卓西咔

阿才一家和阿才的表哥阿杰一起在假期外出旅游。經(jīng)過一天的四處游覽，天色也已經(jīng)不早了，他們決定找個(gè)酒店住下。

他們選擇的是一個(gè)寬敞舒適的四人間，里面有電視、衣柜以及兩個(gè)洗手間。因?yàn)檫@是阿才與表哥阿杰第一次住酒店，所以來到新環(huán)境的他們，對酒店里的一切都感覺很新鮮。

“爸爸，為什么酒店四人間里會(huì)配備兩個(gè)洗手間呀？”阿才來到爸爸的身邊，說出了自己的不解。

爸爸揉了揉阿才的小腦袋，笑了笑，反問道：“那么你認(rèn)為四人間應(yīng)該配備幾個(gè)洗手間才合理？”

阿才思索一番，說：“因?yàn)橐婚g房里有四個(gè)人，所以應(yīng)該配備四個(gè)洗手間，這樣才不會(huì)出現(xiàn)沖突的情況，對嗎？”

“不對，我看一個(gè)洗手間就夠了！”阿杰也加入了討論。

“其實(shí)呀，酒店的四人間配備兩個(gè)洗手間是比較合理的。”

“為什么呀？”阿才和阿杰雙雙皺起了眉頭。

假設(shè)每個(gè)人在一小時(shí)內(nèi)平均使用洗手間約15分鐘，每個(gè)人在一小時(shí)內(nèi)的任意時(shí)間點(diǎn)使用洗手間的概率是 P=15

60=0.25。

不妨分別令B0，B1和B2表示在任意某時(shí)刻有0位，1位和2位客人同時(shí)需要使用洗手間的概率。因?yàn)槊课豢腿耸欠裥枰褂孟词珠g是相互獨(dú)立的事件，所以我們就能算出如下結(jié)果：

B0=（1-P）（1-P）（1-P）（1-P）=（1-0.25）×（1-0.25）×（1-0.25）×（1-0.25）≈0.3164

B1=4×P（1-P）（1-P）（1-P）=4×0.25×（1-0.25）×（1-0.25）×（1-0.25）≈0.4219

B2=6×P×P（1-P）（1-P）=6×0.25×0.25（1-0.25）×（1-0.25）=0.2109

在一小時(shí)內(nèi)的任意時(shí)間點(diǎn)，同時(shí)使用洗手間的人數(shù)不超過兩個(gè)人的概率為：

P*=B0+B1 +B2=0.3164+0.4219+0.2109=0.9492=94.92%

所以酒店這樣安排洗手間的數(shù)量，在很大程度上能滿足四人間內(nèi)的客人使用需求。因?yàn)榉块g的面積有限，所以四人間配備四個(gè)洗手間并不是最佳選擇，配備兩個(gè)洗手間較為合理。

爸爸看著阿才和阿杰，又來了興致：“你們有沒有興趣思考一下另外一種情形？”

“有！”兄弟倆興奮地齊聲喊道。

“每個(gè)人使用洗手間的時(shí)長往往都不同。假設(shè)現(xiàn)在有三位客人入住了酒店的三人間，他們每個(gè)人平均一小時(shí)使用洗手間的時(shí)長分別是5分鐘，10分鐘和15分鐘。你們猜猜這個(gè)三人間配備幾個(gè)洗手間比較合理？”

阿才的想法是，先設(shè)每位客人在一小時(shí)內(nèi)的任意某時(shí)刻使用洗手間的概率分別為P1，P2和P3，那么可以分別算出：

P1=5

60≈0.0833

P2=10

60≈0.1667

P3=15

60≈0.2500

進(jìn)而得到：

B0=（1-P1）（1-P2）（1-P3）≈0.5729

B1=P1（1-P2）（1-P3） +（1-P1）P2（1-P3）+（1-P1）（1-P2）P3≈0.3576

在一小時(shí)內(nèi)的任意時(shí)間點(diǎn)，同時(shí)使用洗手間的人數(shù)不超過一人的概率為：

P*= B0+B1 =0.9305=93.05%

所以在這種情況下，三人間配備一個(gè)洗手間比較合理！

聽了阿才的想法，爸爸滿意地點(diǎn)了點(diǎn)頭，向阿才豎起了大拇指。

生活習(xí)慣

也需考量

爸爸接著說：“受個(gè)人生活習(xí)慣的影響，客人使用洗手間的時(shí)間，大多數(shù)是固定的，但也有不固定的。假設(shè)現(xiàn)在同行的三位客人，其中一位客人習(xí)慣在每小時(shí)的前15分鐘（如12：00～12：15）使用洗手間，而另外兩位客人則無固定時(shí)間，但他們平均每小時(shí)也會(huì)使用洗手間15分鐘，配備幾個(gè)洗手間最合理？”

我們知道另外兩位客人在一小時(shí)內(nèi)的任意時(shí)間點(diǎn)使用洗手間的概率是 P=15

60=0.25。不妨令C0， C1分別表示在每小時(shí)的前15分鐘，另外兩位客人里有0位，1位客人使用洗手間的概率。由此不難算出：

C0=（1-P）（1-P）=（1-0.25）（1-0.25）=0.5625

C1=2×P（1-P）=2×0.25（1-0.25）=0.3750

我們便可知道，在每小時(shí)的前15分鐘內(nèi)，三位客人里只有1人使用洗手間的概率為56.25%，而三位客人里，不超過兩人同時(shí)使用洗手間的概率則為? P*= C0+C1=0.5625+0.3750=0.9375=93.75%。

若配備1個(gè)洗手間的話，僅有56.25%的可能保證客人使用洗手間不會(huì)有沖突。而若配備兩個(gè)洗手間的話，就有約94%的可能保證客人使用洗手間不會(huì)有沖突。

如果能確定另外兩位客人不會(huì)在每小時(shí)的前15分鐘內(nèi)使用洗手間的話，那么，這兩位客人在每小時(shí)的后45分鐘內(nèi)的任意某時(shí)刻使用洗手間的概率就是 P=15

45=0.3334。

令 D0， D1分別表示在每小時(shí)的后45分鐘內(nèi)，另外兩位客人里有0位，1位客人使用洗手間的概率，可以不難算出：

D0=（1-P）（1-P）=（1-0.3334）（1-0.3334）≈0.4444

D1=2P（1-P） =2×0.3334×（1-0.3334）≈0.4445

那么，在一小時(shí)內(nèi)的任意時(shí)間點(diǎn)，三位客人中同時(shí)使用洗手間的人數(shù)不超過1人的概率是P*= D0+D1 =0.4444+0.4445=0.8889=88.89% 。

若已知另外兩位客人不會(huì)在每小時(shí)的前15分鐘內(nèi)使用洗手間，配備1個(gè)洗手間就有約89%的可能，可以滿足客人的使用需求。