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        妙用棄數(shù)法求余數(shù)

        2019-12-02 02:56:41黃旭軍
        數(shù)學(xué)大王·中高年級 2019年11期
        關(guān)鍵詞:數(shù)法數(shù)位珠子

        黃旭軍

        今天的數(shù)學(xué)課上到最后,老師出了這樣一道思考題:

        現(xiàn)共有紅珠子、白珠子、黑珠子2004顆,按1紅、2白、2黑的順序排列。第1176顆珠子是什么顏色?

        班里的“小調(diào)皮”馬上舉手:“老師,這是個周期問題。每5顆珠子為一個周期,所以只要用2004除以5,再求余數(shù),就可以知道了。”

        老師說:“說得好,現(xiàn)在大家來比比誰做得快!”同學(xué)們一聽要比速度,紛紛拿出草稿紙列起了除法豎式,才寫到一半,數(shù)學(xué)課代表就舉手了?!安粫桑俊蓖瑢W(xué)們都驚呆了。

        老師示意數(shù)學(xué)課代表講方法。課代表得意地說:“我們只要求余數(shù),不必大動干戈列豎式!我有更好的方法,這里求1176除以5的余數(shù),因為1175除以5沒有余數(shù),所以1176-1175=1,1就是余數(shù)!”同學(xué)們一算,果真如此!

        老師帶頭鼓掌,邊表揚邊總結(jié)道:“只求余數(shù)時,可以棄掉一些能夠整除的數(shù),無論棄掉多少,都不會改變余數(shù)的大小。接下來,我們再來進(jìn)一步體會一下這個“棄數(shù)法”的奇妙之處。

        例1 下面圖形按◇△☆的順序排列,第691823個是什么圖形?

        ◇△☆◇△☆◇△☆◇△☆◇△☆◇△☆◇△☆……

        已知要求的是第691823個圖形,三個圖形構(gòu)成的周期是◇△☆,只要用691823除以3,再求余數(shù)就可以了。

        我們可以用列豎式的方法來解決問題。

        求得余數(shù)是2,所以第691823個圖形,也就是◇△☆中的第二個圖形△。

        用691823除以3求余數(shù),可以棄掉3的倍數(shù),因為一個數(shù)各個數(shù)位上的數(shù)都是3的倍數(shù),這個數(shù)就是3的倍數(shù)。

        我們先棄掉高位上的6和9

        再棄掉1和8

        因為一個數(shù)的各個數(shù)位上的數(shù)字之和是3的倍數(shù),這個數(shù)就是3的倍數(shù),所以這里1+8=9也必能被3整除。例如21與12,207與702等都是3的倍數(shù)。

        再棄掉3

        無論23還是32,各個數(shù)位上的數(shù)字和都是2+3=5。而去掉3之后,只剩下十位上的“2”,所以余數(shù)是2,對應(yīng)的圖形是△。

        答:第691823個圖形是△。

        例2 有一個數(shù)列,小華觀察后發(fā)現(xiàn),每兩個3之間有5、6、7、8各兩個,那么數(shù)列中第9458016987個數(shù)是幾?

        按要求寫出這個數(shù)列:

        3556677883556677883556677883……

        我們發(fā)現(xiàn)“355667788”九個數(shù)為一個周期,所以只要求9458016987÷9的余數(shù)就可以了。

        這次我們棄掉9的倍數(shù),因為各個數(shù)位上的數(shù)是9的倍數(shù),這個數(shù)就是9的倍數(shù)。

        先棄掉9

        再繼續(xù)按上面的方法進(jìn)行

        先去掉9,然后去掉4和5、8和1,最后只剩0、6、8、7,6+8+7+0=21。2+1=3,21除以9余數(shù)也是3,對應(yīng)的是數(shù)列中的第三個數(shù)“5”。

        答:數(shù)列中第9458016987個數(shù)是5。

        729584425除以9余數(shù)是多少?(答案見下期)

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