■(指導(dǎo)教師：褚人統(tǒng))

課堂上很多老師會有意無意地留下一些問題，讓同學(xué)們自己去深挖、探究。其實，這倒是同學(xué)們?nèi)ヌ骄恐R從而獲得科研能力的好機會。本文就是筆者一次認真的探究過程，與讀者共享。

一、老師留下了一個問題

在坐標幾何中，如何求點關(guān)于一條直線的對稱點的話題是個很重要的話題。筆者的數(shù)學(xué)老師在課堂教學(xué)中對這一問題只針對一般情況下的求法做了詳細的解答。

已知點P(m，n)，它關(guān)于直線l：Ax+By+C=0(A2+B2≠0)對稱的點P′(x0，y0)。為求P′(x0，y0)，可以通過直線PP′與直線l垂直、及線段PP′的中點在直線l上這兩個關(guān)系列出方程組；即當A≠0時，方程組就是且+C=0，解出x0、y0就可以了；當A=0時，直線l是平行于x軸的直線，對稱點比較顯然，是容易求的。

不過，老師又留下了一個使我們?nèi)鐗嬙旗F里的問題：當對稱軸直線l比較特殊時候，即直線傾斜角是時，求對稱點就不用上面的一般方法進行大量計算了，只需畫一下圖像看一看就能找出來的。老師還說：在重要的考試中，尤其在高考中，如果出現(xiàn)需要求對稱點的，那么，相應(yīng)的對稱軸(肯定地認為)一定是屬于上述四類直線的。

二、問題的深刻分析

真的嗎?老師輕描淡寫的話，我卻已經(jīng)記在心里了，這是一個怎么樣的“看一看就能找出來”的呢?

當直線l的傾斜角是0或時，直線l與x軸平行或垂直，對稱點一目了然，問題不大；當直線l的傾斜角是時，怎么能輕松地從圖中看出來呢?

在一次自習(xí)時間，我拖住了老師想問個究竟。老師只給了下面的具體做法，還說這樣做可以是“公式化”了。我問：為什么這樣?老師卻說是經(jīng)驗使然(可能不想說)。

點P(m，n)關(guān)于直線l：y=x+b對稱的點是P′(n-b，m+b)；同理，點P(m，n)關(guān)于直線l：y=-x+b對稱的點是P′(-n+b，-m+b)。

我很愕然!老師還說了這結(jié)論其實很容易理解的，理解了自然就記憶了!親愛的讀者，您理解了嗎?記憶了嗎?

三、恍然大悟

這結(jié)論怎么來的呢?在同學(xué)們通力合作下，問題得以解決了。先看點P(m，n)，它關(guān)于直線l：y=x+b對稱的點為何是P′(nb，m+b)? 如圖1：過P點作x軸的垂線、平行線分別交直線l于Q1、Q2，再 過Q1、Q2作x軸的平行線、垂線，交點為P′。得Q1、Q2的坐標分別為Q1(m，m+b)、Q2(nb，n)，推得P′(n-b，m+b)。由于直線l的傾斜角是，從而，矩形PQ1P′Q2是正方形，這樣對角線PP′與Q1Q2互相垂直，從而，P′(n-b，m+b)就是P(m，n)關(guān)于直線l：y=x+b的對稱點。

圖1

同理可以證得另一個結(jié)論，上述過程也揭示了：當直線的傾斜角不是時，這樣作圖得到的矩形不是正方形，那么，就無法用上面的幾何方法去求對稱點了，如果要求的話，只能按照本文開頭的一般方法去求了。