■河南科技大學(xué)附屬高級中學(xué) 馬歡歡

橢圓是高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的主要知識模塊,又是高考考查的重點知識之一,也是聯(lián)系初等數(shù)學(xué)與高等數(shù)學(xué)的紐帶,它側(cè)重于形象思維,推理運算和數(shù)形結(jié)合,綜合了代數(shù)、三角、幾何等知識,涉及的知識點較多,對解題能力考查的層次較高。同學(xué)們在解答時,常常表現(xiàn)為無從下手,或者半途而廢,解決這一類問題的關(guān)鍵在于：通觀全局,局部入手,整體思維,運算縝密。在掌握和解題思路的整體設(shè)計上下工夫,不斷克服解題中的運算難關(guān),在解題時統(tǒng)籌運用數(shù)形結(jié)合思想、參數(shù)思想、分類討論思想等,以達(dá)到優(yōu)化解題的目的。同學(xué)們在解橢圓問題時也會經(jīng)常出錯,本文從多個方面舉例剖析在解答有關(guān)橢圓問題的過程中易混易錯的原因,并提出正確的解題方法。

一、橢圓的定義及其標(biāo)準(zhǔn)方程

例1若x2+ky2=1 表示橢圓,則實數(shù)k的取值范圍是多少?

解析：因為方程x2+ky=1表示橢圓,所以則k取值范圍是(0,1)∪(1,+∞)。

易錯點：本題容易忽略k≠1而致錯,圓不是橢圓的特殊情形,因此,橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程中二次項系數(shù)不能相等。

變式：若直線y=kx+1(k∈R)與橢圓恒有公共點,則實數(shù)m的取值范圍是多少?

解析：由于直線y=kx+1(k∈R)恒過定點(0,1),故點(0,1)在橢圓內(nèi)部或者橢圓上,所以m∈[1,+∞)。又因為m≠5,所以m的取值范圍是[1,5)∪(5,+∞)。

易錯點：本題容易忽略m≠5而致錯,橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程中二次項系數(shù)不能相等。

例2已知橢圓的中心在原點,且經(jīng)過P(3,0),a=3b,求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。

解析：(法一)當(dāng)焦點在x軸上時,設(shè)其方程為=1(a＞b＞0)。由橢圓過點P(3,0),a=3b,解得b2=1,a2=9,故橢圓的方程為。當(dāng)焦點在y軸上時,設(shè)其方程為=1(a＞b＞0)。由橢圓過點P(3,0),且a=3b,解得b2=9,a2=81,故橢圓的方程為。綜上,橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為或者

(法二)設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為mx2+ny2=1(m＞0,n＞0),由于橢圓經(jīng)過P(3,0),代入得m=。當(dāng)焦點在x軸上時,n=1,故橢圓的方程為。當(dāng)焦點在y軸上時,故橢圓的方程為綜上,橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為+y2=1 或者

易錯點：容易忽視先判斷焦點位置,直接認(rèn)為橢圓的焦點在x軸上,漏掉在y軸上的情況,當(dāng)題目中焦點位置不確定時,要注意討論焦點的位置。

變式：橢圓兩焦點間的距離是16,且橢圓上某一點到兩焦點的距離分別是9和15,求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。

解析：由題意知,2a=9+15=24,2c=16,a=12,c=8,b2=80。因為焦點可能在x軸上,也可能在y軸上,所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為或者。

二、軌跡問題

例3若動點P到兩定點A(0,-2)和B(0,2)的距離之和為4,則點P的軌跡是( )。

A.橢圓 B.線段

C.直線 D.不存在

解析：由題意知|PA|+|PB|=4=|AB|,所以P點在A、B之間運動,其軌跡是線段AB,答案為B。

易錯點：做題時易忘記動點P軌跡是橢圓有三個要點：

①在平面內(nèi)|PA|+|PB|=2a,A、B是定點；

②2a為定長；

③2a＞|AB|。

變式：設(shè)定點F1(0,-3)和F2(0,3),動點P滿足|PF1|+|PF2|=a+(a＞0),則P點的軌跡是( )。

A.橢圓或線段 B.線段

C.直線 D.不存在

解析：由題意知|PF1|+|PF2|=a+(a＞0),所以當(dāng)a=3時,|PF1|+|PF2|=a+=6=|F1F2|,此時P點在F1、F2之間運動,其軌跡是線段F1F2；當(dāng)a≠3 時,|PF1|+|PF2|=a+＞6=|F1F2|,此時P點的軌跡是橢圓。答案為A。

易錯點：求軌跡要注意隱含條件對軌跡的影響。

例4已知A、B是兩個定點,頂點M為動點,|AB|=6,且△ABM周長為16,求頂點M的軌跡方程。

圖1

解析：如圖1 所示,以線段AB所在直線為x軸,線段AB的垂直平分線為y軸,建立直角坐標(biāo)系。設(shè)M(x,y),由題意知,A(-3,0),B(3,0),|AB|+|AM|+|BM|=16。因為|AB|=6,所以|AM|+|BM|=10＞|AB|,M點的軌跡是以A、B為焦點的橢圓。由題意可知點A、B、M不共線,即x≠±5。易知橢圓中a=5,c=3,b=4,則點M的軌跡方程為=1(x≠±5)。

易錯點：利用橢圓的定義求方程,應(yīng)先根據(jù)動點滿足的條件驗證是否符合橢圓的定義,求出軌跡方程之后,要檢驗方程上的點是否都符合題意,如有不符合的點應(yīng)在方程后注明。

變式：在平面直角坐標(biāo)系xOy中,點B與點A(-1,1)關(guān)于原點O對稱,P是動點,且直線AP與BP的斜率之積等于,求動點P的軌跡方程。

解析：因為點B與點A(-1,1)關(guān)于原點O對稱,所以點B的坐標(biāo)為(1,-1)。設(shè)點P的坐標(biāo)為(x,y),則kAP·kBP=,即=1。因為直線AP與直線BP的斜率存在,所以x≠±1,點P的軌跡方程為=1(x≠±1)。

三、橢圓的幾何性質(zhì)

例5已知F2是橢圓=1(a＞b＞0)的右焦點,其右準(zhǔn)線與x軸交點為A,在橢圓上存在一點P滿足線段AP的垂直平分線過點F2,則橢圓的離心率的取值范圍是( )。

圖2

解析：橢圓上存在一點P滿足線段AP的垂直平分線過點F2,則|PF2|=|AF2|,|PF2|。于是(a-c,a+c],即ac-c2＜b2≤ac+c2,則于是,所 以e∈,選D。

易錯點：PF2是橢圓的焦半徑,最小值為a-c,不是當(dāng)PF2垂直于x軸時的長度。

知識點：焦半徑與離心率是密不可分的兩個概念,而無論在橢圓還是雙曲線中,焦半徑本身是有取值范圍的,于是利用這一點也可以解決一些離心率的取值范圍的問題。橢圓離心率(0,1),且橢圓焦半徑的最大值為a+c,最小值為a-c。

變式：已知F1、F2是橢圓=1(a＞b＞0)的兩個焦點,滿足=0的點M總在橢圓的內(nèi)部,則橢圓的離心率e的取值范圍是( )。

圖3

解析：由于滿足的點M總在橢圓1(a＞b＞0)的內(nèi)部,故對于橢圓上任一點P,∠F1PF2均為銳角。事實上只需頂點位置的頂角為銳角即可,如圖3,即0＜∠F1BO＜,則e=sin ∠F1BO＜,答案為C。

知識點：①F1、F2是橢圓=1(a＞b＞0)的兩個焦點,P是橢圓上的動點,則∠F1PF2最大時,P是橢圓的上頂點或下頂點。

②A、B是橢圓=1(a＞b＞0)的左、右頂點,P是橢圓上的動點,則∠APB最大時,P是橢圓的上頂點或下頂點。

例6設(shè)橢圓的左、右焦點分別為F1、F2,點M是橢圓上任意一點,點A的坐標(biāo)為(2,1),求|MF1|+|MA|的最大值。

圖4

解 析：如 圖4 所示,因為點M在橢圓上,所 以|MF1|+|MF2|=2a=10。令|MF1|+|MA|=z,則z=10+|MA|-|MF2|。當(dāng)點M落在F2A的延長線上時,可得|MA|-|MF2|=-|AF2|；當(dāng)點M落在AF2的延長線上時,可得|MA|-|MF2|=|AF2|；當(dāng)M、F2、A不共線時,可得-|AF2|＜|MA|-|MF2|＜|AF2|。所以zmax=10+,zmin=10-,|MF1|+|MA|的最大值為10+。

易錯點：沒有分析點A的位置,認(rèn)為當(dāng)M、F1、A三點共線時,|MF1|+|MA|取到最大值|AF1|=。

知識點：這里利用橢圓的定義將與曲線有關(guān)的最值問題轉(zhuǎn)化為線段的最值,對于上述類型的最值有如下結(jié)論：

已知F1、F2是橢圓=1(a＞b＞0)的兩個焦點,Q(x0,y0)為平面上一定點,M為橢圓上任意一點。

①若Q(x0,y0)在橢圓的內(nèi)部,則2a-|QF1|≤|MQ|+|MF2|≤2a+|QF1|；

②若Q(x0,y0)在橢圓的外部,則|QF2|≤|MQ|+|MF2|≤2a+|QF1|。

變式：設(shè)橢圓的左、右焦點分別為F1、F2,點M是橢圓上任意一點,點Q的坐標(biāo)為(2,6),求|MF2|+|MQ|的最值。

圖5

解析：如圖5 所示,|MF2|+|MQ|≥|QF2|=,當(dāng)且僅當(dāng)點M為線段QF2與橢圓的交點時不等式取到等號。又因為|MF1|+|MF2|=2a=10,所以|MF2|=10-|MF1|。于是,|MF2|+|MQ|=10+|MQ|-|MF1|≤10+|QF1|=10+,當(dāng)且僅當(dāng)點M為線段QF1的延長線與橢圓的交點時不等式取到等號。故|MF2|+|MQ|的最小值為,最大值為10+。

四、直線與橢圓的位置關(guān)系

例7已知橢圓C的中心在坐標(biāo)原點,焦點在x軸上,且過點,離心率是

(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)直線l過點E(-1,0),且與橢圓交于A、B兩點,若|EA|=2|EB|,求直線l的方程。

解析：(1)設(shè)橢圓方程為=1(a＞b＞0),由已知得

解得a2=4,b2=1。

所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為+y2=1。

(2)(i)若直線l的斜率不存在,則過點E(-1,0)的直線方程為x=-1,此時,顯然|EA|=2|EB|不成立。

(ⅱ)若直線l的斜率存在,則設(shè)直線l的方程為y=k(x+1)。

(1+4k2)x2+8k2x+4k2-4=0。

方程Δ=(8k2)2-4(4k2+1)(4k2-4)=48k2+16＞0。

設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),故x1+x2=,①x1x2=。②

因為|EA|=2|EB|,所 以,則x1+2x2=-3。③

易錯點：求直線方程時,不討論斜率是否存在。

變式：橢圓方程為=1(a＞b＞0),中心為原點O,過O作兩條垂直的射線與橢圓交于P、Q兩點,求證：

解析：(1)若OP、OQ在坐標(biāo)軸上,顯然

圖6

(2)若直線OP、OQ斜率存在,設(shè)直線OP的方程為y=kx,直線OQ的方程為y=。

數(shù)學(xué)是一個熟能生巧的過程,但是“熟”怎樣才能生“巧”? 要學(xué)會剖析問題,找出問題的關(guān)鍵點和切入點,把一類題型所具有的共性總結(jié)出來,提煉后形成數(shù)學(xué)的思維方法,在不斷的反思和探究中,掌握解決一類問題的通法,達(dá)到舉一反三的目的。