(海軍航空大學(xué)，山東 煙臺(tái) 264001)

測(cè)試性是需要在裝備設(shè)計(jì)中予以考慮并實(shí)現(xiàn)的一種設(shè)計(jì)特性，旨在及時(shí)準(zhǔn)確地確定裝備的運(yùn)行狀態(tài)，同時(shí)實(shí)現(xiàn)對(duì)裝備故障進(jìn)行有效隔離的目的[1]。隨著測(cè)試性技術(shù)的快速發(fā)展，對(duì)測(cè)試性水平進(jìn)行評(píng)估的測(cè)試性驗(yàn)證試驗(yàn)成為了當(dāng)前測(cè)試性工程領(lǐng)域中亟需解決的問(wèn)題。測(cè)試性驗(yàn)證的實(shí)施旨在通過(guò)試驗(yàn)的方式檢驗(yàn)和衡量裝備是否滿(mǎn)足規(guī)定的測(cè)試性指標(biāo)要求，以此來(lái)指導(dǎo)裝備測(cè)試性水平的提升[2]。

現(xiàn)階段，國(guó)內(nèi)外指導(dǎo)測(cè)試性驗(yàn)證試驗(yàn)方案多采用故障注入的方式[3-4]，即在裝備中注入確定的故障樣本量，然后用規(guī)定的方法對(duì)故障進(jìn)行檢測(cè)/隔離判定，用以得到滿(mǎn)足指標(biāo)要求值所允許的合格判定數(shù)。可見(jiàn)，故障注入的首要環(huán)節(jié)就是故障樣本量的確定，而故障注入試驗(yàn)的危害性使得所有故障樣本的注入無(wú)法進(jìn)行[5]，所以如何科學(xué)合理有效地確定故障樣本量，以及使確定的故障樣本量盡可能小是研究的重難點(diǎn)。而方案設(shè)計(jì)的方法多為國(guó)軍標(biāo)準(zhǔn)[6-7]，同時(shí)相關(guān)研究者也針對(duì)如何有效降低故障樣本量的方法進(jìn)行了一些研究[8-10]。針對(duì)經(jīng)典測(cè)試性驗(yàn)證方案，文獻(xiàn)[11]以故障檢測(cè)率(FDR)為驗(yàn)證指標(biāo)，基于研制階段試驗(yàn)數(shù)據(jù)和專(zhuān)家經(jīng)驗(yàn)數(shù)據(jù)運(yùn)用Bayes方法確定測(cè)試性驗(yàn)證試驗(yàn)的樣本量，較之經(jīng)典驗(yàn)證方案而言，樣本量得到了一定程度的降低。文獻(xiàn)[12]利用信息熵度量驗(yàn)前信息，將驗(yàn)前信息等效為成敗型數(shù)據(jù)，并以某型雷達(dá)發(fā)射分機(jī)為例驗(yàn)證了該方案能有效降低試驗(yàn)所需樣本量。文獻(xiàn)[13]運(yùn)用證據(jù)理論的方法，建立了基于融合不同種類(lèi)研制信息的測(cè)試性驗(yàn)證試驗(yàn)方案，結(jié)果表明測(cè)試性驗(yàn)證所需樣本量較之經(jīng)典驗(yàn)證方案降低，隨著研制信息量的增加，所確定的故障樣本量保持減少的趨勢(shì)。但上述文獻(xiàn)對(duì)于驗(yàn)前信息的依賴(lài)較大，當(dāng)驗(yàn)前信息不充足時(shí)所確定的故障樣本量仍然較大，不利于導(dǎo)彈等高精度武器裝備的測(cè)試性驗(yàn)證試驗(yàn)的實(shí)施。針對(duì)SPRT測(cè)試性驗(yàn)證方案，文獻(xiàn)[14]以某型導(dǎo)彈飛行控制系統(tǒng)為研究對(duì)象，提出一種基于SPRT方法的測(cè)試性驗(yàn)證試驗(yàn)方案，所確定的故障樣本量較之經(jīng)典驗(yàn)證方法有明顯降低。文獻(xiàn)[15]以二項(xiàng)分布模型為基礎(chǔ)，基于Bayes方法和SPRT方法設(shè)計(jì)并制定了測(cè)試性驗(yàn)證試驗(yàn)方案，結(jié)果表明新方案所確定的平均樣本量?jī)?yōu)于SPRT方法。但上述文獻(xiàn)在試驗(yàn)確定前無(wú)法控制抽樣樣本量，雖然采取了一定的截尾措施，但是所確定的樣本量仍存在較大的問(wèn)題，不利于導(dǎo)彈等武器裝備的實(shí)際驗(yàn)證試驗(yàn)。

為此，結(jié)合SPRT方法的優(yōu)點(diǎn)，以承制方和使用方指標(biāo)值構(gòu)建檢驗(yàn)問(wèn)題，在此基礎(chǔ)上確定檢驗(yàn)點(diǎn)個(gè)數(shù)以及檢驗(yàn)點(diǎn)取值和最大樣本量的優(yōu)化約束問(wèn)題，同時(shí)考慮最大樣本量仍較大情況下的優(yōu)化截尾問(wèn)題，實(shí)現(xiàn)基于SMT方法的測(cè)試性驗(yàn)證方案的設(shè)計(jì)。

1 問(wèn)題描述

1.1 經(jīng)典測(cè)試性驗(yàn)證方案

經(jīng)典測(cè)試性驗(yàn)證方法以二項(xiàng)分布模型為基礎(chǔ)，采用單次抽樣方法，通?？梢圆捎贸闃犹匦院瘮?shù)進(jìn)行描述[16]：

(1)

式中,p為測(cè)試性指標(biāo);(N,C)為需要確定的故障樣本量以及合格判定數(shù);F為驗(yàn)證試驗(yàn)時(shí)未能成功檢測(cè)/隔離故障的次數(shù)。

當(dāng)給定承制方風(fēng)險(xiǎn)值α和使用方風(fēng)險(xiǎn)值β時(shí)，(N,C)的求解需滿(mǎn)足以下不等式約束條件：

(2)

式中,p0為承制方指標(biāo)要求;p1為使用方指標(biāo)要求。

研究表明，給定指標(biāo)參數(shù)(p0,p1,α,β)后，通過(guò)式(2)的約束能在驗(yàn)證試驗(yàn)開(kāi)展前確定試驗(yàn)所需樣本量，但所確定的樣本量過(guò)大，不利于導(dǎo)彈武器裝備的測(cè)試性驗(yàn)證試驗(yàn)。

1.2 SPRT測(cè)試性驗(yàn)證方案

考慮假設(shè)檢驗(yàn)問(wèn)題：

H0:p=p0,H1:p=p1

(3)

每次故障注入試驗(yàn)后，以n表示當(dāng)前試驗(yàn)的總次數(shù)，以c表示n次驗(yàn)證試驗(yàn)中累積驗(yàn)證失敗的次數(shù)，則可以得到兩種假設(shè)似然函數(shù)比為

(4)

根據(jù)雙方風(fēng)險(xiǎn)α和β，即可確定似然函數(shù)比的上下閾值，通過(guò)判定λn和閾值的關(guān)系，即可對(duì)導(dǎo)彈裝備做出相應(yīng)的接受/拒收判決。

SPRT測(cè)試性驗(yàn)證方案在驗(yàn)證試驗(yàn)開(kāi)展前不能給出試驗(yàn)所需的樣本量，只能通過(guò)驗(yàn)證試驗(yàn)動(dòng)態(tài)決定，通常采用平均樣本量作為其度量指標(biāo)。Wald[17]給出了SPRT方法的近似平均抽樣次數(shù)，并證明了相同的指標(biāo)約束條件下，SPRT方法所需的平均抽樣次數(shù)要小于經(jīng)典測(cè)試性驗(yàn)證方案所確定的固定樣本量。

研究表明，SPRT方法下樣本量是一個(gè)隨機(jī)變量，由于樣本量的隨機(jī)性，會(huì)導(dǎo)致試驗(yàn)開(kāi)展過(guò)程中存在最大樣本量無(wú)法控制的情況，進(jìn)而導(dǎo)致驗(yàn)證試驗(yàn)無(wú)法繼續(xù)開(kāi)展。

2 SMT測(cè)試性驗(yàn)證試驗(yàn)方案

針對(duì)經(jīng)典測(cè)試性驗(yàn)證方案所確定的故障樣本量過(guò)大以及SPRT方法無(wú)法預(yù)先控制試驗(yàn)樣本量的問(wèn)題，同時(shí)結(jié)合SPRT平均抽樣次數(shù)優(yōu)于經(jīng)典測(cè)試性驗(yàn)證方法的優(yōu)點(diǎn)，設(shè)計(jì)一種基于SMT方法的測(cè)試性驗(yàn)證試驗(yàn)方案，旨在保證平均樣本量較小的基礎(chǔ)上，試驗(yàn)最大樣本量可控且能達(dá)到最小值。

2.1 插入點(diǎn)數(shù)量確定

SMT測(cè)試性驗(yàn)證試驗(yàn)方案是在SPRT方法的基礎(chǔ)上，通過(guò)插入m-1個(gè)檢驗(yàn)點(diǎn)對(duì)假設(shè)檢驗(yàn)問(wèn)題進(jìn)行拆分，轉(zhuǎn)化為m個(gè)假設(shè)檢驗(yàn)問(wèn)題：

(5)

每個(gè)假設(shè)問(wèn)題均可以看成是一個(gè)SPRT驗(yàn)證方案，故均能得到一組平行線作為判決邊界，由于各假設(shè)檢驗(yàn)問(wèn)題判決邊界的斜率與檢驗(yàn)點(diǎn)相關(guān)，所以通過(guò)m組平行線的交互即可確定試驗(yàn)最大樣本量，同時(shí)能得到判決邊界。在式(5)基礎(chǔ)上首先考慮插入2個(gè)檢驗(yàn)點(diǎn)的情形，則有：

(6)

顯然對(duì)于檢驗(yàn)問(wèn)題(5)，由第1組假設(shè)檢驗(yàn)對(duì)H01及H11可以確定拒絕p=p0的判決邊界，并且判決邊界由檢驗(yàn)點(diǎn)p0、p2以及雙方風(fēng)險(xiǎn)值α、β共同確定；由第m組假設(shè)檢驗(yàn)對(duì)H0m及H1m可以確定接受p=p1的判決邊界，并且判決邊界由檢驗(yàn)點(diǎn)pm、p1以及雙方風(fēng)險(xiǎn)值α、β共同確定。而通過(guò)假設(shè)檢驗(yàn)問(wèn)題能得到同樣的接受/拒收判決邊界，可見(jiàn)插入m-1個(gè)檢驗(yàn)點(diǎn)和插入2個(gè)檢驗(yàn)點(diǎn)具備相同的判決邊界。

假設(shè)檢驗(yàn)問(wèn)題(5)和問(wèn)題(6)不同之處在于其余的m-2個(gè)插入點(diǎn)會(huì)對(duì)SMT方法所確定的最大樣本量的值產(chǎn)生影響，但同時(shí)增加插入點(diǎn)會(huì)增加計(jì)算的復(fù)雜度。由于在確定最大樣本量后仍會(huì)對(duì)截尾策略進(jìn)行研究，本文考慮假設(shè)檢驗(yàn)問(wèn)題(6)中p2=pm的情形，即實(shí)施SMT測(cè)試性驗(yàn)證方案的實(shí)際插入點(diǎn)為1個(gè)。

2.2 最大樣本量確定

基于2.1節(jié)插入點(diǎn)數(shù)量確定原則，假設(shè)檢驗(yàn)問(wèn)題可以表示為

(7)

對(duì)假設(shè)檢驗(yàn)問(wèn)題進(jìn)行如式(4)所示的序貫概率比檢驗(yàn)，則可以得到如下所示的4條直線：

(8)

式中,s1、s2為接收/拒收線的斜率;h1、h2為截距，具體可通過(guò)式(9)求解。

(9)

式中，參數(shù)A和B由承制方風(fēng)險(xiǎn)和生產(chǎn)方風(fēng)險(xiǎn)決定，具體如下：

(10)

基于此，可以確定如圖1所示的序貫網(wǎng)圖。

圖1 序貫網(wǎng)圖檢驗(yàn)

(11)

式中，c0為最大樣本量n0對(duì)應(yīng)的合格判定數(shù)。

此外，圖1根據(jù)2.1節(jié)描述的由式(8)中的4條直線對(duì)檢驗(yàn)空間進(jìn)行了劃分。

① 判決邊界：針對(duì)假設(shè)檢驗(yàn)問(wèn)題(7)，直線l1′為拒絕假設(shè)p=p0的判決邊界，直線l2為拒絕假設(shè)p=p1(接受假設(shè)p=p0)的判決邊界；

② 拒絕p=p0區(qū)、繼續(xù)驗(yàn)證區(qū)以及接受p=p0區(qū)具體如圖1所示。

由于平均樣本量和最大樣本量均為設(shè)計(jì)SMT測(cè)試性驗(yàn)證試驗(yàn)方案時(shí)需考慮的因素，在平均樣本量小的情況下，仍需保證最大樣本量較小，式(11)間接建立了檢驗(yàn)點(diǎn)p2和最大樣本量n0之間的關(guān)系，故考慮如下優(yōu)化問(wèn)題：

(12)

通過(guò)優(yōu)化問(wèn)題(12)即可確定最大樣本量n0的最小值，以及此時(shí)檢驗(yàn)點(diǎn)p2的取值。

3 截尾策略

(nt,ct)的確定原則是在滿(mǎn)足承制方和使用方風(fēng)險(xiǎn)的前提下使得nt和ct最小，可通過(guò)兩組優(yōu)化問(wèn)題進(jìn)行求解。

① 確定截尾樣本量nt。截尾樣本量nt可由以下優(yōu)化問(wèn)題進(jìn)行確定：

圖2 截尾序貫網(wǎng)圖檢驗(yàn)

(13)

式中，αr和βr為實(shí)際的雙方風(fēng)險(xiǎn)，可通過(guò)式(14)確定。

(14)

式中，Nr/Na為確定序貫網(wǎng)圖后所有拒收/接收點(diǎn)的數(shù)量；ri/rj為到達(dá)當(dāng)前拒收/接受點(diǎn)的驗(yàn)證失敗數(shù)；ni、nj為到達(dá)當(dāng)前拒收點(diǎn)以及接受點(diǎn)的總驗(yàn)證次數(shù)；Si、Sj為到達(dá)當(dāng)前拒收/接受點(diǎn)的所有序貫試驗(yàn)序列的可能情況。

② 確定合格判定數(shù)ct。ct的確定在截尾樣本量nt確定的基礎(chǔ)上，通過(guò)以下優(yōu)化問(wèn)題決定：

(15)

根據(jù)上述確定的nt和ct，即可最終設(shè)計(jì)出形如圖2所示的截尾SMT測(cè)試性驗(yàn)證試驗(yàn)方案。

4 案例驗(yàn)證

4.1 基于SMT方法的驗(yàn)證方案設(shè)計(jì)

某裝備測(cè)試性設(shè)計(jì)指標(biāo)約束參數(shù)為

(p0,p1,α,β)=(0.96,0.88,0.1,0.1)

(16)

① 依據(jù)優(yōu)化問(wèn)題可以得到插入點(diǎn)p2以及對(duì)應(yīng)的最大樣本量n0的變化關(guān)系曲線，如圖3所示。優(yōu)化問(wèn)題的解即為圖中標(biāo)記的極小值點(diǎn)，可以得到p2=0.9266，對(duì)應(yīng)的最大樣本量的最小值為n0=?187.1941」=187(符號(hào)?」表示向下取整)。

② 在確定p2后，可以依據(jù)式(9)求得序貫網(wǎng)圖4條直線的相關(guān)參數(shù)，s1=0.0551，s2=0.0950，h1=3.4209，h2=4.0440。

圖3 n0和p2變化關(guān)系曲線

③ 由于所確定的最大樣本量仍然較大，對(duì)優(yōu)化問(wèn)題采用搜索的方法進(jìn)行求解，得到截尾樣本量nt=85，在此基礎(chǔ)上對(duì)優(yōu)化問(wèn)題(15)進(jìn)行搜索求解，得到滿(mǎn)足條件的合格判定數(shù)為ct=6，則可以繪制圖4所示的某型裝備測(cè)試性驗(yàn)證截尾序貫網(wǎng)圖。

圖4 某型裝備測(cè)試性驗(yàn)證截尾序貫網(wǎng)圖檢驗(yàn)

4.2 對(duì)比分析

① 經(jīng)典測(cè)試性驗(yàn)證方案。按照式(2)的不等式約束，可以求得經(jīng)典驗(yàn)證方案為(76,5)。

② SPRT測(cè)試性驗(yàn)證方案。采用Monte Carlo仿真方法，將測(cè)試性指標(biāo)值在(0,1]分為1000個(gè)離散值進(jìn)行仿真，同時(shí)設(shè)置仿真次數(shù)為1000次，得到當(dāng)指標(biāo)值為0.937時(shí)，平均樣本量的最大值為62.2024。

③ SMT測(cè)試性驗(yàn)證方案。根據(jù)4.1節(jié)得到的一系列設(shè)計(jì)參數(shù)，同樣通過(guò)Monte Carlo方法(仿真參數(shù)保持一致)進(jìn)行仿真，可以得到當(dāng)指標(biāo)值為0.957時(shí)，平均樣本量的最大值為54.3162。

3種驗(yàn)證方案的平均樣本量對(duì)比曲線如圖5所示。

從圖5可以看出，根據(jù)不同的指標(biāo)值p可以確定驗(yàn)證試驗(yàn)的平均樣本量，如本文提出的SMT測(cè)試性驗(yàn)證方案中，當(dāng)p=p0時(shí)，ASN|p0=53.5244，當(dāng)p=p1時(shí)，ASN|p1=39.0582。此外，從圖中可以直觀地反映出在指標(biāo)p0和p1之間，所提方法平均樣本量?jī)?yōu)于經(jīng)典驗(yàn)證方案以及SPRT驗(yàn)證方案。

圖5 平均樣本量曲線對(duì)比

由此可見(jiàn)，該方案能保證驗(yàn)證試驗(yàn)開(kāi)展前對(duì)試驗(yàn)最大樣本量有一個(gè)直觀的認(rèn)知，同時(shí)能有效降低驗(yàn)證試驗(yàn)所需平均樣本量，證明了該方案的有效性。

5 結(jié)束語(yǔ)

針對(duì)SPRT測(cè)試性驗(yàn)證方案最大樣本量無(wú)法控制的問(wèn)題，通過(guò)插入檢驗(yàn)點(diǎn)的方式使得在測(cè)試性驗(yàn)證試驗(yàn)開(kāi)展前能確定最大樣本量，進(jìn)而對(duì)試驗(yàn)的開(kāi)展有比較客觀的認(rèn)知。在此基礎(chǔ)上，考慮了所確定的最大樣本量較大時(shí)的截尾策略，并通過(guò)實(shí)例分析證明本文設(shè)計(jì)的基于SMT方法的測(cè)試性驗(yàn)證試驗(yàn)方案較經(jīng)典驗(yàn)證方案和SPRT驗(yàn)證方案在最大樣本量以及平均樣本量方面均有有效改進(jìn)，對(duì)導(dǎo)彈類(lèi)高精度武器裝備的測(cè)試性驗(yàn)證試驗(yàn)的開(kāi)展具實(shí)際指導(dǎo)意義。