王博, 謝軍偉,*, 張晶, 葛佳昂

(1. 空軍工程大學(xué)防空反導(dǎo)學(xué)院， 西安 710051； 2. 陜西交通職業(yè)技術(shù)學(xué)院， 西安 710018)

與相控陣(Phased Array, PA)不同，頻率分集陣列(Frequency Diverse Array, FDA)通過在陣元間引入遠(yuǎn)小于載頻f0的頻差Δf控制相鄰陣元的相差從而形成具有時(shí)間-角度-距離相關(guān)性的波束指向[1-2]。文獻(xiàn)[3-5]系統(tǒng)綜述了目前FDA領(lǐng)域研究的主要進(jìn)展以及亟待解決的關(guān)鍵技術(shù)問題。對(duì)于收發(fā)共型的一維均勻線性頻率分集陣列(Uniform Linear Array Frequency Diverse Array, ULA-FDA)，在接收端可通過基于頻域?yàn)V波及基于正交波形2種方法實(shí)現(xiàn)信號(hào)分離，從而得到基于梳狀濾波器的FDA(Frequency Diverse Array Based on Frequency Filter, FDA-BFF)和多輸入多輸出FDA(Frequency Diverse Array based on Multiple-Input Multiple-Output, FDA-MIMO)接收機(jī)結(jié)構(gòu)[6-8]。支援干擾機(jī)可通過在防區(qū)外釋放強(qiáng)噪聲或密集假目標(biāo)信號(hào)的方式在作戰(zhàn)區(qū)域形成一定的干擾扇面，以掩護(hù)作戰(zhàn)飛機(jī)突防。此時(shí)，作戰(zhàn)飛機(jī)與干擾機(jī)處于不同的空間位置，可通過空域?yàn)V波技術(shù)最大化目標(biāo)方向接收增益，同時(shí)對(duì)干擾方向增益置零?；贔DA的自適應(yīng)波束形成方法中雙邊最小方差無失真響應(yīng)(Two-Side Minimum Variance Distortionless Response, TS-MVDR)波束形成器能夠有效降低經(jīng)典最小方差無失真響應(yīng)(Minimum Variance Distortionless Response, MVDR)波束形成器的計(jì)算復(fù)雜度，但當(dāng)估計(jì)的導(dǎo)向矢量存在誤差時(shí)，波束形成器的輸出性能會(huì)嚴(yán)重下降。

針對(duì)這一問題，本文在將重疊子陣結(jié)構(gòu)代替ULA-FDA作為接收陣列的基礎(chǔ)上，采用可變加載約束的最速下降線性約束最小方差(Steepest Descent Linear Constrained Minimum Variance, SD-LCMV)算法計(jì)算導(dǎo)向矢量失配時(shí)的最優(yōu)權(quán)矢量，實(shí)現(xiàn)了陣列方向圖主瓣的糾偏和保形。最后，仿真驗(yàn)證了本文分析的正確性。

1 模型假設(shè)

圖1為ULA-FDA的基本結(jié)構(gòu)。

圖1 ULA-FDA基本結(jié)構(gòu)Fig.1 Basic conguration of ULA-FDA

窄帶條件下，設(shè)載波頻率為f0，則第n個(gè)陣元對(duì)空輻射信號(hào)的載頻為

fn=f0+nΔfn=0,1,…,N-1

(1)

第n個(gè)陣元發(fā)射信號(hào)可表示為

sn(t)=exp(j2πfnt)n=0,1,…,N-1

(2)

陣元n發(fā)射的信號(hào)到達(dá)遠(yuǎn)場點(diǎn)觀測點(diǎn)(R,θ)的信號(hào)表達(dá)式為

(3)

式中：陣元n到目標(biāo)點(diǎn)的距離rn=R-ndsinθ，R為參考陣元到目標(biāo)點(diǎn)的距離，d為陣元間距;c為光速。一般地，陣元n與陣元n-1發(fā)射的信號(hào)傳播到遠(yuǎn)場點(diǎn)觀測點(diǎn)(R,θ)時(shí)所形成的相位差為

(4)

(5)

采用如圖1所示的陣列作為收發(fā)共型陣，信號(hào)在發(fā)射端經(jīng)賦相或加權(quán)后向空間輻射，經(jīng)目標(biāo)二次反射回接收陣列，在接收端通過采用不同的濾波方式可以構(gòu)成相應(yīng)的發(fā)射-接收機(jī)結(jié)構(gòu)。文獻(xiàn)[8-9]中對(duì)帶限相干處理、全波段相干處理、全波段偽相干處理這3種FDA陣列接收端信號(hào)處理機(jī)制與FDA-PA、FDA-BFF、FDA-MIMO接收機(jī)結(jié)構(gòu)的對(duì)應(yīng)關(guān)系做了詳細(xì)的分析。本文基于文獻(xiàn)中關(guān)于FDA陣列3種接收端信號(hào)處理機(jī)制的分析，對(duì)基于PA雷達(dá)、FDA-BFF以及FDA-MIMO結(jié)構(gòu)的MVDR波束形成器的干擾抑制性能做進(jìn)一步的分析。

1.1 MVDR算法模型

假設(shè)一PA雷達(dá)包含M個(gè)全向陣元，目標(biāo)位于空間(Rs,θs)處，另有Z個(gè)干擾源，空間位置分別為(Ri,θi),i=1,2,…,Z，則PA的接收信號(hào)可表示為

(6)

式中：s(t)為有用信號(hào)；J(t)=[j1(t),j2(t),…,jZ(t)]為干擾信號(hào)集；a(θ)為PA的接收導(dǎo)向矢量，即

a(θ)=[1 e-j(2πf0dsin θ/c)… e-j(Z-1)(2πf0dsin θ/c)]

(7)

陣列輸出可表示為

(8)

式中：wH為接收端加權(quán)矢量；n(t)為接收機(jī)噪聲矢量。MVDR波束形成準(zhǔn)則可表述為[10]

s.t.wHa(θs)=1,wHa(θi)=0

(9)

求解式(9)，可得對(duì)應(yīng)的加權(quán)矢量為

(10)

式中：R=E[xJ(t)xJH(t)]，xJ(t)=J(t)+n(t)。數(shù)字波束的輸出性能常用輸出信干噪比(SINR)表示，即

(11)

1.2 MVDR算法應(yīng)用

將FDA-BFF、FDA-MIMO 接收機(jī)結(jié)構(gòu)的導(dǎo)向矢量代入式(10)，即可求得相應(yīng)的最優(yōu)加權(quán)矢量。對(duì)FDA-BFF結(jié)構(gòu)，陣列輸出為

n(t)=wH[a(R0)*a(θ0)]s(t)+

(12)

式中：a(R)=[1 ej(2πΔfR/c)… ej(N-1)(ΔfR/c)]；a(θ)=[1 e-j(2πf0dsin θ/c)… e-j(N-1)(2πf0dsin θ/c)]；*表示Hadamard積。將導(dǎo)向矢量代入式(10)，得接收端加權(quán)矢量為

(13)

輸出信干噪比可為

(14)

對(duì)FDA-MIMO結(jié)構(gòu)，陣列輸出可表示為

y(t)=wH[a(R0,θ0)?b(θ0)]s(t)+

(15)

式中：?表示克羅內(nèi)克積；b(θ)=a(θ)。由式(15)可得，相比于PA雷達(dá)和FDA-BFF結(jié)構(gòu)，F(xiàn)DA-MIMO結(jié)構(gòu)具備二維空域的干擾抑制能力，只要干擾與目標(biāo)在距離、角度一維可分辨，就能夠在保持目標(biāo)增益的同時(shí)對(duì)干擾進(jìn)行抑制，干擾抑制能力更強(qiáng)。此時(shí)，接收端加權(quán)矢量可表示為

(16)

輸出信干噪比可表示為

(17)

1.3 TS-MVDR算法在FDA-MIMO中的應(yīng)用

為解決式(10)在FDA-MIMO中直接應(yīng)用算法復(fù)雜度過高的問題，充分利用MIMO導(dǎo)向矢量中的克羅內(nèi)克結(jié)構(gòu)，采用TS-MVDR[8]進(jìn)行最優(yōu)權(quán)矢量求解，即將MIMO波束形成過程虛擬為發(fā)射波束形成和接收波束形成2個(gè)過程，兩過程中的導(dǎo)向矢量分別為a(R,θ)和b(θ)，利用式(9)分別求取對(duì)應(yīng)過程的最優(yōu)權(quán)矢量，再求取兩最優(yōu)權(quán)矢量的克羅內(nèi)克積作為最終的權(quán)重矢量，該過程可描述為

(18)

假設(shè)FDA-MIMO擁有N個(gè)陣元，MVDR波束形成器需通過式(15)求解N2個(gè)系數(shù)向量；而TS-MVDR相當(dāng)對(duì)單一子陣、子列分別進(jìn)行MVDR波束形成，最后通過克羅內(nèi)克積綜合為一個(gè)權(quán)矢量，僅需求解2N個(gè)系數(shù)向量，大大降低了計(jì)算量。

2 子陣FDA結(jié)構(gòu)分析

圖1所示基本FDA陣列在陣元間引入固定的頻偏增量，其“S型”的方向圖中存在著距離-角度耦合的問題，這一耦合是由于頻偏增量與陣元間距的線性遞增同步而導(dǎo)致的[11-12]。通過在陣元間引入非線性頻偏增量或者將陣列結(jié)構(gòu)劃分為不同的子陣結(jié)構(gòu)都可以打破這種同步，從而實(shí)現(xiàn)方向圖的距離-角度解耦[13-16]。圖2為單邊子陣、中心對(duì)稱子陣、重疊子陣以及交叉子陣FDA的陣列結(jié)構(gòu)[17-19]。

本文采用旁瓣最低的重疊子陣FDA結(jié)構(gòu)代替基本的ULA-FDA作為收發(fā)共型陣，同時(shí)將正弦形式的非線性頻偏增量引入重疊正弦FDA陣列。圖2(c)的重疊子陣FDA中從參考陣元開始依次構(gòu)建陣元數(shù)為M的子陣列，相鄰子陣間不完全重疊。假定ULA-FDA陣列陣元數(shù)為N，子陣的陣元數(shù)為M，則可以構(gòu)建出N-M+1個(gè)子陣列。第l個(gè)子陣在遠(yuǎn)場位置處的信號(hào)形式為

圖2 子陣FDA結(jié)構(gòu)Fig.2 Conguration of subarray-based FDAs

(19)

式中:sl(t)為第l個(gè)子陣的發(fā)射波形;wl為權(quán)矢量；ul為導(dǎo)向矢量，即

(20)

βm,l=2π[Δf(R/c)+f0mdsinθ/c]

(21)

3 可變加載約束SD-LCMV算法

(22)

可變加載約束SD-LCMV算法通過對(duì)權(quán)重矢量的范數(shù)設(shè)置一個(gè)上界約束，從而提高波束形成器的穩(wěn)健性能。將式(9)的優(yōu)化問題模型改寫為

(23)

式中:δ表示約束上界。采用拉格朗日乘子法構(gòu)造代價(jià)函數(shù)：

(24)

采用最速下降方向即負(fù)梯度方向作為搜索方向，得到權(quán)矢量的迭代公式為

(25)

(26)

將式(26)代入式(25)中，得到權(quán)重迭代公式為

w(n+1)=P[w(n)-

μyH(n)x(n)]+F-ημPw(n)

(27)

b1η2+b2η+b3=0

(28)

其中：

b1=[μPw(n)]H[μPw(n)]

(29)

(30)

b2=-2Re{(μPw(n)]H[P(w(n)-

μyH(n)x(n))+F]}

(31)

求解可得η。式中：Re[]表示取實(shí)部。同時(shí)，根據(jù)式(32)在最速下降方向上搜索真實(shí)導(dǎo)向矢量：

a(n+1)=a(n)-μ[2w(n+1)+

(32)

4 仿真分析

假設(shè)陣元間距d=c/(2f0)，f0=10 GHz，Δf=10 kHz，t=0 s，仿真驗(yàn)證本文分析的有效性。

仿真13種陣列的干擾抑制特性分析。

本例中考慮30陣元的FDA陣列，假設(shè)目標(biāo)位置為(30 km,30°)，干擾位于(32 km,31°)，基于PA、FDA-BFF結(jié)構(gòu)的MVDR陣列方向圖分別如圖3和圖4所示。改變干擾位置，設(shè)干擾位于(32 km,42°)處，得基于MVDR的FDA-BFF陣列方向圖如圖5所示。對(duì)于FDA-MIMO結(jié)構(gòu)，由于MIMO的結(jié)構(gòu)復(fù)雜性，MVDR波束形成器并不適用于大規(guī)模的FDA-MIMO陣列。當(dāng)干擾位于(32 km,31°)，當(dāng)陣元數(shù)分別為9、30時(shí)，基于FDA-MIMO結(jié)構(gòu)的MVDR波束形成器的陣列方向圖如圖6和圖7所示。圖8仿真了干擾位于(33 km,31°)時(shí)基于TS-MVDR的FDA-MIMO陣列方向圖。

圖4 基于MVDR的FDA-BFF陣列方向圖(N=30)Fig.4 FDA-BFF beampattern based on MVDR (N=30)

一般情況下，PA結(jié)構(gòu)可以在干擾角度形成一條僅與角度相關(guān)而與距離無關(guān)的“零陷帶”。但當(dāng)干擾與目標(biāo)角度接近時(shí)，由圖3可知，PA的陣列方向圖會(huì)出現(xiàn)主瓣畸變的問題。由于FDA陣元間頻偏增量的原因，圖4中的FDA-BFF結(jié)構(gòu)的波束指向具有距離角度二維相關(guān)性，可在(32 km,31°)干擾位置處形成零陷的同時(shí)，在目標(biāo)位置處保持增益。由圖5可知，當(dāng)干擾的空間位置滿足FDA-BFF結(jié)構(gòu)波束的距離-角度耦合關(guān)系時(shí)，即干擾位于FDA-BFF的空域主瓣內(nèi)時(shí)，F(xiàn)DA-BFF形成的主瓣在目標(biāo)位置處依然發(fā)生了畸變，波束形成器輸出性能也出現(xiàn)了下降。

圖5 基于MVDR的FDA-BFF陣列方向圖(N=30)Fig.5 FDA-BFF beampattern based on MVDR (N=30)

圖6 基于MVDR的FDA-MIMO陣列方向圖(N=9)Fig.6 FDA-MIMO beampattern based on MVDR (N=9)

圖7 基于MVDR的FDA-MIMO陣列方向圖(N=30)Fig.7 FDA-MIMO beampattern based on MVDR (N=30)

圖8 基于TS-MVDR的FDA-MIMO陣列方向圖(N=30)Fig.8 FDA-MIMO beampattern based on TS-MVDR (N=30)

由圖6和圖7可知，當(dāng)N=9時(shí)，通過應(yīng)用一維MVDR能夠得到在目標(biāo)處增益最大，在干擾處增益置零的方向圖；但當(dāng)N=30時(shí)，雖然在干擾位置處仍能形成零陷，但方向圖出現(xiàn)較大程度畸變，無法找到相應(yīng)的主瓣區(qū)域。由圖8可看出，利用TS-MVDR算法進(jìn)行波束形成，在陣元數(shù)較大的情況下方向圖不會(huì)出現(xiàn)嚴(yán)重的畸變；但當(dāng)干擾與目標(biāo)角度相近時(shí)，仍會(huì)產(chǎn)生主瓣畸變。這是因?yàn)門S-MVDR本質(zhì)上是對(duì)算法計(jì)算量的優(yōu)化，當(dāng)干擾與目標(biāo)角度相近時(shí)，在對(duì)單一子陣、子列分別進(jìn)行MVDR波束形成的過程中已經(jīng)存在主瓣畸變的問題，求取克羅內(nèi)克積的過程對(duì)主瓣畸變問題沒有優(yōu)化作用。

仿真24種子陣FDA的發(fā)射方向圖對(duì)比。

本文的核心是采用非線性頻偏增量的重疊子陣FDA代替基本ULA-FDA作為收發(fā)共型陣，在導(dǎo)向矢量存在失配時(shí)通過SD-LCMV算法求取最優(yōu)導(dǎo)向矢量。本例中對(duì)比分析4種子陣FDA結(jié)構(gòu)的發(fā)射方向圖特性。假設(shè)基本ULA-FDA的陣元數(shù)為20，每個(gè)子陣的陣元數(shù)為10，頻偏增量Δf=2 kHz。圖9為當(dāng)目標(biāo)位于(200 km,30°)時(shí)4種子陣FDA結(jié)構(gòu)的發(fā)射方向圖。為進(jìn)一步優(yōu)化，將正弦形式的非線性頻偏引入到4種子陣結(jié)構(gòu)中得到圖10所示的發(fā)射方向圖。

圖9 子陣FDA發(fā)射方向圖Fig.9 Transmit beampattern of subarray-based FDA

與PA波束指向只與角度相關(guān)而與距離無關(guān)不同，F(xiàn)DA通過在陣元間引入一個(gè)固定的頻偏增量增加了雷達(dá)的自由度，形成了具有距離-角度相關(guān)性的波束指向。當(dāng)基本FDA的“S型”方向圖中固有的距離-角度耦合會(huì)給波束的精確控制等帶來一系列的問題。如圖9所示，僅將基本的ULA-FDA陣列劃分為4種子陣FDA不能有效地實(shí)現(xiàn)距離-角度解耦。通過將非線性頻偏增量引入到陣列中得到圖10所示的發(fā)射方向圖。圖10中4種子陣FDA都可在目標(biāo)位置處形成點(diǎn)狀的波束指向，對(duì)比主瓣寬度和旁瓣大小，重疊子陣FDA具有最優(yōu)特性。因此，本文后續(xù)分析基于重疊子陣sin-FDA陣列的MVDR波束形成器的干擾抑制特性。

仿真3ULA-FDA與重疊子陣sin-FDA的方向圖對(duì)比。

陣元數(shù)為20的ULA-FDA陣列可以構(gòu)成11個(gè)陣元數(shù)為10的重疊子陣，遠(yuǎn)場目標(biāo)位置處的場強(qiáng)為各子陣場強(qiáng)的疊加。與圖11中基本ULA-FDA發(fā)射陣列的多峰值方向圖不同，圖12中重疊子陣sin-FDA發(fā)射方向圖的波束主瓣在目標(biāo)位置處可以形成點(diǎn)狀的發(fā)射波束，能夠有效消除靜態(tài)方向圖中的距離-角度耦合。此外，基于中心對(duì)稱、交叉子陣以及單邊子陣結(jié)構(gòu)的FDA發(fā)射方向圖都可以實(shí)現(xiàn)指向目標(biāo)位置的點(diǎn)狀波束。將重疊子陣sin-FDA結(jié)構(gòu)作為接收陣列，得到如圖13所示的陣列方向圖。與圖8不同，圖13中得到單峰值的重疊sin-FDA-MIMO的陣列方向圖。當(dāng)導(dǎo)向矢量失配時(shí)波束形成器的性能會(huì)出現(xiàn)下降，針對(duì)這一問題本文引入SD-LCMV算法計(jì)算導(dǎo)向矢量失配時(shí)的最優(yōu)權(quán)矢量。

仿真4導(dǎo)向矢量失配時(shí)的干擾抑制特性。

本例中考慮導(dǎo)向矢量存在2°指向誤差，頻偏增量Δf=2 kHz，陣元數(shù)為20的PA、FDA-BFF及重疊子陣sin-FDA陣列其干擾位于(33 km,32°)時(shí)的情況。

圖14～圖16分別為存在2°指向誤差，導(dǎo)向矢量失配情況下基于PA、FDA-BFF及重疊子陣sin-FDA的MVDR波束形成器的陣列方向圖。如圖14和圖15所示，當(dāng)存在指向誤差時(shí)，MVDR波束形成器會(huì)收斂到存在誤差的估計(jì)導(dǎo)向矢量上，主瓣產(chǎn)生明顯偏移。2種算法在干擾位置處都能形成有效零陷，但基于FDA-BFF的MVDR波束形成器形成的零陷較淺，干擾抑制效果有待進(jìn)一步提高。本文方法能夠有效糾正主瓣的偏移，避免畸變的出現(xiàn)。同時(shí)期方向圖僅在目標(biāo)位置處形成單一主瓣峰值，這也為后續(xù)關(guān)于目標(biāo)參數(shù)估計(jì)的一系列分析中的模糊消除奠定了重要基礎(chǔ)。圖17中本文方法的輸出SINR高于其他2種結(jié)構(gòu)?；贔DA-BFF的MVDR波束形成器存在SINR輸出的性能“凹口”，出現(xiàn)凹口的原因是因?yàn)橹靼昊儭?/p>

圖13 重疊子陣sin-FDA陣列方向圖Fig.13 Overlapping subarray-based sin-FDA beampattern

圖14 存在指向誤差時(shí)的PA陣列方向圖Fig.14 PA beampattern with pointing error

圖15 存在指向誤差時(shí)的FDA-BFF陣列方向圖Fig.15 FDA-BFF beampattern with pointing error

圖16 存在指向誤差時(shí)的重疊子陣sin-FDA陣列方向圖Fig.16 Overlapping subarray-based sin-FDA beampattern with pointing error

圖17 3種機(jī)制的SINR比較Fig.17 SINR comparison among three architectures

5 結(jié) 論

1) 分析了干擾與目標(biāo)位置接近時(shí)，MVDR波束形成器在陣元數(shù)較大、導(dǎo)向矢量失配時(shí)出現(xiàn)的主瓣畸變問題。

2) 對(duì)比了4種子陣FDA的陣列方向圖特性，得到將正弦頻控函數(shù)引入重疊子陣FDA中可以得到較為理想的主瓣寬度及旁瓣特性。

3) 對(duì)比驗(yàn)證了與ULA-FDA陣列相比，重疊子陣sin-FDA陣列的發(fā)射方向圖與陣列方向圖具有的解距離-角度耦合特性。

4) 仿真驗(yàn)證了當(dāng)導(dǎo)向矢量存在指向誤差時(shí)，通過SD-LCMV算法的修正，基于重疊子陣sin-FDA的陣列方向圖能夠在抑制干擾的同時(shí)實(shí)現(xiàn)主瓣糾偏和保形。