究兔子從第1個(gè)月到第7個(gè)月的對數(shù)變化情況，并啟發(fā)學(xué)生思考，每個(gè)月大兔子的對數(shù)與上個(gè)月的什么數(shù)量有關(guān)？每個(gè)月小兔子的對數(shù)與上個(gè)月的什么數(shù)量有關(guān)？三是引導(dǎo)學(xué)生依據(jù)發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，將1到12月的兔子數(shù)用表格表示出來，讓學(xué)生真正地理解兔子繁殖問題中數(shù)量之間的關(guān)聯(lián)，有利于學(xué)生自主發(fā)現(xiàn)其中的數(shù)學(xué)規(guī)律。同時(shí)，畫圖、列表等多種策略的運(yùn)用，有利于培養(yǎng)學(xué)生綜合運(yùn)用多種策略解決問題的能力。

三、“結(jié)構(gòu)化”探究，帶領(lǐng)學(xué)生體驗(yàn)數(shù)學(xué)之妙

斐波那契數(shù)列之奇妙，不僅僅在于樹木的枝丫、向日葵的花瓣中，更在于斐波那契數(shù)列本身所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)規(guī)律中。例如教學(xué)中，一是引導(dǎo)學(xué)生從第三項(xiàng)起，探索相鄰的兩個(gè)斐波那契數(shù)的商的規(guī)律，發(fā)現(xiàn)其比值接近黃金分割比；二是讓學(xué)生探索斐波那契數(shù)的平方和的規(guī)律，由此引發(fā)學(xué)生思考：為什么12+12+22+32+52+82＝8×13，數(shù)形結(jié)合的精彩演繹讓學(xué)生恍然大悟，驚嘆不已?！敖Y(jié)構(gòu)化”的再探究，使學(xué)生發(fā)現(xiàn)斐波那契數(shù)列更為豐富、深刻的數(shù)學(xué)規(guī)律，體驗(yàn)到數(shù)學(xué)的奇妙和魅力。