(陜西國際商貿(mào)學(xué)院 信息工程學(xué)院，陜西 西安 712000)

目前，關(guān)于大規(guī)模和小規(guī)模情況下增大和速率的波束成形算法的研究較多，文獻(xiàn)[1]提出了一種分支定界法來解決單運(yùn)營商情況下的和速率最大化波束成形矩陣的設(shè)計(jì)問題，但其在天線眾多的情況下具有過高的計(jì)算復(fù)雜度。文獻(xiàn)[2]提出了一種基于半定松弛模型的多項(xiàng)式時間迭代方法來解決此問題。文獻(xiàn)[3]和文獻(xiàn)[4]提出了兩種基于一維和二維的啟發(fā)式算法，文獻(xiàn)[5]提到了基于ZF(Zero Forcing)和最大比合并MRC(Maximum-Ratio Combining)的方法。上面提到的方法大部分僅僅適用于小型MIMO(Multiple-input Multiple-output)系統(tǒng)[6]。大規(guī)模MIMO概念[7]地址使用大量的收發(fā)轉(zhuǎn)換天線來改進(jìn)性能，尤其是針對超大規(guī)模的MIMO系統(tǒng)，即當(dāng)天線數(shù)量在特定情況下發(fā)散到無窮多時，使用ZF[8]和MRC[9]來實(shí)現(xiàn)和速率最大化幾乎可以達(dá)到最佳效果。但ZF/MRC接近最優(yōu)的情況一般不適用于中等規(guī)模的MIMO系統(tǒng)。

1 系統(tǒng)模型

1.1 系統(tǒng)模型設(shè)計(jì)

本文研究的MIMO AF(Amplify-and-Forward)雙向中繼網(wǎng)絡(luò)由N個天線、L個(通信)運(yùn)營商以及來自不同運(yùn)營商的用戶終端對組成，在中等規(guī)模MIMO中使用較為廣泛。假設(shè)用戶終端是單天線的，第l個運(yùn)營商的第k個用戶和中繼之間的平坦衰落信道用{hk,l}表示。中繼接收到的信號可以表示為

(1)

(2)

式中，G∈CN×N是需要被設(shè)計(jì)的中繼放大矩陣。假設(shè)中繼和用戶之間是雙向通道，則第l個運(yùn)營商的第k個用戶接收到的信號yk,l為

(3)

(4)

式中，ηk,l為第l個運(yùn)營商的第k個用戶的SINR(Signal to Interference plus Noise Ratio)，其表達(dá)式如下：

(5)

式中，g=vec(G);φk,l，γk,l，Δk,l的定義為

(6)

假設(shè)利用信道知識可以完全消除自干擾。在式(5)、式(6)對SINR的定義中自干擾已經(jīng)被忽略。本文設(shè)計(jì)的方法即便沒有這種假設(shè)也能被應(yīng)用在和速率最大化問題中。和速率最大化被中繼中可得到的全部能量PR所約束，即

(7)

也可寫成關(guān)于g的表達(dá)式，gHCg≤PR，其中，

(8)

目標(biāo)是設(shè)計(jì)出AF放大矩陣G來最大化和速率Rsum，因此L個運(yùn)營商MIMO AF中繼網(wǎng)絡(luò)的設(shè)計(jì)問題即和速率最大化，可被看作如下問題：

(9)

(10)

其中Bk,l，Ak,l的定義如下：

(11)

1.2 MaMi算法設(shè)計(jì)

式(10)中考慮縮放比例的目標(biāo)函數(shù)是不變的，因此可以求解無約束問題，對解g進(jìn)行縮放使其滿足約束條件gHCg=PR。本文使用MaMi技術(shù)來解決式(10)中的非凸設(shè)計(jì)問題。MaMi是一種迭代手法，用來獲得一般最大化問題的解[10-11]。

(12)

MaMi的每一次迭代都可以分兩步進(jìn)行(見圖1)，下面以第k次迭代為例進(jìn)行說明。

(13)

其中z(k-1)是z在第(k-1)次迭代的值。

② Maximization：求解最優(yōu)化問題。

(14)

得到z(k)。

現(xiàn)在考慮式(10)的等價形式：

(15)

下列不等式是由對所有x成立的log(x)的凹性控制的，x0∈R+：

(16)

(17)

另外，用上述minorizer結(jié)果(忽略常數(shù))來代替式(15)中的-log(gHBk,lg)，可得到下列第(k+1)次迭代的最大化問題：

(18)

受關(guān)于半定松弛的大量文獻(xiàn)的啟發(fā)，注意到在式(18)中將X=ggH作為優(yōu)化變量，同時丟掉秩為1的約束條件，那么式(18)中的每一次迭代都可以獲得一個凸的替代[12]。一旦獲得解X，優(yōu)化矢量g可以由X合成，這對秩為1的解X是無法保證的，故此方法存在合成損失[13]。另外，應(yīng)用松弛定理會迭代求解最大化凸行列式問題，其具有很高的計(jì)算負(fù)擔(dān)。后續(xù)設(shè)計(jì)了一種計(jì)算高效的方法，它能增加每一次迭代的目標(biāo)值，并且保證g的一階最優(yōu)條件。使用下列引理繼續(xù)尋找作為g的函數(shù)log(tr{Ak,lX})的minorizer。

引理1：對任意的正定矩陣T，C，令s(x)=-log(xHTx)，xHCx=P，其中T,C∈CN×N,P∈R+，可得到：

s(x)≤s(x0)+R(bH(x-x0))+(x-x0)HU(x-x0),?x,x0

(19)

其中,

(20)

式中,w1為T的主特征向量，∈>0任意給定。MaMi算法示意圖如圖1所示。

圖1 MaMi算法示意圖

假設(shè)每一次迭代中都有g(shù)HCg=PR?？捎^察到，對任意給定的g0，使用上述引理，可獲得log(gHAk,lg)的minorizer：

(g-g0)HUk,l(g-g0)

(21)

式中，矩陣bk.l和Uk,l與Ak,l有關(guān)，可將式(20)代入到引理中計(jì)算得到(見式(23))?；谑?18)和式(21)，考慮到關(guān)于所提出方法的第(k+1)次迭代得到的g的下列準(zhǔn)則的minorizer：

(22)

其中，

(23)

(24)

其中,

(25)

(26)

該矩陣是具有正標(biāo)量的單位矩陣I的縮放版，所以Bk,l≥0,Uk,l≥0。因此，矩陣Q(k)在每一次迭代中都是正定的，式(24)中關(guān)于g的問題是嚴(yán)格凸的?？梢酝ㄟ^解線性方程組2Q(k)g+q(k)=0來獲得唯一解，即

(27)

表1 中繼波束成形使和速率最大化的方法

2 改進(jìn)的正交零空間投影MaMi算法

前面介紹的MaMi算法只適用于目標(biāo)函數(shù)是單峰的情況，較為理想化，如果目標(biāo)函數(shù)是多峰的，該方法得到的最大值為局部最大值。為了獲得全局最優(yōu)解，對MaMi算法進(jìn)行改進(jìn)，如圖2所示，假設(shè)MIMO AF RS中和速率函數(shù)有可能是多峰函數(shù)，使用零空間正交投影方法在多個方向上使用MaMi算法得到多個最優(yōu)解，然后優(yōu)中取優(yōu)，以求出和速率性能相對最好的波束成形矩陣，具體改進(jìn)如下。

圖2 改進(jìn)MaMi技術(shù)的描述

應(yīng)用MaMi算法得到使和速率最優(yōu)的波束成形矩陣：

(28)

考慮到多峰情況，將g在零空間向量上進(jìn)行平移得到新的g，記為

(29)

式中，I為單位矩陣；w為隨機(jī)向量；將g′作為初始向量，在新的方向上使用MaMi算法求得使得和速率最大的新的最優(yōu)解g，與原g進(jìn)行比較，選擇和速率更大的保留。具體步驟如表2所示。

表2 使用改進(jìn)MaMi算法來最大化和速率的步驟

3 仿真結(jié)果與分析

前面探討了MaMi算法改進(jìn)的方法和具體的實(shí)現(xiàn)步驟，為了觀察改進(jìn)后算法的收斂性，仿真給出其在信噪比分別為0 dB，10 dB，20 dB條件下的和速率隨迭代次數(shù)的變化關(guān)系。仿真環(huán)境為用戶終端對數(shù)K=8，每用戶天線數(shù)M=1，中繼天線數(shù)N=16。結(jié)果如圖3所示，在0 dB和10 dB條件下，迭代兩次即可達(dá)到收斂，在20 dB條件下，迭代5次也基本達(dá)到收斂，可見MaMi算法收斂速度快。

圖3 MaMi算法和速率隨迭代次收斂曲線

由于奇異值分解(Singular Value Decomposition，SVD)需要用戶端充分完美協(xié)作，此種協(xié)作在實(shí)際通信系統(tǒng)無法實(shí)現(xiàn)，SVD僅能提供系統(tǒng)和速率性能上界，因此本文采用SVD算法作為對照組進(jìn)行試驗(yàn)。圖4顯示了MaMi、改進(jìn)正交零空間投影MaMi與SVD 3種算法在SNRRS=SNRMS條件下和速率隨SNRMS的變化曲線。從圖中可以看出，所提出的改進(jìn)正交零空間投影MaMi算法，在中高信噪比區(qū)域和速率性能優(yōu)于MaMi算法，在低信噪比區(qū)間和速率性能稍優(yōu)于MaMi算法，但是離SVD給出的上界仍然有一定差距，考慮SVD需要用戶端充分協(xié)作，在實(shí)際系統(tǒng)不可實(shí)現(xiàn)，所提改進(jìn)算法有相當(dāng)實(shí)用性。

圖4 不同波束成形算法下和速率隨SNRMS

圖5繪制了MaMi、正交零空間投影MaMi與SVD 3種算法在SNRRS=SNRMS條件下誤碼率隨SNRMS的變化曲線。由圖5可知，所提出的改進(jìn)正交零空間投影MaMi算法，在中高信噪比區(qū)域，誤碼率性能優(yōu)于MaMi算法，在低信噪比區(qū)間，誤碼率性能稍優(yōu)于MaMi算法，與和速率性能基本一致。

圖5 不同波束成形算法下誤碼率隨SNRMS

4 結(jié)束語

研究了通過迭代求解優(yōu)化問題的MaMi算法，考慮到目標(biāo)函數(shù)多峰的情況，提出使用正交零空間投影對MaMi算法進(jìn)行改進(jìn)，得到了更優(yōu)的和速率和誤碼率性能。該改進(jìn)算法同樣可以應(yīng)用在其他優(yōu)化問題中。在用戶單天線情況下，將波束成形矩陣設(shè)計(jì)問題等效為優(yōu)化問題，傳統(tǒng)的算法只能得到局部最優(yōu)解，提出改進(jìn)的正交零空間投影MaMi算法，盡可能找到和速率的全局最大值。對兩種算法性能進(jìn)行仿真得到結(jié)論：在中低信噪比情況下，改進(jìn)后算法在和速率以及誤碼率性能均優(yōu)于原始的算法。