李信棟，鄒 奎，茍興宇,2

(1.北京控制工程研究所,北京 100190; 2. 空間智能控制技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,北京 100190)

0 引 言

隨著航天技術(shù)發(fā)展，衛(wèi)星任務(wù)要求不斷提高，需要多體衛(wèi)星本體和附件同時(shí)進(jìn)行高精度姿態(tài)控制。以中繼衛(wèi)星為例，就要求星本體在保持姿態(tài)穩(wěn)定的同時(shí)附件進(jìn)行高精度的姿態(tài)機(jī)動來跟蹤目標(biāo)星。衛(wèi)星本體與附件同時(shí)機(jī)動的復(fù)合控制技術(shù)是航天控制領(lǐng)域的重要發(fā)展方向，文獻(xiàn)[1-3]已對多體衛(wèi)星的建模和控制問題作了初步探討，其中撓性天線振動與中心剛體運(yùn)動耦合將嚴(yán)重影響衛(wèi)星姿態(tài)控制精度。由于具有快速的全局收斂特性、模型降階特性、易實(shí)現(xiàn)性、對外部干擾的魯棒性以及對系統(tǒng)參數(shù)和建模誤差的不敏感性等一系列優(yōu)勢[4-5]，滑?？刂萍夹g(shù)得到了廣泛研究與應(yīng)用，取得豐碩成果。當(dāng)前研究熱點(diǎn)之一是針對傳統(tǒng)的終端滑?？刂拼嬖诳刂戚敵鲒呌跓o窮問題，通過改進(jìn)終端滑模面設(shè)計(jì)，研究非奇異Terminal滑?？刂破鞣椒╗6-8]；此外，高階滑?？刂品椒ㄗ鳛樾碌难芯糠较虻玫窖杆侔l(fā)展，如超扭曲滑模算法[9]、自適應(yīng)參數(shù)超扭曲算法[10]和基于Lyapunov函數(shù)的超扭曲滑模算法[11]。這些算法主旨思想是將不連續(xù)的切換項(xiàng)隱藏在切換律的導(dǎo)數(shù)中，從而嘗試解決有限時(shí)間收斂和減少抖振等問題，并取得了一定效果。

非奇異Terminal滑?？刂萍夹g(shù)在剛體衛(wèi)星姿態(tài)控制方面的應(yīng)用取得了許多成果[12-15]。文獻(xiàn)[12-15]都在控制器設(shè)計(jì)中考慮了存在外部擾動和模型不確定性的情形，在避免奇異問題的同時(shí)，最終實(shí)現(xiàn)滑模面上的有限時(shí)間收斂；不同之處在于文獻(xiàn)[12]通過構(gòu)造擾動觀測器對擾動進(jìn)行估計(jì)，設(shè)計(jì)了基于干擾觀測器的非奇異終端滑模控制器；文獻(xiàn)[13]重點(diǎn)解決控制力矩飽和幅值問題；文獻(xiàn)[14]通過自適應(yīng)方法對控制器增益進(jìn)行了估計(jì)，使得控制器在保持有限時(shí)間收斂的同時(shí)，具有更快的收斂速度；文獻(xiàn)[15]在滑?？刂苹A(chǔ)上設(shè)計(jì)魯棒控制器，從而確保姿態(tài)跟蹤精度。針對模型更加復(fù)雜的撓性衛(wèi)星和多體衛(wèi)星姿態(tài)控制問題，眾多文獻(xiàn)同樣進(jìn)行了相關(guān)研究[16-19]。文獻(xiàn)[16]將滑?？刂萍夹g(shù)與模糊理論相結(jié)合，針對柔性衛(wèi)星設(shè)計(jì)姿態(tài)控制器，實(shí)現(xiàn)三軸姿態(tài)的漸近穩(wěn)定。文獻(xiàn)[17]設(shè)計(jì)控制器使得撓性天線精確跟蹤期望運(yùn)動的同時(shí)保持星體穩(wěn)定，并且有效地抑制彈性附件的振動，但是沒有解決滑?？刂茙淼亩墩駟栴}。文獻(xiàn)[18]研究了大角度快速機(jī)動情況下剛?cè)狁詈闲l(wèi)星的姿態(tài)控制問題，分別設(shè)計(jì)利用柔性信息的全狀態(tài)反饋控制器和僅利用角度和角速度信息的動態(tài)輸出反饋控制器，均實(shí)現(xiàn)了有限時(shí)間姿態(tài)控制。文獻(xiàn)[19]針對衛(wèi)星姿態(tài)機(jī)動設(shè)計(jì)了快速非奇異Terminal滑?？刂破?，并通過設(shè)計(jì)加權(quán)齊次擴(kuò)展?fàn)顟B(tài)觀測器(Weighted homogeneous extended state observer，WHESO)來估計(jì)所有外部干擾，解決干擾上界未知時(shí)的控制問題。

與上述方法不同，本文提出一種新型滑?？刂圃O(shè)計(jì)方法，此方法將針對單輸入單輸出(SISO)系統(tǒng)的滑模控制技術(shù)[20]推廣到多輸入多輸出(MIMO)非線性系統(tǒng)，但是考慮到奇異問題，文中將采用新的非奇異快速終端滑模面。新設(shè)計(jì)的控制器中包含一個遞歸學(xué)習(xí)結(jié)構(gòu)，它由最近一拍的控制信號和修正項(xiàng)組成。而且修正項(xiàng)的更新采用Lyapunov函數(shù)一階導(dǎo)數(shù)的估計(jì)值，此值可以連續(xù)調(diào)節(jié)閉環(huán)系統(tǒng)使其實(shí)現(xiàn)漸近收斂至最終穩(wěn)定的目標(biāo)。遞歸學(xué)習(xí)結(jié)構(gòu)可以確保閉環(huán)系統(tǒng)軌跡在較短時(shí)間內(nèi)到達(dá)滑模面，且滑模變量不會穿越滑模面產(chǎn)生控制律切換，因此，所設(shè)計(jì)新型滑?？刂破骺梢酝耆苊鈧鹘y(tǒng)滑模控制算法中的抖振問題。此外，控制器只需要控制輸入矩陣信息而不需受控系統(tǒng)和未知參數(shù)的其他先驗(yàn)信息，這將使得算法具有較強(qiáng)魯棒性。當(dāng)閉環(huán)系統(tǒng)到達(dá)滑模面后，閉環(huán)軌跡將保持在滑模面并收斂到零。

本文研究撓性多體衛(wèi)星動力學(xué)系統(tǒng)，考察衛(wèi)星和天線僅在軌道平面內(nèi)運(yùn)動的特殊情形，系統(tǒng)模型簡化地考慮俯仰姿態(tài)運(yùn)動；并假設(shè)附件指向角做小角度機(jī)動。針對得到的多輸入多輸出系統(tǒng)的控制問題，結(jié)合系統(tǒng)模型本身的特性，將提出的新型遞歸學(xué)習(xí)滑?？刂萍夹g(shù)應(yīng)用到撓性多體衛(wèi)星系統(tǒng)的復(fù)合控制問題。文中所設(shè)計(jì)控制律是連續(xù)的，可以較好地抑制抖振現(xiàn)象，而且在確保閉環(huán)系統(tǒng)能夠較快時(shí)間收斂的同時(shí)具有良好魯棒性，最終實(shí)現(xiàn)對整個系統(tǒng)的穩(wěn)定控制。

1 系統(tǒng)動力學(xué)建模及問題描述

1.1 撓性多體衛(wèi)星動力學(xué)模型

下面將以1X-2Y轉(zhuǎn)序?yàn)槔酶髯鴺?biāo)系之間的關(guān)系導(dǎo)出標(biāo)量動力學(xué)方程。在平臺姿態(tài)可以線性化、平臺與附件機(jī)動角速度均不大的前提下，進(jìn)一步將控制對象簡化為俯仰平面問題，相應(yīng)標(biāo)量格式的動力學(xué)方程[1-2]為

圖1 平臺+天線的兩剛體構(gòu)型Fig.1 Two-rigid-body system with platformand appendages

(1)

式中：

Brbi=Ia，yyψbi+macssinβφbi。

Iby和Iay分別為航天器平臺與天線繞各自俯仰軸的轉(zhuǎn)動慣量，θ為航天器的俯仰姿態(tài)角，β為天線繞Y軸的轉(zhuǎn)動角，xra,cc,cs為系統(tǒng)幾何參數(shù)所決定的常系數(shù)，ma為天線質(zhì)量，qi為天線模態(tài)坐標(biāo)，Bri為天線支撐臂的第i階轉(zhuǎn)動耦合系數(shù)，φbi和ψbi分別為第i階撓性位移變形和轉(zhuǎn)角變形振型函數(shù)在天線支撐臂末端的值；ξi和Ωi分別為天線支撐臂第i階阻尼系數(shù)和固有頻率，Mcy為繞航天器Y軸的俯仰姿態(tài)控制力矩，Mβ為β轉(zhuǎn)角控制力矩。

若考慮天線驅(qū)動組件(Gimbal driver assembly,GDA)作為天線驅(qū)動執(zhí)行機(jī)構(gòu)，可得天線驅(qū)動力矩Mβ為[2]

(2)

其中，k為等效彈簧剛度，Dp為等效彈簧阻尼系數(shù)，βf為天線指令輸入轉(zhuǎn)角。此外，考慮系統(tǒng)存在非線性輸入擾動，同時(shí)為后續(xù)控制器設(shè)計(jì)方便，將式(1)所示系統(tǒng)模型重新整理為如下形式

(4)

1.2 控制器目標(biāo)

(5)

其中,Λ=diag(Λ1,Λ2)和Δ=diag(Δ1,Δ2)是正定常數(shù)矩陣，γ和κ是常數(shù)，且滿足γ>κ，2>κ>1，sigm(x):=|x|msgn(x)，sgn(·)為符號函數(shù)。

那么，撓性多體衛(wèi)星姿態(tài)控制問題即為針對滿足假設(shè)1的系統(tǒng)(4)，設(shè)計(jì)控制器u(t)使得

(6)

注1.明顯地，如果能夠設(shè)計(jì)控制器u(t)使得如式(5)所示的滑模變量在較短時(shí)間內(nèi)收斂到零，那么系統(tǒng)輸出e(t)就能夠在滑模面S(t)=0上以指數(shù)形式收斂到零。

2 新型滑?？刂破髟O(shè)計(jì)

下面對滑模變量S(t)求關(guān)于時(shí)間t的導(dǎo)數(shù)，并將動力學(xué)方程(4)代入，可得

B(u+d))=F(t)+B0u(t)

(7)

其中，

(8)

設(shè)計(jì)新型滑?？刂破魅缦拢?/p>

u(t)=u(t-τ)-Δu(t)

(9)

其中修正項(xiàng)部分Δu(t)為

(10)

ST(t)Γ(F(t)+B0u(t))=

ST(t)Γ(S(t)-S(t)+F(t)+B0u(t))=

ST(t)ΓS(t)+ST(t)ΓF0(t)+ST(t)ΓB0u(t)

(11)

其中，Γ是對稱正定矩陣，F(xiàn)0(t)=F(t)-S(t)。

(12)

可知，若選擇足夠小的時(shí)間常數(shù)τ，那么存在正數(shù)M>>1和較小的正常數(shù)λ1，當(dāng)Φ(φ(t),u(t-τ))和Φ(φ(t-τ),u(t-τ))都不為零時(shí)，使下面不等式成立

(13)

定義估計(jì)誤差

(14)

選擇滿足如下不等式且都為正數(shù)的控制器參數(shù)η1,λ和λ1

(15)

λ>η1λ1

(16)

注2.由于時(shí)間常數(shù)τ可以選足夠小，因此，可以做如下合理假設(shè):

注3.結(jié)合式(15)，可知當(dāng)Φ(φ(t),u(t-τ))和Φ(φ(t-τ),u(t-τ))都不為零時(shí)，式(13)可變?yōu)?/p>

(17)

不等式(17)可被稱為Lipschitz-like條件，此條件指出當(dāng)時(shí)間常數(shù)τ選的足夠小時(shí)，Lyapunov函數(shù)梯度的當(dāng)前值與其上一幀值的差值是非常小的。Lipschitz-like條件使得設(shè)計(jì)的滑?？刂破鞑恍枰粗到y(tǒng)參數(shù)和不確定動力學(xué)的上下界信息，此外，還能確保閉環(huán)系統(tǒng)在較短時(shí)間內(nèi)收斂到零。

3 穩(wěn)定性分析

定理1.考查狀態(tài)方程如式(3)所示的一類MIMO非線性系統(tǒng)，當(dāng)輸入如式(9)、式(10)所示控制器u(t)時(shí)，系統(tǒng)狀態(tài)誤差e(t)漸近收斂于零。

證.

對前面已定義Lyapunov候選函數(shù)V(t)求關(guān)于時(shí)間t的導(dǎo)數(shù)，并將式(9)、式(10)所示控制輸入代入方程，有

ST(t)ΓS(t)+ST(t)ΓF0(t)+ST(t)ΓB0u(t-τ)-

(18)

ST(t)ΓB0u(t-τ))+(ST(t-τ)ΓS(t-τ)+ST(t-τ)ΓF0(t-τ)+ST(t)ΓB0u(t-τ))=

Φ(φ(t-τ),u(t-τ))+Φ(φ(t-τ),u(t-τ))=

(19)

根據(jù)式(17)所示Lipschitz-like條件可知

(20)

根據(jù)上面分析可得

(21)

(22)

而注意到

(23)

將不等式(23)應(yīng)用到不等式(22)，有

(24)

(25)

當(dāng)

(26)

此時(shí)，式(19)可重新整理為

(27)

(28)

那么，在t=t1+τ時(shí)刻，式(19)可重寫為：

(29)

(30)

注意到

(31)

(32)

因此，根據(jù)不等式(31)、(32)，式(30)可變?yōu)?/p>

(33)

即

(34)

基于上述式(18)～(34)的系統(tǒng)穩(wěn)定性分析，可以得出結(jié)論，文中設(shè)計(jì)的滑?？刂破?9)能夠確保閉環(huán)軌跡可在有限時(shí)間內(nèi)到達(dá)滑模面S(t)=0，且系統(tǒng)狀態(tài)誤差e(t)在滑模面上漸近收斂于零。

4 仿真結(jié)果與分析

針對撓性多體衛(wèi)星本體俯仰軸姿態(tài)運(yùn)動和天線指向角運(yùn)動同時(shí)跟蹤時(shí)的多輸入多輸出控制系統(tǒng)，利用文中提出的基于Lyapunov函數(shù)的改進(jìn)型滑模控制器(改進(jìn)型L-SMC)進(jìn)行仿真分析，以校驗(yàn)本文所設(shè)計(jì)控制器的有效性，并分別與改進(jìn)前的基于Lyapunov函數(shù)滑模控制器(L-SMC)和文獻(xiàn)[18]中設(shè)計(jì)的非奇異快速終端滑模狀態(tài)反饋控制器(NFTSMC)進(jìn)行對比。

控制對象模型參數(shù)取Iay=0.438 kg·m2,Iby=3453 kg·m2,xra=-0.0056 m,cc=-1.94 m,cs=-0.22 m,ma=8 kg,天線驅(qū)動機(jī)構(gòu)剛度k=9.5 Nm/rad,等效阻尼系數(shù)Dp=0.95?？紤]天線的前兩階模態(tài)，其兩階模態(tài)頻率為[Ω1,Ω2]=[0.913,3.86]，相應(yīng)阻尼系數(shù)為[ξ1,ξ2]=[0.018,0.02]，天線對衛(wèi)星姿態(tài)轉(zhuǎn)動耦合系數(shù)Br1=0.5,Br2=0.65，天線支撐臂在安裝點(diǎn)的振型系數(shù)φb1=-0.1,φb2=-0.065,ψb1=-0.08,ψb2=0.125。

基于式(9)、式(10)所設(shè)計(jì)的新型滑模控制器，借助MATLAB仿真工具，采用Runge-Kutta方法實(shí)現(xiàn)閉環(huán)非線性微分方程的求解。選擇仿真參數(shù)Λ=diag(8.07,2.32)，Δ=diag(37.8, 2.24)，γ=1.1，κ=1.0002,Γ=diag(1.2,1.2)，時(shí)間常數(shù)τ=0.01 s，η1=2.28×10-3,β1=6.98×10-3,η2=8.13×10-4，滿足不等式(16)的標(biāo)量λ被設(shè)置為λ=3η1λ1=4.7743×10-5，采樣周期ΔT=0.01 s。

針對文獻(xiàn)[18]所用方法的仿真結(jié)果如圖2～5所示。

圖2 俯仰角變化曲線Fig.2 Time responses of pitch angle

圖3 天線轉(zhuǎn)角變化曲線Fig.3 Time responses of antenna angle

圖4 控制輸入Mcy變化曲線Fig.4 Time responses of control input Mcy

圖5 控制輸入βf變化曲線Fig.5 Time responses of control input βf

改進(jìn)前和改進(jìn)后的L-SMC控制器仿真結(jié)果如圖6～9所示。

圖8 控制輸入Mcy變化曲線Fig.8 Time responses of control input Mcy

分析圖2～圖9的仿真結(jié)果，可知文獻(xiàn)[18]的俯仰角收斂速度最慢，這是由于文獻(xiàn)[18]提供的俯仰軸控制力矩Mcy(見圖4)較小，而俯仰軸轉(zhuǎn)動慣量較大，導(dǎo)致其俯仰角收斂相對較慢。對于天線轉(zhuǎn)角，圖3的收斂速度最快，這是因?yàn)槲墨I(xiàn)[18]提供的天線控制輸入βf(見圖5)較大。分析圖6可知，改進(jìn)后的L-SMC控制器相比改進(jìn)前能夠極大地減小俯仰角的超調(diào)量，并且明顯提高收斂速度。

對比圖4和圖8所示三種控制器分別產(chǎn)生的俯仰軸控制力矩輸入Mcy，可知只有文獻(xiàn)[18]所設(shè)計(jì)控制輸入有明顯的抖振現(xiàn)象(見圖4)，而改進(jìn)后的L-SMC控制器相比改進(jìn)前在保證控制效果的基礎(chǔ)上控制輸入幅值有顯著減小。對比圖5和圖9所示三種控制器分別產(chǎn)生的天線轉(zhuǎn)角控制輸入βf，同樣地，可看出只有文獻(xiàn)[18]有明顯的抖振現(xiàn)象(見圖5)，而改進(jìn)后的L-SMC控制器相比改進(jìn)前控制輸入幅值也有明顯減小。

圖9 控制輸入βf變化曲線Fig.9 Time responses of control input βf

綜合三種不同控制器的仿真分析結(jié)果，可以看出本文所提出的基于Lyapunov函數(shù)的改進(jìn)型滑?？刂破?改進(jìn)型L-SMC)不僅能夠完全消除傳統(tǒng)滑?？刂瞥Ｒ姷亩墩瘳F(xiàn)象，而且相比改進(jìn)前算法，可以在減小控制輸入幅值的基礎(chǔ)上確保較好的控制效果。

5 結(jié) 論

本文設(shè)計(jì)一種新型基于Lyapunov函數(shù)終端滑?？刂破鲬?yīng)用于撓性多體衛(wèi)星復(fù)合控制，所設(shè)計(jì)控制律能夠確保閉環(huán)軌跡在較短時(shí)間到達(dá)滑模面并在滑模面上收斂到零；而且該控制律是連續(xù)變化的，完全消除了滑?？刂萍夹g(shù)特有的抖振現(xiàn)象，這在仿真結(jié)果中得到校驗(yàn)。此外，該控制器僅需要控制輸入矩陣B(t)的信息，而無需知道其它未知參數(shù)和不確定系統(tǒng)的上下界信息，同時(shí)在控制器設(shè)計(jì)過程中考慮了外部干擾，使其具有良好的魯棒性，而仿真結(jié)果亦顯示出新型滑?？刂破骶哂休^好控制效果。綜上所述，所設(shè)計(jì)控制器具有良好的工程實(shí)用價(jià)值。下一步的工作可以嘗試解決控制輸入矩陣B(t)信息未知時(shí)的控制器設(shè)計(jì)，使得該控制方法具備更廣闊的應(yīng)用前景。