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        全國名校拋物線測試卷答案與提示

        2019-11-29 09:36:00徐利杰
        關(guān)鍵詞:準線橫坐標焦點

        一、選擇題

        1.C 2.B 3.B 4.C 5.D 6.A 7.C 8.B 9.A 10.B 11.C 12.B 13.A 14.B 15.B 16.C 17.C 18.C 19.D 20.C 21.C 22.B

        二、填空題

        23.2 24.(5,4) 25.y2-4y+2x=0 26.6 27.28.6 29.230.32

        三、解答題

        圖1

        31.(1)設(shè)拋物線的準線為l,交x軸于K點,l的方程為x=。如圖1,作AA′⊥l,BB′⊥l,則|AF|=|AA′|=|m|。同理,|BF|=|m|。又|AB|=6,則|2m|=6,m=±3,所求拋物線方程為y2=±6x。

        (2)設(shè)焦點為F(a,0),|PF|==6,即a2+10a+9=0,解得a=-1或-9。當焦點為F(-1,0)時,p=2,拋物線開口方向向左,其方程為y2=-4x;當焦點為F(-9,0),p=18,拋物線開口方向向左,其方程為y2=-36x。

        32.點M到對稱軸的距離為6,可設(shè)點M的坐標為(x,6)。

        又因為點M到準線的距離為10,所以

        故當點M的橫坐標為9時,拋物線方程為y2=4x;當點M的橫坐標為1時,拋物線方程為y2=36x。

        33.設(shè)弦兩端點分別為P1(x1,y1),P2(x2,y2)。

        因為P1,P2在拋物線上,所以=6x1,=6x2。

        兩式相減,得:

        (y1+y2)(y1-y2)=6(x1-x2)。

        因為y1+y2=2,所以k=

        故直線的方程為y-1=3(x-4),即3x-y-11=0。

        則y1+y2=2,y1·y2=-22。

        故|P1P2|=

        34.將y=kx-2代入y2=8x,變形整理得:

        k2x2-(4k+8)x+4=0。

        設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2)。

        由題意得x1+x2==4?k2=k+2?k2-k-2=0。

        解得k=2或k=-1(舍去)。

        由弦長公式得:

        35.設(shè)AB方程為y=x+b。

        x2+(2b-8)x+b2=0。

        設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則:

        x1+x2=8-2b,x1·x2=b2。

        解得b=-3。

        直線方程為y=x-3,即x-y-3=0。

        焦點F(2,0)到x-y-3=0 的距離為

        故S△FAB=

        36.(1)點P與點F(2,0)的距離比它到直線x+4=0 的距離小2,所以點P與點F(2,0)的距離與它到直線x+2=0 的距離相等。

        由拋物線定義得:點P在以F為焦點,直線x+2=0為準線的拋物線上,拋物線方程為y2=8x。

        (2)①若l斜率存在,設(shè)直線l:y=kx+b與拋物線交于點(x1,y1),(x2,y2)。

        ②直線l與x軸垂直,則直線OA或直線OB的斜率為1。

        直線l過定點(8,0)。

        由①②得:直線恒過定點(8,0)。

        37.(1)設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則x1+x2=6。

        由拋物線的定義知|AF|=x1+1,|BF|=x2+1,|AF|+|BF|=x1+x2+2=8。

        (2)設(shè)直線l的方程為x=my-1,由得y2-4my+4=0。

        由Δ=16m2-16>0,得m2>1。

        則y1+y2=4m,y1y2=4。

        由拋物線的定義知|AF|=x1+1,|BF|=x2+1,則|AF|·|BF|=(x1+1)(x2+1)=m2y1y2=4m2。

        因為m2>1,所以|AF|·|BF|>4。

        故|AF|·|BF|的取值范圍是(4,+∞)。

        聯(lián)立直線方程與y2=2px(p>0)得:

        設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2),則有x1+x2=3p。

        因為|MN|=8,所以x1+x2+p=8,即3p+p=8,解得p=2。

        拋物線C的方程為y2=4x。

        (2)設(shè)l的方程為y=x+b,代入y2=4x,得x2+(2b-4)x+b2=0。

        因為l為拋物線C的切線,所以Δ=0。

        解得b=1,l:y=x+1。

        (2)設(shè)直線AB與x軸交于點N,顯然k≠0,點N的坐標為(-1,0)。

        40.(1)當l與x軸垂直時,l的方程為x=2,代入y2=2x,解得M(2,-2),N(2,2)或M(2,2),N(2,-2)。故BM的方程為2y+x+2=0或x-2y+2=0。

        (2)如圖2,設(shè)MN的方程為x=my+2,M(x1,y1),N(x2,y2)。聯(lián)立方程得:

        圖2

        41.(1)設(shè)直線l方程為:y=x+m,A(x1,y1),B(x2,y2)。

        由拋物線焦半徑公式可知:|AF|+|BF|=x1+x2+=4,故x1+x2=。

        9x2+(12m-12)x+4m2=0。

        則Δ=(12m-12)2-144m2>0,m<。

        則x1+x2=,解得m=。

        直線l的方程為,即12x-8y-7=0。

        (2)設(shè)P(t,0),則可設(shè)直線l方程為:

        42.(1)設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則x1≠x2,y1=,x1+x2=4。

        于是直線AB的斜率k=

        (2)不妨設(shè)過點M的切線方程為y=x+b,聯(lián)立y=,可得b=-1,切點的橫坐標為2。

        設(shè)M(x3,y3),則x3=2,于是M(2,1)。

        設(shè)直線AB的方程為y=x+m,線段AB的中點為N(2,2+m),|MN|=|m+1|。

        將y=x+m代入y=得:

        x2-4x-4m=0。

        當Δ=16(m+1)>0,即m>-1時,不妨設(shè)方程兩個根,x1=2+2,x2=2-2。

        從而|AB| =|x1-x2| =4。

        由題設(shè)知|AB|=2|MN|,即4=2(m+1),解得m=7。

        所以直線AB的方程為y=x+7。

        43.(1)依題意知F(1,0),設(shè)直線AB的方程為x=my+1。

        將直線AB的方程與拋物線的方程聯(lián)立,消去x得y2-4my-4=0。

        設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),所以y1+y2=4m,y1y2=-4。①

        聯(lián)立①和②,消去y1,y2,得m=。

        所以直線AB的斜率是±。

        (2)由點C與原點O關(guān)于點M對稱,得M是線段OC的中點,從而點O與點C到直線AB的距離相等,所以四邊形OACB的面積等于2S△AOB。

        當m=0時,四邊形OACB的面積最小,最小值是4。

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