■重慶市鐵路中學(xué)校 何成寶

求圓錐曲線中的離心率范圍問題是同學(xué)們在學(xué)習(xí)圓錐曲線時經(jīng)常遇到的一類問題。面對此類問題,同學(xué)們往往束手無策,難以順利解決,下面結(jié)合幾道例題談?wù)勥@類問題的求解策略,以供參考。

一、建立函數(shù)關(guān)系式求解

根據(jù)題設(shè)條件建立離心率和其他變量的函數(shù)關(guān)系式,然后利用函數(shù)求值域的方法求解離心率的范圍。

例1已知橢圓=1(a＞b＞0)上一點(diǎn)A關(guān)于原點(diǎn)O的對稱點(diǎn)為點(diǎn)B,F為橢圓的右焦點(diǎn),若AF⊥BF,設(shè)∠ABF=α,且,則橢圓離心率的取值范圍是____。

點(diǎn)評：由已知條件建立關(guān)于a,c的一個方程,用參數(shù)α表示離心率e,從而建立了以α為變量的三角函數(shù),然后求三角函數(shù)的值域,從而求出橢圓離心率的取值范圍。

練習(xí)：已知直線l：kx-y-2k+1=0與橢圓=1(a＞b＞0)交于A、B兩點(diǎn),與圓C2：(x-2)2+(y-1)2=1交于C、D兩點(diǎn)。若存在k∈[-2,-1],使得,則橢圓C1的離心率的取值范圍是( )。

二、利用判別式求解

根據(jù)題中條件隱含著的一元二次方程有解,利用判別式建立不等式關(guān)系,來求離心率的取值范圍。

例2設(shè)雙曲線-y2=1(a＞0)與直線l：x+y=1相交于兩個不同的點(diǎn)A、B,求雙曲線C的離心率e的取值范圍。

解析：雙曲線與直線相交于兩個不同的點(diǎn),故方程組有兩個不同的實(shí)數(shù)解。

兩式聯(lián)立,消去y并整理得：

因此離心率e的取值范圍為

點(diǎn)評：將圓錐曲線方程和直線方程聯(lián)立,消去一個變量后得到一個關(guān)于另一個變量的方程,由已知可得此方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根,利用二次方程根的判別式可得到變量的取值范圍,再找出e與這個變量之間的關(guān)系即可求解。

練習(xí)：已知雙曲線=1(a＞0,b＞0)的右頂點(diǎn)為A,拋物線C：y2=8ax的焦點(diǎn)為F。若在雙曲線E的漸近線上存在點(diǎn)P,使得,則雙曲線E的離心率的取值范圍是 ( )。

解析：由題意得,A(a,0),F(2a,0)。設(shè),由,得=0-3ax0+2a2=0。因?yàn)樵陔p曲線E的漸近線上存在點(diǎn)P,則Δ≥0,即9a2-4×。又E為雙曲線,故,選B。

三、利用已知的不等關(guān)系求解

根據(jù)圓錐曲線的幾何性質(zhì)及直線與圓錐曲線的位置關(guān)系,利用已知的不等關(guān)系,將問題轉(zhuǎn)化為求解不等式。

例3橢圓=1(a＞b＞0)的兩個焦點(diǎn)分別為F1、F2,斜率為k的直線l過右焦點(diǎn)F2,且與橢圓交于A、B兩點(diǎn),與y軸交于M點(diǎn)。若,當(dāng)|k|≤時,求橢圓的離心率的取值范圍。

解析：設(shè)直線l的方程為y=k(x-c)。令x=0,得y=-ck,即點(diǎn)M的坐標(biāo)為(0,-ck)。 因 為,所 以即B。因?yàn)辄c(diǎn)B在橢圓上,所以將點(diǎn)B的坐標(biāo)代入橢圓方程整理得k2=4e2+-13。因?yàn)閨k|≤,所以k2≤24,即-13≤24,整理得4e4-37e2+9≤0。

又0＜e＜1,解得≤e＜1。

點(diǎn)評：解決本題的關(guān)鍵是如何建立k與e之間的關(guān)系,然后再利用k的取值范圍來解e的取值范圍,同時還要注意橢圓離心率e的取值范圍。

練習(xí)：雙曲線=1(a＞1,b＞0)的焦距為2c,直線l過點(diǎn)(a,0)和(0,b),且點(diǎn)(1,0)到直線l的距離與點(diǎn)(-1,0)到直線l的距離之和,求雙曲線的離心率e的取值范圍。

解析：已知條件中有一個不等關(guān)系s≥,只要用a、b、c表示出s,代入轉(zhuǎn)化為關(guān)于e的不等式即可求解。

四、利用圓錐曲線的取值范圍建立不等關(guān)系求解

例4設(shè)橢圓=1(a＞b＞0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2,如果橢圓上存在點(diǎn)P,使∠F1PF2=90°,求離心率e的取值范圍。

點(diǎn)評：確定橢圓上點(diǎn)P(x,y)與a,b,c的等量關(guān)系,由橢圓中的取值范圍,即|x|≤a,|y|≤b,建立不等關(guān)系。如果涉及曲線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離的有關(guān)問題,也可用曲線的焦半徑公式求解。

練習(xí)：雙曲線=1(a＞0,b＞0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2,若雙曲線上存在點(diǎn)P滿足=-a2,則雙曲線的離心率的取值范圍為( )。

五、利用隱含的不等關(guān)系求解

例5已知雙曲線=1(a＞0,b＞0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2,左準(zhǔn)線為l,P是雙曲線左支上一點(diǎn),并且|PF1|是P點(diǎn)到l的距離d與|PF2|的等比中項(xiàng),求離心率e的取值范圍。

解析：解決此題需要用到題中的隱含條件,即根據(jù)已知P是雙曲線左支上的一點(diǎn),則P點(diǎn)到左、右焦點(diǎn)的距離之和大于或等于焦距,從而找到了關(guān)于e的不等關(guān)系即可求解。

由雙曲線的第一定義知|PF2|-|PF1|=2a。 ①

點(diǎn)評：找出本題的不等關(guān)系是解題的關(guān)鍵。

圓錐曲線的定義中隱含的不等關(guān)系主要有：

(1)設(shè)點(diǎn)P為橢圓C上一點(diǎn),則有|PF1|-|PF2|≤2c。

(2)設(shè)點(diǎn)P為雙曲線C上一點(diǎn),則有|PF1|+|PF2|≥2c。

練習(xí)：設(shè)F1(-c,0)、F2(c,0)分別是橢圓=1(a＞b＞0)的左、右焦點(diǎn),若在直線x=上存在點(diǎn)P,使線段PF1的中垂線過點(diǎn)F2,則橢圓離心率的取值范圍是( )。

六、利用數(shù)形結(jié)合求解

根據(jù)方程表示曲線的幾何特征,利用數(shù)形結(jié)合確定離心率的取值范圍。

例6已知雙曲線=1(a＞0,b＞0)的右頂點(diǎn)為A,B、C都在雙曲線的右支上,若△ABC 為正三角形,求雙曲線的離心率e的取值范圍。

解析：由圖1 易知,B、C關(guān)于x軸對稱,直線AB一定與雙曲線的右支相交,必與漸近線在第一象限有交點(diǎn)。

圖1

點(diǎn)評：將數(shù)用形來體現(xiàn),直接得到a,b,c的不等關(guān)系,這恰好是解決數(shù)學(xué)問題較好的一種方法,也是重要的解題途徑。

練習(xí)：橢圓=1(a＞b＞0)和圓x2+y2=(其中c為橢圓的半焦距 )有四個不同的交點(diǎn), 求橢圓的離心率e的取值范圍。

解析：要使橢圓和圓有四個不同的交點(diǎn),只需要

小結(jié)：從以上幾種求圓錐曲線的離心率的策略來看,我們要明確求離心率的取值范圍主要有兩條途徑：一是建立離心率和一個變量的函數(shù)關(guān)系式；二是根據(jù)題設(shè)條件建立a,b,c的不等關(guān)系,然后利用橢圓與雙曲線中a2,b2,c2的關(guān)系及離心率的限制范圍,最終求出離心率的取值范圍。