張秀云，宗 群，朱婉婉，劉文靜

(1. 天津大學(xué)電氣自動化與信息工程學(xué)院，天津 370002；2. 北京控制工程研究所，北京 100190)

0 引 言

近年來，隨著航天科技的飛速發(fā)展，一方面為降低發(fā)射成本，現(xiàn)代航天器廣泛采用輕質(zhì)柔性附件；另一方面隨著航天需求的不斷增加，航天器在軌時(shí)間要求越來越長，因此柔性太陽帆板等尺寸逐漸增大。在航天器完成大角度機(jī)動動作時(shí)，若機(jī)動速度過快，則會導(dǎo)致劇烈的柔性振動，影響系統(tǒng)穩(wěn)定性；但若機(jī)動速度過慢，則不能滿足機(jī)動快速性需求。因此，柔性航天器姿態(tài)機(jī)動存在“快速性”及“穩(wěn)定性”的矛盾，如何保證既快又穩(wěn)的姿態(tài)機(jī)動、并有效抑制柔性振動是目前研究的熱點(diǎn)及難點(diǎn)問題。

為進(jìn)行航天器姿態(tài)機(jī)動，快速有效的完成航天任務(wù)，首先需要設(shè)計(jì)姿態(tài)機(jī)動軌跡，若不對軌跡進(jìn)行規(guī)劃，直接由初始點(diǎn)機(jī)動至終止點(diǎn)，可能會難以滿足機(jī)動時(shí)間要求，且?guī)順O大的柔性振動。文獻(xiàn)[1]針對柔性航天器姿態(tài)機(jī)動問題，利用控制力矩分配的優(yōu)化策略設(shè)計(jì)了一種新型機(jī)動曲線，但其僅考慮了機(jī)動快速性，未考慮系統(tǒng)穩(wěn)定性。文獻(xiàn)[2]通過傅里葉分析Bang-Coast-Bang(BCB)路徑譜以確定柔性航天器姿態(tài)機(jī)動軌跡，但其僅單純考慮了系統(tǒng)穩(wěn)定性。以上文獻(xiàn)在姿態(tài)機(jī)動軌跡設(shè)計(jì)過程中，均單一考慮了機(jī)動的“快速性”或“穩(wěn)定性”，未進(jìn)行兩者的綜合考慮。

針對柔性航天器主動振動抑制問題，國內(nèi)外學(xué)者進(jìn)行了大量研究。輸入成形器(Input shaper，IS)是一種有效抑制振動的前饋控制方法，得到了廣泛的應(yīng)用[3]。輸入成形器是指具有一定作用幅值及作用時(shí)間的脈沖序列，利用合適的輸入成形器與系統(tǒng)參考指令相卷積，改變系統(tǒng)輸入的形狀和作用位置點(diǎn)，達(dá)到抑制振動的目的[4]。近年來，輸入成形器發(fā)展了多種形式[5]：Zero-Vibration(ZV)，Zero Vibration and Derivative (ZVD)，Extra-Insensitive (EI)等，但在作用時(shí)間及魯棒性方面仍然是難點(diǎn)問題。

針對柔性航天器姿態(tài)控制問題[6]，輸入成形器與控制方法的結(jié)合也被廣泛應(yīng)用[7-8]。文獻(xiàn)[9-10]利用輸入成形解決大型航天器柔性附件振動問題，取得了很好的抑制效果。文獻(xiàn)[11-12]通過結(jié)合輸入成形器及滑模控制方法，解決了干擾影響下的柔性航天器控制，但其僅能保證姿態(tài)的漸近收斂。為避免控制器設(shè)計(jì)過程中必須不確定上界已知的限制，自適應(yīng)算法被廣泛應(yīng)用于滑?？刂浦衃13-16]，如何設(shè)計(jì)能夠避免增益過估計(jì)、且能保證跟蹤誤差有限時(shí)間收斂到零的自適應(yīng)滑模控制器是研究的重點(diǎn)問題。

在上述研究基礎(chǔ)上，本文針對柔性航天器大角度姿態(tài)機(jī)動問題，采用優(yōu)化與控制綜合方法，綜合考慮機(jī)動快速性及穩(wěn)定性，優(yōu)化得到姿態(tài)機(jī)動軌跡，并設(shè)計(jì)新型輸入成形器-無過估計(jì)的自適應(yīng)有限時(shí)間控制器，有效減小輸入成形器作用時(shí)間，抑制柔性振動，實(shí)現(xiàn)對優(yōu)化軌跡的快速高精度跟蹤控制。

1 航天器姿態(tài)模型建立

采用單位四元數(shù)描述航天器姿態(tài)，則航天器運(yùn)動學(xué)模型描述為[17]：

(1)

剛?cè)狁詈虾教炱髯藨B(tài)動力學(xué)方程及柔性振動方程可描述為：

(2)

根據(jù)文獻(xiàn)[18-19]，在柔性帆板的表面附著輕薄且均勻的壓電致動器，其產(chǎn)生的壓電輸入up作用于柔性帆板，會改變?nèi)嵝詣恿W(xué)方程：

(3)

式中：δ2為耦合矩陣，up將由輸入成形器進(jìn)行設(shè)計(jì)，從而保證加入up后所產(chǎn)生的系統(tǒng)振動響應(yīng)能夠相互抵消，從而達(dá)到抑制振動的效果。

(4)

(5)

(6)

其中，R為期望坐標(biāo)系至本體坐標(biāo)系的旋轉(zhuǎn)矩陣：

(7)

由式(6)可以看出，若姿態(tài)機(jī)動速度過快，則會導(dǎo)致劇烈的柔性振動，進(jìn)而嚴(yán)重影響系統(tǒng)的穩(wěn)定性；但機(jī)動速度過慢，則不能滿足任務(wù)需求，因此，姿態(tài)機(jī)動存在“快速性”與“穩(wěn)定性”的矛盾。

本文所采用的控制策略如圖1所示，主要包括姿態(tài)機(jī)動軌跡設(shè)計(jì)、輸入成形器及自適應(yīng)連續(xù)滑模控制器三部分，后續(xù)將進(jìn)行詳細(xì)介紹。

圖1 綜合控制策略設(shè)計(jì)框圖Fig.1 Block of integrated control strategy

2 姿態(tài)機(jī)動優(yōu)化軌跡設(shè)計(jì)

針對姿態(tài)機(jī)動過程中快與穩(wěn)的矛盾，本節(jié)通過建立多目標(biāo)多約束問題，利用高斯偽譜法求解，設(shè)計(jì)滿足機(jī)動快速性基礎(chǔ)上、最大限度降低柔性振動的姿態(tài)機(jī)動軌跡。

2.1 多目標(biāo)多約束條件建立

衛(wèi)星姿態(tài)機(jī)動軌跡優(yōu)化的約束條件主要包括邊值約束及路徑約束，具體描述如下：

邊值約束為衛(wèi)星姿態(tài)機(jī)動的初始狀態(tài)和末端狀態(tài)，本文設(shè)定的機(jī)動任務(wù)為：衛(wèi)星為完成定點(diǎn)拍照任務(wù)，需要進(jìn)行25s/60°姿態(tài)機(jī)動，故邊值約束表示為：

(8)

式中：ωi0,ωif分別為角速度狀態(tài)的初值及終值，qj0,qjf分別為四元數(shù)狀態(tài)初值及終值。

路徑約束為衛(wèi)星姿態(tài)機(jī)動過程中需滿足的約束條件，以保證姿態(tài)機(jī)動過程能夠滿足任務(wù)要求，且減小柔性振動，具體包括衛(wèi)星角速度、輸出力矩和柔性振動三個(gè)約束條件，具體表示為：

1)角速度約束：衛(wèi)星姿態(tài)機(jī)動過程中，若衛(wèi)星角速度過大，會導(dǎo)致姿態(tài)傳感器失效，無法準(zhǔn)確獲取衛(wèi)星實(shí)時(shí)姿態(tài)，因此需要對角速度進(jìn)行一定限制(rad/s)：

-0.07≤ωi≤0.07(i=1,2,3)

(9)

2)輸出力矩約束：考慮到在軌運(yùn)行的航天器自身執(zhí)行機(jī)構(gòu)物理?xiàng)l件上的限制，在姿態(tài)大角度機(jī)動過程中可能會出現(xiàn)超出執(zhí)行能力上限的現(xiàn)象，因此需要建立執(zhí)行機(jī)構(gòu)控制輸入約束(Nm)：

-10≤ui≤10(i=1,2,3)

(10)

3)柔性振動約束：為避免姿態(tài)大角度機(jī)動過程中引起劇烈柔性附件振動，考慮機(jī)動穩(wěn)定性目標(biāo)，確定振動約束，保證航天器不會因?yàn)檫^大的振動而發(fā)生失穩(wěn)現(xiàn)象：

(11)

性能指標(biāo)：包括機(jī)動時(shí)間及振動強(qiáng)度在內(nèi)的多優(yōu)化目標(biāo)。其中，由于本文設(shè)定的任務(wù)為完成25 s/60°的姿態(tài)機(jī)動，故機(jī)動時(shí)間指標(biāo)固定為25 s；在保證機(jī)動快速25 s基礎(chǔ)上，最大限度減小柔性振動，保證系統(tǒng)穩(wěn)定性，故另一個(gè)性能指標(biāo)設(shè)定為：

(12)

2.2 姿態(tài)機(jī)動軌跡求解

基于式(8)～(12)建立的多目標(biāo)多約束條件，需要進(jìn)行姿態(tài)機(jī)動軌跡的優(yōu)化求解。與其他數(shù)值優(yōu)化方法相比，高斯偽譜法求解速度更快、精度更高。因此，本文將利用高斯偽譜法結(jié)合序列二次規(guī)劃方法進(jìn)行軌跡優(yōu)化，得到兼顧快速性及穩(wěn)定性的姿態(tài)機(jī)動軌跡。

Step1：利用高斯偽譜法完成對航天器姿態(tài)機(jī)動優(yōu)化模型、性能指標(biāo)和約束條件的離散化過程，從而將優(yōu)化問題的求解轉(zhuǎn)化為非線性規(guī)劃問題的求解。

Step2：通過成熟的序列二次規(guī)劃算法進(jìn)行求解，得到期望的姿態(tài)機(jī)動軌跡，如圖2所示，由圖中可以看出，航天器可以完成25 s/60°的姿態(tài)機(jī)動。

注1. 高斯偽譜法求解速度快，精度高。近幾年來，高斯偽譜法已在實(shí)際工程中進(jìn)行多次應(yīng)用[20-21]，用于完成如國際空間站大角度姿態(tài)調(diào)整等多次航天任務(wù)，具有十分重要的工程應(yīng)用價(jià)值。

圖2 姿態(tài)角速度機(jī)動優(yōu)化軌跡Fig.2 Optimal maneuver trajectory of attitudeangular velocity

3 輸入成形器

本節(jié)設(shè)計(jì)新型輸入成形器FRIS，相比傳統(tǒng)輸入成形器，F(xiàn)RIS具有更短的作用時(shí)間，且對處理柔性實(shí)際頻率變化的魯棒性更強(qiáng)。

ZV輸入成形器為最基本的輸入成形器形式，當(dāng)外界干擾等作用導(dǎo)致系統(tǒng)實(shí)際振動頻率與固有頻率不一致時(shí)，會影響ZV的作用效果，因此在ZV基礎(chǔ)上，提出一系列具有魯棒性的輸入成形器形式，如：ZVD,EI等，其中，最常用的ZVD輸入成形器由兩個(gè)ZV輸入成形器卷積得到，其數(shù)學(xué)表示形式為:

(13)

為縮短ZVD的作用時(shí)間，提出一種新型的輸入成形器形式—FRIS如下：

(14)

(15)

考慮到

(16)

類似可得

(17)

將式(16)～(17)代入式(15)可得

(18)

(19)

由文獻(xiàn)[23]可知，φ通常取為0.05。綜合考慮振動抑制及作用時(shí)間的矛盾，選擇ε=0.1，同時(shí)保證兩者相對較優(yōu)，從而得到FRIS與ZVD的振動抑制效果對比圖，如圖3所示，由此可知FRIS具有更強(qiáng)的魯棒性。此外，由式(13)和式(14)可知，F(xiàn)RIS比ZVD作用時(shí)間更短。

圖3 FRIS及ZVD的抑制效果對比圖Fig.3 Comparison of suppression effects of FRIS and ZVD

考慮柔性動力學(xué)模型式(6)，基于獲得的FRIS式(14)，設(shè)計(jì)壓電致動器電壓輸入：

(20)

通過加入輸入成形器作用，保證姿態(tài)機(jī)動過程中產(chǎn)生的柔性振動響應(yīng)能夠互相抵消，從而達(dá)到振動抑制的目的。

4 自適應(yīng)連續(xù)終端滑?？刂破髟O(shè)計(jì)

基于優(yōu)化獲得的姿態(tài)機(jī)動軌跡，考慮輸入成形器對柔性振動抑制后的殘余振動影響，本部分將設(shè)計(jì)一種自適應(yīng)連續(xù)終端滑模控制器，有效處理外界干擾及殘余振動對系統(tǒng)的影響，實(shí)現(xiàn)對姿態(tài)機(jī)動軌跡的高精度快速跟蹤。

設(shè)計(jì)如下非奇異終端滑模面：

s=ωe+k1·β(qev)

(21)

(22)

基于式(5)及(21)，得到滑模動態(tài)表達(dá)式為：

(23)

設(shè)計(jì)自適應(yīng)連續(xù)終端滑模控制器：

(24)

式中：k(t)通過如下雙層自適應(yīng)律獲得：

(25)

ρ(t)=r0+r(t)

(26)

(27)

(28)

e(t)=qa1/α-r(t)

(29)

定理1. 針對柔性航天器系統(tǒng)式(4)～(5)，若設(shè)計(jì)連續(xù)終端滑模控制器式(24)，采用如式(25)～(27)所示的自適應(yīng)律，則可保證航天器姿態(tài)四元數(shù)跟蹤誤差qev及角速度跟蹤誤差ωe在有限時(shí)間內(nèi)收斂至0。

證. 將式(24)代入式(23)可得：

(30)

令ν=z(t)+D(t)，則式(30)轉(zhuǎn)化為：

(31)

Step1: 選取Lyapunov函數(shù)為

(32)

(33)

(34)

因此，基于式(34)，根據(jù)文獻(xiàn)[24]中有限時(shí)間收斂定義，可得有限時(shí)間內(nèi)δ=0，即

(35)

故系統(tǒng)狀態(tài)將在有限時(shí)間收斂到滑模面s。

ωe=-k1·β(qev)

(36)

選取Lyapunov函數(shù)為：

(37)

對上式求導(dǎo)可得：

(38)

因此，系統(tǒng)姿態(tài)角跟蹤誤差qev及角速度跟蹤誤差ωe會在有限時(shí)間收斂到0。定理1得證。

5 仿真校驗(yàn)

為校驗(yàn)軌跡優(yōu)化設(shè)計(jì)-輸入成形器-有限時(shí)間控制器綜合方法的有效性，進(jìn)行有無IS情形下的對比仿真校驗(yàn)與分析，仿真過程中各參數(shù)選取如下：

所受到的干擾設(shè)置為：

d=

航天器姿態(tài)及角速度初值為：

考慮前兩階柔性振動模態(tài)，則耦合矩陣δ為：

柔性模態(tài)參數(shù)為：Λ1=0.7681 rad/s,Λ2=1.1038 rad/s,ξ1=0.0056，ξ2=0.0086。

FRIS設(shè)計(jì)為：

控制器參數(shù)選取如下：λ=10,r0=1,γ=0.2,q=1.5,α=0.5。

為校驗(yàn)本文所設(shè)計(jì)算法的有效性，對比了無輸入成形器的ACTSMC及有輸入成形器下的ACTSMC(ACTSCM-IS)的作用效果。仿真結(jié)果如圖4～圖7所示。圖4及圖5為姿態(tài)四元數(shù)與姿態(tài)角速度的跟蹤曲線圖，通過圖4及圖5可以看出不加IS時(shí)，所設(shè)計(jì)的ACTSMC可以實(shí)現(xiàn)對系統(tǒng)姿態(tài)的快速跟蹤，但是由于柔性振動未主動抑制仍然存在，控制精度低，而加入IS后可以保證更高精度。

圖5 姿態(tài)角速度跟蹤曲線圖Fig.5 Tracking of attitude angular velocity

圖6為控制輸入變化曲線圖，從圖中可以看出控制輸入滿足約束條件，未加輸入成形器時(shí)，柔性振動會對剛體運(yùn)動產(chǎn)生影響，從而導(dǎo)致控制輸入出現(xiàn)大的波動；而在利用輸入成形器對柔性振動進(jìn)行有效抑制后，能夠減小了柔性振動對剛體運(yùn)動的耦合作用，且所設(shè)計(jì)的自適應(yīng)算法避免了增益過估計(jì)問題，保證控制輸入更光滑，更適合于工程實(shí)際。

圖6 航天器控制輸入圖Fig.6 Control inputs of spacecraft

考慮到第一階柔性模態(tài)對航天器穩(wěn)定的影響最大，故本文主要考慮利用IS對一階柔性模態(tài)進(jìn)行抑制，傳統(tǒng)ZVD與FRIS對柔性振動抑制的對比曲線如圖7所示，可以看出FRIS作用時(shí)間短，且具有更好的振動抑制效果。因此，通過仿真可以校驗(yàn)，本文所設(shè)計(jì)優(yōu)化控制綜合方法能夠?qū)崿F(xiàn)航天器姿態(tài)高精度、快速機(jī)動控制，且有效抑制柔性附件振動。

6 結(jié) 論

對于帶有大型柔性附件的航天器系統(tǒng)，考慮到其大角度機(jī)動過程中“快速性”及“穩(wěn)定性”矛盾，本文利用優(yōu)化與控制綜合方法，設(shè)計(jì)出兼顧快速性及穩(wěn)定性的姿態(tài)機(jī)動軌跡，并提出一種既能減小作用時(shí)間、又能提高魯棒性的新型輸入成形器，結(jié)合雙層自適應(yīng)連續(xù)終端滑?？刂破鳎梢员ＷC柔性振動的主動抑制，實(shí)現(xiàn)對姿態(tài)優(yōu)化軌跡的快速高精度跟蹤。文中給出的仿真實(shí)例說明了該方法的有效性。