鄧城

[摘 ?要] 文章通過(guò)對(duì)“橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)”的教學(xué)難點(diǎn)分析，結(jié)合各種教育信息技術(shù)軟件的適用性選擇了超級(jí)畫(huà)板作為教學(xué)輔助軟件，提出了超級(jí)畫(huà)板支持下本節(jié)課的教學(xué)策略，展示了具體的教學(xué)設(shè)計(jì)過(guò)程，并在教學(xué)實(shí)踐中得到幾點(diǎn)反思.

[關(guān)鍵詞] 超級(jí)畫(huà)板;橢圓;幾何性質(zhì)

“橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)”是橢圓的重要教學(xué)內(nèi)容. 在此之前學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)，這節(jié)課主要從代數(shù)與幾何的對(duì)應(yīng)方法來(lái)研究橢圓的范圍、形狀、對(duì)稱(chēng)性等方面的知識(shí). 這節(jié)課的學(xué)習(xí)內(nèi)容和研究方法反映了圓錐曲線幾何性質(zhì)的研究范式，其學(xué)習(xí)的掌握情況影響著后面雙曲線和拋物線內(nèi)容的學(xué)習(xí). 對(duì)橢圓幾何性質(zhì)的深刻理解可以使得在學(xué)習(xí)雙曲線時(shí)通過(guò)類(lèi)比的思想輕松掌握，反之則會(huì)讓學(xué)生在后續(xù)學(xué)習(xí)時(shí)對(duì)橢圓和雙曲線性質(zhì)的理解變得混淆. 下面是筆者設(shè)計(jì)并執(zhí)教的一節(jié)課的教學(xué)案例分析.

教學(xué)難點(diǎn)分析

一是通過(guò)方程探究橢圓的幾何形狀學(xué)生才剛接觸，二是對(duì)離心率的變化導(dǎo)致橢圓形狀變化的準(zhǔn)確理解有一定難度，三是橢圓幾何性質(zhì)中涉及較多的動(dòng)態(tài)變化問(wèn)題，需要一定的教學(xué)手段輔助解決.

教育信息技術(shù)的選擇

首先要明確的是并不是所有課都需要運(yùn)用上信息技術(shù)，也不是所有的解析幾何內(nèi)容都需要使用信息技術(shù). 但對(duì)于“橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)”這節(jié)教學(xué)內(nèi)容，橢圓的范圍和對(duì)稱(chēng)性不需要使用信息技術(shù)也沒(méi)問(wèn)題，使用的話就是更為便捷、容易測(cè)量和“可視化”. 而對(duì)于離心率的變化導(dǎo)致橢圓形狀的變化問(wèn)題，不使用信息技術(shù)對(duì)于邏輯推理能力較好的學(xué)生來(lái)說(shuō)當(dāng)然也是沒(méi)問(wèn)題的，但對(duì)于思維能力和圖形想象能力一般的學(xué)生（尤其是對(duì)文科生）來(lái)說(shuō)，完全不使用信息技術(shù)而非要學(xué)生通過(guò)對(duì) + =1（a>b>0）的處理推出規(guī)律無(wú)疑是較為困難的，同時(shí)也壓抑了學(xué)生學(xué)習(xí)和探索的積極性. 另外如果不應(yīng)用信息技術(shù)，那么教材（人教A版）中例6涉及的橢圓焦半徑的變化規(guī)律也難以展示和深入探究. 可見(jiàn)，在本節(jié)課中使用信息技術(shù)應(yīng)用到教學(xué)中要比不使用更為科學(xué)和高效.

那么使用信息技術(shù)要用哪種數(shù)學(xué)軟件更合適？當(dāng)前應(yīng)用較多的中學(xué)數(shù)學(xué)軟件主要有幾何畫(huà)板、超級(jí)畫(huà)板和GeoGebra，有些教學(xué)內(nèi)容使用不同軟件的教學(xué)效果都差不多，但有些教學(xué)內(nèi)容使用不同軟件還是有較大差別的（各個(gè)軟件各有特長(zhǎng)）. 就這節(jié)課的教學(xué)內(nèi)容來(lái)說(shuō)，第一個(gè)方面，研究橢圓的范圍要先在坐標(biāo)系中繪制橢圓，使用超級(jí)畫(huà)板最直接和便捷，它有多種輸入方式，滿足各種需要. 而GeoGebra只能通過(guò)輸入橢圓方程的形式進(jìn)行輸入，較為不便，而且?guī)缀萎?huà)板相對(duì)更加麻煩. 第二個(gè)方面，研究離心率的變化對(duì)橢圓形狀的改變使用超級(jí)畫(huà)板同樣便捷、直觀，而GeoGebra本身沒(méi)有提供離心率、焦點(diǎn)等圓錐曲線專(zhuān)有名稱(chēng)和量，比較麻煩，幾何畫(huà)板同樣如此. 也就是說(shuō)，GeoGebra和幾何畫(huà)板對(duì)有關(guān)圓錐曲線特有屬性方面的支持不夠，或是制作起來(lái)比較麻煩，不方便老師和學(xué)生運(yùn)用. 而超級(jí)畫(huà)板在解析幾何的各個(gè)方面均有豐富和強(qiáng)大的功能支持，因此在這節(jié)課選擇超級(jí)畫(huà)板是較為合理的，甚至可以說(shuō)，在有關(guān)解析幾何的其他應(yīng)用方面，超級(jí)畫(huà)板也是優(yōu)先考慮的軟件.

教學(xué)策略的選擇

筆者近年來(lái)對(duì)應(yīng)用超級(jí)畫(huà)板到解析幾何教學(xué)進(jìn)行了一定的研究，提出了超級(jí)畫(huà)板支持下解析幾何教學(xué)的一系列策略：（1）多方準(zhǔn)備策略;（2）問(wèn)題驅(qū)動(dòng)策略;（3）互動(dòng)調(diào)整策略;（4）變式探究策略. 這些策略大體上反映了解析幾何教學(xué)任務(wù)的要求、教學(xué)內(nèi)容的特征、教學(xué)方式的原則和教學(xué)效果的追求. 一節(jié)完整的解析幾何教學(xué)內(nèi)容的課堂都可以按照這一系列策略來(lái)設(shè)計(jì)和執(zhí)教，并可以取得較為理想的教學(xué)效果. 下面具體說(shuō)明本節(jié)課主要用到的策略：

第一是多方準(zhǔn)備策略. 首先需要調(diào)查、了解學(xué)生在上節(jié)課的掌握情況，筆者所在學(xué)校為國(guó)家級(jí)示范性高中，學(xué)生的學(xué)習(xí)基礎(chǔ)相對(duì)較好，理解能力較好，大部分學(xué)生都能掌握橢圓的定義及其標(biāo)準(zhǔn)方程的形式，當(dāng)然部分學(xué)生對(duì)方程的推導(dǎo)還不夠熟練（這個(gè)對(duì)于他們來(lái)說(shuō)需要一定時(shí)間理解消化，螺旋上升）. 其次，是了解學(xué)生的學(xué)習(xí)心理狀態(tài). 通過(guò)橢圓的概念及其標(biāo)準(zhǔn)方程的學(xué)習(xí)，部分學(xué)生還是感覺(jué)到有難度的，但同時(shí)大部分學(xué)生對(duì)解析幾何中應(yīng)用超級(jí)畫(huà)板來(lái)幫助學(xué)習(xí)感到新奇，有一定的探索積極性. 再次，需要研究教材，并精心準(zhǔn)備超級(jí)畫(huà)板的課件.

第二是問(wèn)題驅(qū)動(dòng)策略. 直接研究橢圓的幾何性質(zhì)容易讓學(xué)生產(chǎn)生枯燥無(wú)味之感，教師應(yīng)該將知識(shí)轉(zhuǎn)化為問(wèn)題，通過(guò)問(wèn)題來(lái)驅(qū)動(dòng)學(xué)生的學(xué)習(xí)知識(shí). 例如，要研究橢圓的范圍，可以考慮設(shè)計(jì)問(wèn)題：剪裁一個(gè)橢圓紙片至少需要多大的長(zhǎng)方形紙？又如，例5中電影放映燈泡的反射鏡面問(wèn)題可以先用超級(jí)畫(huà)板創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境，讓學(xué)生嘗試探索橢圓中的光學(xué)性質(zhì).

第三是互動(dòng)調(diào)整策略. 預(yù)設(shè)再完美都只是虛的，課堂需要在預(yù)設(shè)基礎(chǔ)上根據(jù)學(xué)生的實(shí)際反饋調(diào)整策略不斷“生成”. 例如，有些超級(jí)畫(huà)板課件中體現(xiàn)的規(guī)律和性質(zhì)學(xué)生一時(shí)反應(yīng)不了或者接受不了，可以放慢腳步，反復(fù)操作演示，在關(guān)鍵位置多引導(dǎo)學(xué)生分析，等等，通過(guò)各種方式調(diào)整教學(xué)節(jié)奏.

第四是變式探究策略. 教學(xué)不是簡(jiǎn)單地教“教材”，而是用“教材”教. 教材是數(shù)學(xué)教育專(zhuān)家學(xué)者的智慧結(jié)晶，教材中隱藏著豐富的教學(xué)本質(zhì)和數(shù)學(xué)思想，教師要善于發(fā)現(xiàn)教材的“留白”，在合適時(shí)機(jī)可以引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行變式探究，獲得更多更深的數(shù)學(xué)體驗(yàn). 例如，教材中例6表面上求是一個(gè)簡(jiǎn)單軌跡方程問(wèn)題，但事實(shí)上它暴露了橢圓的第二定義知識(shí)，同時(shí)還涉及焦半徑的長(zhǎng)度變化規(guī)律，這些知識(shí)在高考中仍然時(shí)常有其影子出現(xiàn)，如果學(xué)生的基礎(chǔ)能夠接受，應(yīng)當(dāng)引導(dǎo)學(xué)生探索，充分發(fā)展學(xué)生的思維水平. 而在超級(jí)畫(huà)板的支持下，變式探究更方便了，比如例6的相關(guān)問(wèn)題使用超級(jí)畫(huà)板來(lái)探究就是小菜一碟的事情.

教學(xué)過(guò)程（節(jié)選）

1. 知識(shí)回顧

問(wèn)題1：橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是什么？

生：當(dāng)焦點(diǎn)在x軸上時(shí)，橢圓的方程為 + =1;當(dāng)焦點(diǎn)在y軸上時(shí)，橢圓的方程為 + =1.

設(shè)計(jì)意圖：引導(dǎo)學(xué)生回顧橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，有利于鞏固知識(shí)，并且為橢圓幾何性質(zhì)的探究做好知識(shí)鋪墊.

2. 探究橢圓的范圍

問(wèn)題2：如果要剪裁一個(gè)橢圓紙片出來(lái)，需要至少多大的長(zhǎng)方形紙片？

生：需要一張長(zhǎng)夠2a，寬夠2b的長(zhǎng)方形紙片.

問(wèn)題3：不錯(cuò)，任何一個(gè)給定的橢圓上是有范圍限制的，這是從幾何直觀的角度. 那能否從方程的角度看出范圍？請(qǐng)以焦點(diǎn)在x軸的橢圓為例進(jìn)行思考.

生：由橢圓方程 + =1可知， ≤1， ≤1，所以有-a≤x≤a，-b≤y≤b.

師：不錯(cuò).

教師應(yīng)用超級(jí)畫(huà)板移動(dòng)橢圓上的點(diǎn)，測(cè)量表達(dá)出其坐標(biāo)，范圍確實(shí)如此.

師：有沒(méi)有判斷范圍的其他思路？注意到有平方和等于1的出現(xiàn)哦.

生：還可以三角換元. ?+ =1可寫(xiě)成 ?+ ?=1，這樣可令 =cosθ， =sinθ，于是x=acosθ∈[-a，a]，y=bsinθ∈[-b，b].

3. 探究橢圓的對(duì)稱(chēng)性

師：不錯(cuò). 橢圓還有沒(méi)有其他幾何性質(zhì)？

學(xué)生通過(guò)圖形觀察不難發(fā)現(xiàn)橢圓還有對(duì)稱(chēng)性，橢圓關(guān)于坐標(biāo)軸對(duì)稱(chēng)，也關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng).

師：能不能通過(guò)方程從代數(shù)的角度說(shuō)明橢圓的對(duì)稱(chēng)性？

學(xué)生一時(shí)沒(méi)有反應(yīng).

教師補(bǔ)充提醒：回憶一下，如何說(shuō)明拋物線y=x2是關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)的？

學(xué)生頓時(shí)反應(yīng)了過(guò)來(lái).

生：在 + =1上任取一點(diǎn)P（x，y），若點(diǎn)P關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)P′（-x，y）也在橢圓上，則可以說(shuō)明橢圓關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng). 由于P（x，y）滿足 + =1，將P′（-x，y）代入方程也滿足，所以P′（-x，y）也在橢圓上，所以橢圓關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng).

用同樣的方法，學(xué)生解釋了橢圓關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)和關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，同時(shí)也得到了各個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)表達(dá).

變式探究：在 + =1（a>b>0）中，F(xiàn)1，F(xiàn)2為左、右焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)F1作一直線（不與x軸重合）交橢圓A，B兩點(diǎn)，過(guò)F2作直線AB的平行線交橢圓于C，D兩點(diǎn)，那么有什么結(jié)論？通過(guò)超級(jí)畫(huà)板展示圖1如下：

設(shè)計(jì)意圖：加強(qiáng)學(xué)生對(duì)橢圓對(duì)稱(chēng)性質(zhì)的理解和應(yīng)用. F1，F(xiàn)2本身關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，這是個(gè)重要信息，再結(jié)合AB與CD平行，其中蘊(yùn)含著新的對(duì)稱(chēng)信息和長(zhǎng)度關(guān)系，學(xué)生通過(guò)觀察不難發(fā)現(xiàn)AF1=DF2，BF1=CF2，但如何證明還需學(xué)生稍微動(dòng)點(diǎn)腦筋. 如果學(xué)生沒(méi)有反應(yīng)可以通過(guò)超級(jí)畫(huà)板將OB旋轉(zhuǎn)180°或是作點(diǎn)B關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)）.

4. 探究橢圓的離心率

師：橢圓四個(gè)頂點(diǎn)再加上對(duì)稱(chēng)性對(duì)我們有什么作用？

生：可以大概確定橢圓的圖像形狀.

問(wèn)題4：請(qǐng)同學(xué)們畫(huà)出橢圓 + =1， + =1和 +y2=1的圖形，并觀察這三個(gè)橢圓在形狀上有什么不同？

設(shè)計(jì)意圖：與教材中采用直接算出 的值，然后對(duì)照橢圓的扁平程度得出 的大小決定橢圓的扁平程度的處理方式不同（如圖2所示）. 筆者認(rèn)為，學(xué)生在剛學(xué)習(xí)了橢圓的范圍的基礎(chǔ)上先固定a不變，變化b更能發(fā)現(xiàn)橢圓扁平程度的變化，也就是根據(jù)“最近發(fā)展區(qū)”的思想，讓學(xué)生“跳一跳就可以摘到桃子”，也讓學(xué)生探索的積極性得到保證.

生：三個(gè)橢圓越來(lái)越扁.

師：沒(méi)錯(cuò)，是什么原因？跟什么有關(guān)？

設(shè)計(jì)意圖：先通過(guò)固定橢圓的長(zhǎng)軸不變，改變短軸長(zhǎng)度，讓學(xué)生從圖形角度觀察變化情況，并得到初步的感性認(rèn)識(shí)：長(zhǎng)軸不變的情況下，短軸越短橢圓越扁. 值得注意的是，教師應(yīng)該先讓學(xué)生自行畫(huà)圖觀察并猜想，不要一下就使用超級(jí)畫(huà)板來(lái)展示動(dòng)畫(huà)，這個(gè)學(xué)習(xí)環(huán)節(jié)難度不大，應(yīng)讓學(xué)生動(dòng)手操作，形成一定的畫(huà)圖基本功，并進(jìn)行推理想象. 教師在學(xué)生得出結(jié)論后使用超級(jí)畫(huà)板“驗(yàn)證”一下就可以了. 這個(gè)任務(wù)對(duì)于超級(jí)畫(huà)板來(lái)說(shuō)是最簡(jiǎn)單的（但對(duì)于幾何畫(huà)板來(lái)說(shuō)比較麻煩），操作過(guò)程是：先插入一個(gè)自定義變量b，范圍選擇在0到4之間，然后點(diǎn)擊功能面板中的“圓錐曲線”，就會(huì)彈出產(chǎn)生圓錐曲線的多種方式，根據(jù)當(dāng)前需要，確定長(zhǎng)半軸長(zhǎng)a=4，短半軸長(zhǎng)b的框輸入剛才自定義的變量b，即繪制出橢圓 + =1來(lái)，如圖3所示. 通過(guò)拖曳變量b改變其大小，橢圓即時(shí)跟隨變化，非常直觀.

師：還有其他方法能讓橢圓變扁嗎？

生：固定短軸長(zhǎng)度不變，讓長(zhǎng)軸變長(zhǎng).

師：不錯(cuò)，兩個(gè)量的改變都可以改變橢圓的形狀，能不能統(tǒng)一用一個(gè)式子表示？

生：可以用比值 . 當(dāng) 越大，橢圓越圓;當(dāng) 越小，橢圓越扁.

師：總結(jié)得很到位！現(xiàn)在問(wèn)題是有沒(méi)有其他的量可以用來(lái)衡量橢圓的扁平程度？比如說(shuō)用半焦距長(zhǎng)c？c可是在講橢圓概念時(shí)就出現(xiàn)過(guò)的.

問(wèn)題5：探究 的大小能否決定橢圓的扁平程度？為什么？

部分學(xué)生對(duì)于這個(gè)問(wèn)題會(huì)感到困難，教師可以利用超級(jí)畫(huà)板進(jìn)行實(shí)驗(yàn)演示. 第一個(gè)演示實(shí)驗(yàn)是借助講橢圓的概念時(shí)已經(jīng)講過(guò)的橢圓的一種產(chǎn)生方式（也就是課本習(xí)題2.2的第7題）：圓O的半徑為定長(zhǎng)r，A是圓O內(nèi)的一個(gè)定點(diǎn)，P是圓上任意一點(diǎn).線段AP的垂直平分線l和半徑OP相交于點(diǎn)Q，當(dāng)點(diǎn)P在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)Q的軌跡是以O(shè)，A為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為r的一個(gè)橢圓，如圖4所示. 在超級(jí)畫(huà)板中固定r不變，移動(dòng)A點(diǎn)使得OA變大時(shí)，即 變大時(shí)，容易發(fā)現(xiàn)對(duì)應(yīng)的橢圓變得越來(lái)越扁.

第二個(gè)演示實(shí)驗(yàn)是在超級(jí)畫(huà)板中添加自定義變量a和c（c

問(wèn)題6： 能決定橢圓的扁平程度嗎？

生：由于 ?= = = ?-1，因?yàn)?可以決定橢圓的扁平程度，所以 也可以，但課本為什么不用它來(lái)表示扁平程度呢？

師：由于a和c是初始量，并且 可以形象地理解為焦點(diǎn)離開(kāi)中心的程度，所以我們把 叫作離心率，用e表示. 當(dāng)然使用 還會(huì)給研究圓錐曲線的統(tǒng)一性質(zhì)帶來(lái)方便，后面會(huì)提到.

師：數(shù)學(xué)上一給出新的量，一般就會(huì)研究其范圍. 請(qǐng)問(wèn)離心率e的范圍是多少？

生：因?yàn)?

師：那當(dāng)e趨向于0時(shí)，橢圓如何變化？e趨向于1時(shí)呢？

生：e趨向于0，橢圓越來(lái)越圓;e趨向于1時(shí)橢圓越來(lái)越扁.

教師用超級(jí)畫(huà)板拖動(dòng)離心率e演示橢圓的變化程度.

接著教師讓學(xué)生完成例4和例5.

問(wèn)題7：已知橢圓 + =1，點(diǎn)F為橢圓的右焦點(diǎn)，點(diǎn)P為橢圓上的任意一點(diǎn)，試探究PF長(zhǎng)度的取值范圍？

設(shè)計(jì)意圖：因?yàn)楸竟?jié)課講的是橢圓的幾何性質(zhì)，筆者將教材中的例6先變式為橢圓的焦半徑PF的大小變化問(wèn)題，然后再引導(dǎo)學(xué)生嘗試發(fā)現(xiàn)新的規(guī)律. 雖然人教版的教材不提橢圓的第二定義，但在“橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)”后面的“信息技術(shù)應(yīng)用”欄目中提到了用信息技術(shù)探究橢圓第二定義的探究性問(wèn)題. 如今，使用超級(jí)畫(huà)板來(lái)制作這個(gè)探究性問(wèn)題的課件要比幾何畫(huà)板簡(jiǎn)單得多.

教師運(yùn)用超級(jí)畫(huà)板拖曳點(diǎn)P的位置，即時(shí)測(cè)量PF的長(zhǎng)度（如圖5所示），讓學(xué)生觀察長(zhǎng)度的變化，同時(shí)根據(jù)學(xué)生的要求移動(dòng)到學(xué)生想要的位置讓學(xué)生充分觀察，也可以讓學(xué)生上臺(tái)直接操作.

生：點(diǎn)P在右頂點(diǎn)時(shí)PF的長(zhǎng)度最短，隨著點(diǎn)P往左邊移動(dòng)，PF的長(zhǎng)度逐漸變大，當(dāng)點(diǎn)P在左頂點(diǎn)時(shí)PF的長(zhǎng)度最大.

師：能否用數(shù)學(xué)式子計(jì)算出來(lái)？

生：設(shè)P（x，y），由點(diǎn)P為橢圓上一點(diǎn)，所以有y2=9- x2，所以PF= = = x-5= x- ，因?yàn)?5≤x≤5，所以PF∈[1，9].

變式探究1：是否對(duì)其他橢圓都有一樣的結(jié)論？

變式探究2：PF= x- 中出現(xiàn)了離心率 ， 又與什么有關(guān)？能否猜想出新的橢圓性質(zhì)？

學(xué)生通過(guò)自主思考和小組合作交流得出結(jié)論，教師運(yùn)用超級(jí)畫(huà)板展示規(guī)律，增強(qiáng)感性認(rèn)識(shí)和理性認(rèn)識(shí).

接下來(lái)教師引導(dǎo)學(xué)生小結(jié)本節(jié)課的學(xué)習(xí)內(nèi)容，教師布置課后作業(yè).

為了更好地激發(fā)有數(shù)學(xué)發(fā)展?jié)摿Φ膬?yōu)生進(jìn)行探索學(xué)習(xí)的積極性，筆者還設(shè)計(jì)這樣一個(gè)變式題：在本節(jié)課探討橢圓范圍時(shí)提到橢圓被限定于長(zhǎng)為長(zhǎng)軸長(zhǎng)、寬為短軸長(zhǎng)的矩形中，顯然橢圓與該矩形還相切. 現(xiàn)請(qǐng)?zhí)骄繖E圓能否限定在普通的平行四邊形中，使得該橢圓外切于平行四邊形，并探究外切平行四邊形的面積的最值.

幾點(diǎn)反思

1. 問(wèn)題的驅(qū)動(dòng)是確保教學(xué)有效開(kāi)展的基礎(chǔ)

哈爾莫斯說(shuō)：“問(wèn)題是數(shù)學(xué)的心臟.”如果沒(méi)有問(wèn)題的設(shè)計(jì)和引導(dǎo)，只有知識(shí)的說(shuō)教，即便教師多么聲嘶力竭地去強(qiáng)調(diào)所謂的重難點(diǎn)，也只能讓學(xué)生感到突兀和茫然，無(wú)力也無(wú)心去深入理解知識(shí)的本質(zhì). 問(wèn)題好比植物的根，它是植物生長(zhǎng)的基礎(chǔ). 斷了根的植物，營(yíng)養(yǎng)物質(zhì)沒(méi)法傳輸?shù)角o葉中，很快就會(huì)枯萎. 例如，本節(jié)課中離心率這個(gè)概念，如果教師直接根據(jù)教材給出定義，學(xué)生是很難接受的，因?yàn)閷W(xué)生不理解為什么要有這個(gè)概念，同時(shí)也對(duì)為什么用 而不是其他的量來(lái)表示離心率感到困惑. 筆者通過(guò)設(shè)置“問(wèn)題4”“問(wèn)題5”和“問(wèn)題6”，使得學(xué)生原有知識(shí)開(kāi)始處于不平衡的狀態(tài)，產(chǎn)生認(rèn)知沖突，激發(fā)學(xué)生主動(dòng)積極探索新知，經(jīng)過(guò)同化和順應(yīng)達(dá)到新的平衡.

2. 變式的探究是引領(lǐng)學(xué)生內(nèi)化知識(shí)的關(guān)鍵

在課堂中，關(guān)鍵問(wèn)題被解決了往往是師生一起合作的結(jié)果，但對(duì)于每個(gè)學(xué)生來(lái)說(shuō)是否真的理解到位了？對(duì)知識(shí)的內(nèi)涵和外延是否完整掌握了？學(xué)生是否學(xué)會(huì)將其本質(zhì)規(guī)律進(jìn)行遷移應(yīng)用了？這些問(wèn)題的解決可以通過(guò)變式探究進(jìn)一步內(nèi)化知識(shí)，構(gòu)建認(rèn)知網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu). 本課例中筆者通過(guò)設(shè)置幾個(gè)難度呈階梯式的變式探究題，引導(dǎo)學(xué)生由點(diǎn)到線，逐步形成系統(tǒng)認(rèn)識(shí). 值得注意的是，超級(jí)畫(huà)板的技術(shù)能輕松支持解析幾何中變式探究的需要，許多圖形的變化只需一個(gè)簡(jiǎn)單的動(dòng)作就可以實(shí)現(xiàn)，比如橢圓可以用離心率這個(gè)變量來(lái)設(shè)定，當(dāng)拖動(dòng)離心率這個(gè)變量時(shí)，橢圓就可以變成雙曲線. 因此，在解析幾何中進(jìn)行變式探究，可以根據(jù)需要及時(shí)將超級(jí)畫(huà)板融入到教學(xué)中.

3. 全面客觀認(rèn)識(shí)將技術(shù)應(yīng)用到教學(xué)的作用

借助超級(jí)畫(huà)板這個(gè)信息技術(shù)工具，在學(xué)生存在難以直觀想象或者需要?jiǎng)討B(tài)幾何探究時(shí)，通過(guò)教師演示或是學(xué)生自主操作超級(jí)畫(huà)板課件，可以輕松突破傳統(tǒng)教學(xué)技術(shù)的限制，做到動(dòng)靜結(jié)合和數(shù)形結(jié)合，在操作過(guò)程中經(jīng)過(guò)觀察容易建立模型，進(jìn)而發(fā)現(xiàn)本質(zhì)規(guī)律. 在教學(xué)條件允許的情況下，可以讓每個(gè)學(xué)生都上機(jī)進(jìn)行操作探究，教師起組織者、引導(dǎo)者和參與者的角色作用. 當(dāng)然，要清醒認(rèn)識(shí)到的是，信息技術(shù)主要還是在幫助學(xué)生發(fā)現(xiàn)、猜想和驗(yàn)證相關(guān)性質(zhì)和規(guī)律時(shí)起到輔助作用，技術(shù)不能代替思考，教學(xué)時(shí)要及時(shí)引導(dǎo)學(xué)生從技術(shù)所呈現(xiàn)的表面現(xiàn)象中思考內(nèi)在的本質(zhì)，并在掌握知識(shí)本質(zhì)后引導(dǎo)學(xué)生不借助技術(shù)而通過(guò)規(guī)律來(lái)描繪和解釋幾何變化現(xiàn)象.