田阿利，張海燕，魏 震，趙元帥，傅梓軒

(江蘇科技大學(xué) 船舶與海洋工程學(xué)院，江蘇 鎮(zhèn)江 212003)

0 引 言

鋼/聚氨酯夾層板（Steel Polyurethane Steel Sandwich Plate）簡稱SPS夾層板，是由鋼質(zhì)面板和聚氨酯彈性體夾芯材料組成，由于其輕質(zhì)、高比強(qiáng)度等性能而成為現(xiàn)代科學(xué)的研究重點(diǎn)。目前，鋼/聚氨酯鋼夾層板已經(jīng)應(yīng)用于船舶修復(fù)上。2009年7月韓國大宇造船海洋工程公司與英國IE公司共同投資成立了“SPS海工技術(shù)公司”，雙方共同對SPS技術(shù)展開研究，并將該技術(shù)應(yīng)用于船用鋼板的加工。當(dāng)SPS夾層板應(yīng)用于艙口蓋時，由于受風(fēng)浪流的影響，使得航行中的船體發(fā)生中拱或中垂現(xiàn)象，此時，夾層板受面內(nèi)載荷作用的影響，可能會發(fā)生屈曲失效導(dǎo)致結(jié)構(gòu)發(fā)生破壞。因此對夾層板的屈曲性能分析日益重要且迫在眉睫。

對層合板和夾層板的屈曲分析可追溯到19世紀(jì)70年代，Srinivas和Rao[1]，Noor[2]建立了層合板和夾層板屈曲分析的彈性解。Reddy和Phan[3]提出采用高階剪切變形理論來研究層合板的振動和穩(wěn)定性問題。Reddy和Putcha[4]基于改進(jìn)的高階理論，利用混合單元對層合板的穩(wěn)定性和固有振動進(jìn)行研究。Fares和Zenkour[5]基于多種板理論研究了非均質(zhì)復(fù)合材料交叉層合板的屈曲和自由振動問題。Kant和Swaminathan[6]提出一種改進(jìn)的高階理論求出復(fù)合材料層合板和夾層板穩(wěn)定性分析的解析解。Dafedar[7]使用分層理論研究了夾層板的穩(wěn)定性，并獲得夾層板總體屈曲載荷和皺屈載荷，該理論考慮了夾層板中每一層的位移和應(yīng)力，涉及到大量變量。Kheirikhah[8]使用改進(jìn)的高階理論研究了軟夾芯復(fù)合材料夾層板的雙軸屈曲問題。Grover[9]等基于非多項(xiàng)式剪切變形理論研究了復(fù)合材料層合板和夾層板的靜態(tài)，振動和屈曲響應(yīng)問題。Fazzolari和Carrera[10]使用卡雷拉統(tǒng)一公式（CUF）并結(jié)合里茨法（Ritz）和伽遼金法（Galerkin）研究了基于改進(jìn)的變分運(yùn)動板理論的各向異性復(fù)合材料層合板和夾層板的熱機(jī)械屈曲問題，給出了不同熱載荷和機(jī)械載荷下的屈曲相互作用曲線和穩(wěn)定性包絡(luò)線。Khandelwal[11]采用9節(jié)點(diǎn)二次單元來研究復(fù)合材料層合板和夾層板的自由振動和屈曲響應(yīng)問題。Ranjbaran等[12]基于LW理論研究了夾層板的穩(wěn)定性問題，并采用瑞利-里茲法近似確定位移場。Birman和Kardomateas[13]對夾層板的理論分析方法進(jìn)行了綜述。

由于理論方法受限于研究對象的幾何形狀，載荷和邊界條件，Di Sciuva[14]在1986年提出Zig-zag理論（ZZT）。該理論不僅能較真實(shí)地描述面內(nèi)位移發(fā)生在厚度上的變化，而且也能較為準(zhǔn)確地預(yù)測層合板和夾層板的面內(nèi)位移和應(yīng)力。作者采用該方法研究了復(fù)合材料層合板的靜態(tài)、振動和屈曲響應(yīng)問題。白瑞祥等[15]利用Zig-zag理論對復(fù)合材料夾層板的自由振動問題進(jìn)行了研究。Pandit等[16]基于改進(jìn)的高階Zig-zag理論研究了夾層板的屈曲，考慮了芯材壓縮變形的影響。Sahoo[17]建立了反三角Zig-zag理論，該理論不僅滿足層間界面的連續(xù)性，又滿足板上下表面自由牽引的邊界條件。作者通過數(shù)值算例，預(yù)測了不同模量比、縱橫比、跨厚比、載荷和邊界條件下復(fù)合材料層合板和夾層板的屈曲響應(yīng)。

基于以上討論可得出：單層板理論由于沒有考慮夾層板的層間影響而過渡預(yù)測屈曲臨界載荷；Layerwise理論由于需要較多的應(yīng)變場導(dǎo)致計算量龐大，效率低下。

鋼聚氨酯夾層板的面板較薄，芯材較厚，因此橫向剪切變形不可忽略。文獻(xiàn)[18]對復(fù)合材料夾層的面板與芯材均采用了高階變形理論且取得了較為準(zhǔn)確的結(jié)果，但因未知量過多，使得計算量太大。本文考慮鋼聚氨酯夾層板的結(jié)構(gòu)特征，基于文獻(xiàn)[18]，提出一種簡化的高階Zig-zag理論，即面板采用1階剪切變形理論，芯材采用Reddy[19]的高階變形理論，來研究夾層板的穩(wěn)定性。重點(diǎn)研究SPS夾層板作為艙口蓋受軸向壓縮載荷下的屈曲問題，分析幾何參數(shù)對結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性的影響，為SPS夾層板在船體結(jié)構(gòu)中的設(shè)計與推廣提供參考。

1 簡化的高階Zig-zag理論求解模型

在模型中，ht為上面板厚度，hb為下面板厚度，hc為芯層厚度。夾層板的典型坐標(biāo)系及模型圖如圖1所示。

圖1 夾層板的典型坐標(biāo)及模型圖Fig.1 Typical coordinate and model

1.1 動力學(xué)關(guān)系

夾層板面板的位移場函數(shù)為：

夾層板芯材位移場函數(shù)為：

1.2 連續(xù)條件

1.2.1 位移連續(xù)條件

夾層板上面板與芯材交界處的位移關(guān)系：

夾層板下面板與芯材交界處的位移關(guān)系：

1.2.2 層間剪應(yīng)力連續(xù)

上面板與芯材交界處的剪應(yīng)力關(guān)系：

下面板與芯材交界處的剪應(yīng)力關(guān)系：

1.3 控制方程

根據(jù)哈密爾頓原理（Hamilton Principle）推導(dǎo)出夾層板面板和芯材的控制方程。

Hamilton原理的表達(dá)式如下：

積分并整理得控制方程：

當(dāng)夾層板受雙軸壓縮載荷時，令

式中：K為載荷系數(shù)。若K=0，表示夾層板受單軸壓縮，反之則表示夾層板受雙軸壓縮。

1.4 分析求解

本文采用納維葉（Navier）法求解屈曲問題。在Navier解法中，夾層板的剛度系數(shù)應(yīng)滿足下述條件：

四邊簡支的邊界條件表示為：

假設(shè)矩形SPS夾層板的長為a，寬為b，上下面板的厚度分別為ht和hb，芯材的厚度為hc，基于納維葉解法和位移變量在滿足上述邊界條件下，選取如下雙重三角級數(shù)：

將式（12）代入控制方程式（7）中，得

式中：A為系數(shù)矩陣；{X}定義為：

令系數(shù)矩陣A的行列式為0，求解可以得到一組特征值以及對應(yīng)的特征向量。最小的特征值即為屈曲臨界載荷因子，對應(yīng)的特征向量即為夾層板的屈曲模態(tài)。

2 結(jié)果與討論

本節(jié)使用推導(dǎo)的簡化Zig-zag理論來計算夾層板的總體屈曲載荷。通常情況下，總體屈曲對應(yīng)的半波數(shù)m，n分別為1，如果存在更高的半波數(shù)且其對應(yīng)的屈曲臨界載荷小于總體屈曲載荷時，那么夾層板將發(fā)生皺屈等局部失穩(wěn)現(xiàn)象。

2.1 對比驗(yàn)證

為了與文獻(xiàn)[17]的結(jié)果進(jìn)行對比，驗(yàn)證本文理論計算結(jié)果的準(zhǔn)確性，選取與論文內(nèi)容相同的結(jié)構(gòu)尺寸和材料參數(shù)。即正方形復(fù)合材料夾層板，由正交各向異性的層合板面板和各向同性的芯材組成，夾層板的鋪層方式為[0/90/Core/90/0]，面板與芯材的厚度比tc/tf為10，且面板各單層的厚度均相同。夾層板面板和芯材材料參數(shù)如表1所示。屈曲臨界載荷的計算結(jié)果按式（14）進(jìn)行無量綱化：

式中：E2為夾層板面板的橫向彈性模量；h為夾層板的總厚度。

表1 夾層板材料參數(shù)Tab.1 Material parameters of composite sandwich plate

無量綱總體屈曲載荷分別由整體-局部高階理論（Global-local high-order theory，簡稱GLHOT）、混合型Layer-wise理論（Mixed layer-wise theory，簡稱MLWT）、Zig-zag理論（Zig-zag theory，簡稱ZZT）、反三角Zig-Zag理論（Inverse trigonometric Zig-zag theory，簡稱ITZZT）、有限元軟件Ansys以及本文簡化的高階Zig-zag理論計算所得列于表2，考慮了不同長厚比（a/h=2，4，10，20，30，40，50，60，70，80，90，100）。

由表1可知，本文計算的結(jié)果與混合型Layer-wise理論（MLWT）、Zig-zag理論（ZZT）和反三角Zig-Zag理論（ITZZT）的計算結(jié)果相似，最大誤差為8.3%。而整體-局部高階理論（GLHOT）與其他理論的計算結(jié)果相比，誤差較大，且預(yù)測值整體偏高，這是因?yàn)槠洳荒芎芎玫奶幚韸A層板相鄰間的材料性能導(dǎo)致的。表3和圖2分別為夾層板前4階無量綱屈曲臨界載荷及相應(yīng)的屈曲模態(tài)圖。

表2 不同夾層板理論計算無量綱總體屈曲臨界載荷對比Tab.2 Comparisons of the dimensionless overall buckling load for symmetric square sandwich plate

表3 前四階屈曲模態(tài)以及對應(yīng)的無量綱屈曲臨界載荷Tab.3 Buckling mode shapes from the first-order to forth-order and corresponding dimensionless buckling loads

2.2 幾何參數(shù)對穩(wěn)定性的影響

利用本文推導(dǎo)的理論公式結(jié)合有限元軟件Ansys研究鋼聚氨酯夾層板的幾何參數(shù)對穩(wěn)定性的影響。面板與芯材的的材料參數(shù)取自文獻(xiàn)[22]，其具體值列于表4。

2.2.1 面板厚度對臨界載荷的影響

圖2 Ansys計算所得的前四階屈曲模態(tài)Fig.2 Contour plots of the buckling shapes obtained by Ansys

表4 SPS夾層板材料參數(shù)Tab.4 Material parameters of SPS sandwich plate

本小節(jié)討論不同厚度的面板對SPS夾層板穩(wěn)定性的影響，以面板厚0.1 mm和芯材厚0.8 mm為基準(zhǔn)，分別增重10%，20%，30%和減重10%，20%，30%為條件，得到7種面板厚度，分別為0.147 mm，0.132 mm，0.116 mm，0.1 mm，0.084 mm，0.068 mm，0.053 mm。其中確定參數(shù)為：芯材厚度tc=0.8 mm和長寬比a/b=0.5。計算結(jié)果列于表5，并且給出了載荷系數(shù)K=0和K=1下的屈曲臨界載荷。

表5 面板厚度不同的夾層板的屈曲臨界載荷對比Tab.5 Comparison of critical buckling load of sandwich plates with differentthicknesses of face-sheet

圖3給出了面板厚度對SPS夾層板的屈曲載荷關(guān)系。由圖可知，夾層板的抗屈曲性能隨面板厚度的減少而迅速降低，在曲線的初始階段，夾層板的屈曲載荷的下降速率明顯大于后半段。由于在夾層結(jié)構(gòu)中，面板提供結(jié)構(gòu)的面內(nèi)剛度和強(qiáng)度，其主要承受由拉壓彎引起的面內(nèi)拉壓應(yīng)力和剪切應(yīng)力，所以當(dāng)面板的厚度減少時，夾層結(jié)構(gòu)的剛度也相應(yīng)降低，穩(wěn)性也隨之降低。

圖3 面板厚度對屈曲臨界載荷的關(guān)系曲線Fig.3 Relation curve of face-sheet thickness to critical buckling load

2.2.2 芯材厚度對臨界載荷的影響

本小節(jié)討論不同厚度的芯材對SPS夾層板穩(wěn)定性的影響，以面板厚0.1 mm和芯材厚0.8 mm為基準(zhǔn)，分別增重10%，20%，30%和減重10%，20%，30%為條件，得到7種芯材厚度，分別為1.453 mm，1.235 mm，1.018 mm，0.8 mm，0.582 mm，0.365 mm，0.147 mm。其中確定參數(shù)為：面板厚度tf=0.1 mm和長寬比a/b=0.5。計算結(jié)果列于表6，并給出了載荷系數(shù)K=0和K=1下的屈曲臨界載荷。

圖4為芯材厚度對SPS夾層板屈曲載荷的關(guān)系圖。由圖可知，夾層板屈曲臨界載荷隨著芯材厚度的增加而增加。這是因?yàn)樵趭A層結(jié)構(gòu)中，夾層板的彎曲剛度受面板性能和上下面板之間高度的影響，當(dāng)芯材厚度增大時，意味著增加了上下面板之間的高度，導(dǎo)致結(jié)構(gòu)的彎曲剛度得到加強(qiáng)，自然抗失穩(wěn)的能力也就增強(qiáng)。

表6 芯材厚度不同的夾層板的屈曲臨界載荷對比Tab.6 Comparison of critical buckling loads of sandwich plate with different core thicknesses

圖4 芯材厚度對臨界屈曲載荷的影響關(guān)系曲線Fig.4 Relation curve of core thickness to critical buckling load

圖5描述了在質(zhì)量增比相同的情況下面板與芯材厚度對SPS夾層板屈曲載荷的影響。由圖可知，當(dāng)結(jié)構(gòu)總質(zhì)量每增加10%時，芯材厚度對SPS夾層板穩(wěn)定性的影響更加敏感。因此，在考慮SPS夾層板質(zhì)量的前提下，若想快速提高SPS夾層結(jié)構(gòu)的穩(wěn)性，宜優(yōu)先增加芯材即聚氨酯的厚度。

圖5 不同質(zhì)量增比下，面板和芯材厚度對屈曲載荷的影響關(guān)系曲線Fig.5 Influence curves of face-sheet and core thickness on critical buckling load at different mass increasing ratios

3 結(jié) 語

本文首先建立簡化的高階Zig-zag數(shù)學(xué)分析模型，在該模型中面板采用一階剪切變形理論，芯材采用Reddy高階剪切變形理論，在滿足各項(xiàng)連續(xù)條件的前提下，選用納維葉（Navier）法求解簡支板的屈曲臨界載荷。然后重點(diǎn)討論了幾何參數(shù)對SPS夾層板穩(wěn)定性的影響，并輔以有限元軟件Ansys作為對比，可以得出以下結(jié)論：

1）本文理論計算的總體屈曲臨界載荷與其他理論計算方法吻合度較高，說明本文方法的合理性和準(zhǔn)確性。

2）板厚對SPS夾層板的穩(wěn)定性影響較大，當(dāng)考慮結(jié)構(gòu)的質(zhì)量時，增加芯材（聚氨酯）的厚度更能提升結(jié)構(gòu)的抗屈曲性能。