龔定東

(浙江理工大學(xué)理學(xué)院，浙江 杭州 310018)

八元數(shù)作為一種非交換非結(jié)合的代數(shù)，是一種特殊的Clifford代數(shù)，也是最大的除代數(shù).關(guān)于八元數(shù)的函數(shù)論已有諸多學(xué)者作了研究[1-6]，而且八元數(shù)的分析理論在科學(xué)技術(shù)領(lǐng)域中也有重要的應(yīng)用[7].

在復(fù)分析中，Cauchy型積分及其奇異積分理論是一個(gè)十分豐富且極其重要的研究課題[8-12].對八元數(shù)而言，Li等[3]和Wang等[6]研究了八元數(shù)的積分表示.Wang等[6]討論了八元數(shù)中具有光滑邊界域上的奇異積分理論，進(jìn)一步的研究還有待完善.受文獻(xiàn)[8-10]中方法的啟發(fā)，本文中利用八元數(shù)的Cauchy型積分研究奇異積分.

1 閉逐塊光滑流形與八元數(shù)的Cauchy核

首先回顧一下八元數(shù)代數(shù)O的基礎(chǔ)理論.八元數(shù)的單位元記為

e0,e1,e2,e3,e4,e5,e6,e7，其中e0=1.

八元數(shù)O中的任一元素x∈O可表示為

x=x0e0+x1e1+x2e2+x3e3+x4e4+x5e5+x6e6+x7e7，

其中xj∈R,j=0,1,…,7.

八元數(shù)中乘法滿足如下的單位元基本乘法表(行乘以列)(見圖1).

1e1e2e3e4e5e6e7e1-1e3-e2e5-e4-e7e6e2-e3-1e1e6e7-e4-e5e3e2-e1-1e7-e6e5-e4e4-e5-e6-e7-1e1e2e3e5e4-e7e6-e1-1-e3e2e6e7e4-e5-e2e3-1-e1e7-e6e5e4-e3-e2e1-1

圖1 單位元基本乘法示意圖

Fig.1 Diagram of the basic multiplication law of unit elements

另外，八元數(shù)中乘法還具有如下性質(zhì)：

(i)eiej=ek，則ei+1ej+1=ek+1，

(ii)eiej=ek，則e2ie2j=e2k.

gj:Uj→R,1≤j≤k,

使得

(i)D∩U={u∈U|對1≤j≤k或者u∈Uj,或者gj(u)<0}；

對{1,2，…,k}的每一個(gè)有序子集J={j1,j2,…,jl}，‖J‖=l,定義

并選取SJ的定向使得在J的分量中是斜對稱的.當(dāng)給出D的通常定向時(shí)，則

記

Sj={u∈?D∩Uj|gj(u)=0}，

設(shè)

此處，ω8是R8中單位球面的曲面面積，Φ(x,z)為八元數(shù)O的Cauchy核函數(shù)[3].

定義一階微分算子

函數(shù)f(x)稱為是左(右)八元解析的，若

八元數(shù)O上也有類似于復(fù)分析中的Cauchy積分公式.

選擇具有專業(yè)素養(yǎng)且口味互異的評(píng)價(jià)員20人,組成評(píng)價(jià)小組,對飲料的色澤、氣味、口感進(jìn)行評(píng)價(jià)。應(yīng)用統(tǒng)計(jì)學(xué)的方法處理數(shù)據(jù)[9],所得感官評(píng)價(jià)方法如表1所示。

(1)

(2)

其中[Φ,Dfα,eα]=(ΦDfα)eα-Φ(Dfαeα)是八元數(shù)上的結(jié)合子.

事實(shí)上，上述Cauchy積分公式對逐塊光滑邊界情形也成立.

2 Sokhotski-Plemelj公式

設(shè)區(qū)域D及其邊界?D如上所定義.本節(jié)中我們討論Cauchy型積分在邊界的極限行為.只對式(1)型Cauchy積分進(jìn)行研究，式(2)型Cauchy積分與此類似.

定義1當(dāng)t∈?D時(shí)，積分

(3)

是?D上的奇異積分.記Ω=?D-?D∩St(ε)，St(ε)={x∈O‖x-t|<ε}.若極限

存在，則稱此極限為奇異積分(3)的Cauchy主值.記

t)(dσ(x)f(x)).

由高斯積分與文獻(xiàn)[9]，在邊界?D上點(diǎn)t可定義立體角系數(shù)α(t)[8].

定義2區(qū)域D定義如上，對t∈?D時(shí)，立體角系數(shù)為

證明記n(x)為曲面上點(diǎn)x處的外法單位向量，由定理1可知

證畢.

定義3稱f(x)∈H(α,?D),0<α≤1，若對t1,t1∈?D，有

|f(t1)-f(t2)|≤M|t1-t2|α，

此處，M為一正常數(shù).

定理2設(shè)f(x)∈H(α,?D), 0<α≤1，則奇異積分(3)的Cauchy主值存在，且

等式右端的積分是收斂的弱奇性奇異積分.

證明由引理1，只需證明等式右端的積分是當(dāng)ε→0時(shí)收斂的弱奇性奇異積分即可.由

對a,b∈O，容易驗(yàn)證

|ab|=|a|·|b|，

(4)

因而有

上式最后一個(gè)積分顯然是當(dāng)ε→0時(shí)收斂的弱奇性奇異積分.證畢.

定理3設(shè)f(x)∈H(α,?D),0<α≤1，x、t∈?D，當(dāng)|z-t|<δ時(shí)，對所有的點(diǎn)z屬于以t為頂點(diǎn)的一角形區(qū)域內(nèi)，有

其中δ>0足夠小，m為常數(shù)，則函數(shù)

是?D上點(diǎn)z=t的連續(xù)函數(shù)，即當(dāng)點(diǎn)z由域D的內(nèi)、外部沿以t為頂點(diǎn)的一角形區(qū)域內(nèi)任何途徑趨于點(diǎn)t時(shí)，有

證明首先點(diǎn)z由域D的內(nèi)、外部沿以t為頂點(diǎn)的一角形區(qū)域內(nèi)任何途徑趨于點(diǎn)t時(shí)的證明方法是類似的.在此只證明點(diǎn)z由域D的內(nèi)部途徑趨于點(diǎn)t時(shí)的極限值.令

σ=?D∩St(ε),Σ=?D-σ，

則

|I1|+|I2|+|I3|,

由H?lder條件和式(4)可得

(5)

式(5)中的最后一個(gè)積分顯然是當(dāng)ε→0時(shí)收斂的弱奇性奇異積分，于是

我們記F+(t),F-(t)分別是式(3)中F(z)當(dāng)點(diǎn)z由域D的內(nèi)、外部沿以t為頂點(diǎn)的一角形區(qū)域內(nèi)任何途徑趨于點(diǎn)t時(shí)的極限值.由定理2和定理3可以得到如下定理.

定理4(Sokhotski-Plemelj公式)設(shè)f(x)∈H(α,?D), 0<α≤1，t∈?D，則Cauchy型積分(3)存在內(nèi)外極限值

(1-α(t))f(t),

且有

F+(t)-F-(t)=f(t),

(dσ(x)f(x))f(t)+(1-2α(t))f(t).