陳宇航，周詩穎，楊文鐵，張 平

Buck變換器數(shù)字控制器模擬化設(shè)計(jì)與離散化設(shè)計(jì)的性能比較

陳宇航1，周詩穎2，楊文鐵3，張 平2

（1. 海裝駐葫蘆島地區(qū)軍事代表室，遼寧葫蘆島 125004; 2. 武漢第二船舶設(shè)計(jì)研究所，武漢 430205；3. 海軍工程大學(xué)，武漢 430033）

模擬化和直接離散化設(shè)計(jì)是數(shù)字控制器的兩種經(jīng)典設(shè)計(jì)方法。本文以Buck變換器為例，分別采用這兩種設(shè)計(jì)方法對(duì)數(shù)字控制器進(jìn)行設(shè)計(jì)，并對(duì)控制器的性能進(jìn)行了對(duì)比分析。研究表明：數(shù)字控制器模擬化設(shè)計(jì)方法依賴采樣周期，且離散化過程存在誤差；直接離散化方法設(shè)計(jì)的數(shù)字控制器性能優(yōu)于模擬化方法設(shè)計(jì)的控制器。最后，在MATLAB/Simulink中對(duì)上述分析結(jié)果進(jìn)行了仿真驗(yàn)證。

數(shù)字控制器 Buck變換器 模擬化設(shè)計(jì) 直接離散化設(shè)計(jì)

0 引言

近年來，數(shù)字信號(hào)處理芯片隨著性價(jià)比的不斷提高而越來越多地被應(yīng)用于電力電子裝置上[1-3]。數(shù)字控制技術(shù)能顯著降低控制系統(tǒng)的硬件設(shè)計(jì)，減少分立元件數(shù)量，改善系統(tǒng)可靠性，減低系統(tǒng)硬件成本；同時(shí)數(shù)字控制中不存在元器件的溫漂和參數(shù)漂移等問題，調(diào)試成功后就能長期穩(wěn)定運(yùn)行[4, 5]。

但是，數(shù)字控制存在采樣保持和量化過程，其系統(tǒng)與傳統(tǒng)的連續(xù)系統(tǒng)有所區(qū)別，數(shù)字控制器的設(shè)計(jì)也有所不同。目前，數(shù)字控制器設(shè)計(jì)方法主要有兩種，即模擬化設(shè)計(jì)方法和直接離散化設(shè)計(jì)方法，模擬化設(shè)計(jì)方法是先在連續(xù)域中設(shè)計(jì)控制器，然后用某種離散化方法對(duì)控制器進(jìn)行離散化，直接離散化設(shè)計(jì)方法則是在離散域中直接建立被控對(duì)象的離散化模型，然后在離散域中直接設(shè)計(jì)控制器。因此，有必要研究這兩種數(shù)字控制器設(shè)計(jì)方法及其性能差異。

為此，本文以船舶電源系統(tǒng)中常用的Buck變換器為設(shè)計(jì)實(shí)例，分別對(duì)其數(shù)字控制器進(jìn)行了模擬化設(shè)計(jì)和直接離散化設(shè)計(jì)，并對(duì)兩種設(shè)計(jì)方法進(jìn)行了性能比較。最后，在MATLAB/Simulink中搭建了電路模型，對(duì)上述設(shè)計(jì)和分析結(jié)果進(jìn)行了驗(yàn)證。

1 Buck變換器數(shù)學(xué)模型

Buck變換器[5]的電路圖如圖1所示。主電路由全控型開關(guān)管V、續(xù)流二極管、輸出濾波器構(gòu)成。其電路參數(shù)如表1所示?？紤]調(diào)制器的調(diào)制波電壓峰值V=5 V。

表1 Buck電路參數(shù)

圖1 Buck變換器拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)

通過交流小信號(hào)分析法[5-6]，可以得到Buck變換器的控制信號(hào)至電路輸出的原始環(huán)路傳遞函數(shù)為：

代入具體數(shù)值可得：

圖2 Buck變換器原始環(huán)路開環(huán)傳遞函數(shù)波特圖

進(jìn)而，可以繪制出原始環(huán)路開環(huán)傳遞函數(shù)的波特圖，如圖2所示。

根據(jù)式(2)和圖2，可知Buck變換器的原始環(huán)路開環(huán)傳遞函數(shù)存在重極點(diǎn)且無零點(diǎn)，幅頻特性的轉(zhuǎn)折頻率為f1, p2=1/(2π0.50.5)=181.7 Hz。在低頻段，G()的增益為26.1 dB，并在181.7 Hz處會(huì)有轉(zhuǎn)折發(fā)生，其斜率為?40 dB/dec，原始環(huán)路增益?zhèn)鬟f函數(shù)G()在830 Hz穿越0 dB線，相位裕度僅為7.18°。系統(tǒng)穩(wěn)定裕度較小，必須設(shè)計(jì)補(bǔ)償網(wǎng)絡(luò)對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行校正，以確保系統(tǒng)穩(wěn)定。

2 數(shù)字控制器的模擬化設(shè)計(jì)

數(shù)字控制器的模擬化設(shè)計(jì)步驟通常為：

1）在連續(xù)域中設(shè)計(jì)模擬控制器G()；

2）選擇采樣周期T;

3）選擇合適的離散方法將模擬控制器離散得到G()；

4）驗(yàn)證系統(tǒng)的性能，若不滿足性能要求，重新修改設(shè)計(jì)；

在本設(shè)計(jì)中，控制器將采用超前滯后矯正。為了保證控制器的快速性和不引入高頻分量，工程上通常將補(bǔ)償后的傳遞函數(shù)G()G()的穿越頻率f設(shè)計(jì)為開關(guān)頻率f的1/5~1/10。因此，本文取穿越頻率為：

如果加入控制器后系統(tǒng)的環(huán)路增益函數(shù)幅頻特性曲線以?20 dB/dec斜率穿越0 dB線，那么系統(tǒng)將具有較好的相位裕度。為了得到?20 dB/dec的斜率，控制器在穿越頻率點(diǎn)必須提供+20 dB/dec的斜率?？刂破?i>G()利用兩個(gè)零點(diǎn)來抵消原系統(tǒng)重極點(diǎn)影響，將兩個(gè)零點(diǎn)頻率設(shè)計(jì)為原始環(huán)路函數(shù)G()的兩個(gè)相近極點(diǎn)頻率的1/2，即：

如式(2)所示，G()沒有零點(diǎn)。因此，為了改善系統(tǒng)的高頻衰減能力，則可以將G()的兩個(gè)極點(diǎn)設(shè)定為f3=f4=2f=40 kHz，以減小輸出高頻開關(guān)紋波。進(jìn)而，可以得到控制器傳遞函數(shù)為：

可以看出，加入控制器后，系統(tǒng)傳遞函數(shù)在4092 Hz處穿越0 dB線，相位裕度為82.8°，滿足工程上的設(shè)計(jì)要求（即相位裕度>45°）。校正后系統(tǒng)的幅頻特性得到改善，低頻段有足夠增益，高頻衰減能力強(qiáng)，中頻段也有足夠相位裕度。

接下來，將對(duì)上述控制器進(jìn)行離散化，并對(duì)常用的兩種離散化方法進(jìn)行對(duì)比分析。

圖3 加入控制器后系統(tǒng)的傳遞函數(shù)波特圖

若采用Tustin變換法[7]，將G()離散后的控制器G1()可以表示為：

若采用零極點(diǎn)匹配法[7]，將G()離散后的控制器G2()可以表示為：

為了對(duì)比上述兩種離散化方法的性能差異，在MATLAB中分別對(duì)在連續(xù)域中設(shè)計(jì)的控制器、Tustin離散化后的控制器G1()、零極點(diǎn)匹配法離散化后的控制器G2()進(jìn)行單位階躍響應(yīng)仿真，其結(jié)果如圖4所示。

圖4 連續(xù)域及兩種離散化方法下系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)

可以看出：

1）采用連續(xù)域設(shè)計(jì)的控制器后，階躍響應(yīng)的超調(diào)量很小，調(diào)節(jié)時(shí)間僅為0.003 s，系統(tǒng)響應(yīng)快速；

2）當(dāng)連續(xù)域的控制器離散化后，系統(tǒng)調(diào)節(jié)時(shí)間差別很小，但是存在很大的超調(diào)量。其中，采用Tustin方法離散化后，超調(diào)量達(dá)65%；采用零極點(diǎn)匹配法離散化后，超調(diào)量達(dá)62%，遠(yuǎn)不滿足工程上的設(shè)計(jì)要求；

模擬化設(shè)計(jì)的控制器再離散化受采樣周期的影響較大，無法較為精確得到所預(yù)期的控制性能，為了確保系統(tǒng)控制的性能，避免離散化誤差，需要進(jìn)行直接離散化控制器設(shè)計(jì)。

3 數(shù)字控制器的直接離散化設(shè)計(jì)

數(shù)字控制器的直接離散化設(shè)計(jì)步驟通常為：

1）根據(jù)給定的系統(tǒng)性能指標(biāo)，在平面上畫出系統(tǒng)極點(diǎn)期望的允許區(qū)域；

2）求離散域中系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)G()；

3）僅為比例控制時(shí)，畫出根軌跡；

4）設(shè)計(jì)離散域中的控制器G()，使閉環(huán)極點(diǎn)位于期望的區(qū)域；

5）驗(yàn)證系統(tǒng)的性能，若不滿足性能要求，重新修改設(shè)計(jì)。

原始環(huán)路函數(shù)G()采用ZOH離散后，得到的廣域脈沖傳遞函數(shù)為：

僅加入比例控制器時(shí)，假設(shè)比例增益為7，其根軌跡如圖5所示。

可以看出，系統(tǒng)的零點(diǎn)為?0.9896，有一對(duì)復(fù)數(shù)極點(diǎn)0.967±0.054j。零點(diǎn)和極點(diǎn)都非常接近單位圓，其根軌跡絕大部分位于單位圓之外，系統(tǒng)接近于臨界穩(wěn)定狀態(tài)。需要根據(jù)根軌跡設(shè)計(jì)控制器，使閉環(huán)極點(diǎn)位于期望的區(qū)域，確保系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

這里給出系統(tǒng)控制性能指標(biāo)：調(diào)節(jié)時(shí)間t<0.02s，上升時(shí)間t<0.001s，超調(diào)<15%，系統(tǒng)采樣時(shí)間T=0.00005s。那么，有如下關(guān)系式：

進(jìn)而，可得期望中的根軌跡區(qū)域?yàn)閷?duì)數(shù)螺旋線ξ≥0.517、同心圓R≤0.99和射線q≥6.06三者所圍成的區(qū)域。

控制器的設(shè)計(jì)采用零極點(diǎn)對(duì)消法，將校正前系統(tǒng)的一對(duì)復(fù)數(shù)極點(diǎn)抵消，并在實(shí)軸上配置2個(gè)新的實(shí)數(shù)極點(diǎn)，為了使系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為0，校正后應(yīng)增加系統(tǒng)的型別，即配置一個(gè)積分環(huán)節(jié)來改善低頻特性，進(jìn)而可將校正控制器的極點(diǎn)定為1，即增加一個(gè)1/(-1)項(xiàng)。然后，增加一個(gè)=0極點(diǎn)使得校正后的系統(tǒng)的根軌跡穿過期望的區(qū)域。由于原始環(huán)路中極點(diǎn)的虛部遠(yuǎn)小于實(shí)部，因此若將控制器的零點(diǎn)設(shè)計(jì)為0.967，則可抵消對(duì)象中極點(diǎn)的影響。最后，可以得到直接離散化設(shè)計(jì)的數(shù)字控制器為：

式中，為比例增益。

圖6給出了加入控制器后傳遞函數(shù)的根軌跡。

圖6 加入控制器后傳遞函數(shù)的根軌跡

可以看出，當(dāng)比例增益取值為=7.89時(shí)，可以將閉環(huán)極點(diǎn)配置于期望的位置。由此可以得到直接離散化的控制器為：

圖7給出了采用直接離散化設(shè)計(jì)方法時(shí)，系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)。

可以看出，當(dāng)采用直接離散化方法來設(shè)計(jì)數(shù)字控制器時(shí)，系統(tǒng)的調(diào)節(jié)時(shí)間約為0.004 s，超調(diào)量約為10%，滿足設(shè)計(jì)要求。并且與圖4對(duì)比可知，其控制性能遠(yuǎn)優(yōu)于模擬化設(shè)計(jì)的數(shù)字控制器。此外，可以看到，從設(shè)計(jì)的方法上來說，直接離散化設(shè)計(jì)方法更為靈活，不受采樣時(shí)間對(duì)離散化的影響。

4 電路模型仿真

為了驗(yàn)證前述分析結(jié)果的正確性，在MATLAB/Simulink中搭建以圖1所示Buck變換器的實(shí)際電路仿真模型，如圖8所示。其中，輸出電流I的控制指令給定為8A。

圖8 電路仿真模型圖

圖9可以看出，采用直接離散化設(shè)計(jì)方法時(shí)，系統(tǒng)的輸出電流調(diào)節(jié)時(shí)間約為0.005 s，并且?guī)缀鯖]有超調(diào)，電流紋波很小，滿足設(shè)計(jì)要求。然而，模擬化設(shè)計(jì)后用Tustin離散化時(shí)，輸出電流調(diào)節(jié)時(shí)間為0.012 s，超調(diào)量達(dá)10%；當(dāng)采用零極點(diǎn)匹配法離散化后，輸出電流調(diào)節(jié)時(shí)間為0.012 s，超調(diào)量達(dá)7.5%。由此可見，直接離散化設(shè)計(jì)的控制器性能優(yōu)于模擬化設(shè)計(jì)的數(shù)字控制器。

5 結(jié)論

本文以Buck變換器為例，分別對(duì)其進(jìn)行了模擬化和直接離散化的控制器設(shè)計(jì)，模擬化設(shè)計(jì)是在連續(xù)域中設(shè)計(jì)模擬控制器，然后將其離散得到等效的數(shù)字控制器。這種方法存在較大的離散化誤差，受采樣周期影響較大，控制效果較差。直接離散化設(shè)計(jì)采用了根軌跡校正的方法，將閉環(huán)極點(diǎn)直接配置在期望的區(qū)域內(nèi)，不受采樣周期的影響，其性能優(yōu)于模擬化設(shè)計(jì)的數(shù)字控制器。本文對(duì)這兩種設(shè)計(jì)方法分別進(jìn)行了MATLAB/Simulink仿真對(duì)比，驗(yàn)證了理論分析的有效性。

圖9 不同數(shù)字控制器設(shè)計(jì)方法下的仿真波形圖

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Performance Comparison Between Analog Design and Discretization Design for Digital Controller of Buck Converter

Chen Yuhang1, Zhou Shiying2, Yang Wentie3, Zhang Ping2

(1. Naval Representative Office of Huludao, Huludao 125004, Liaoning, China; 2. Wuhan Second Ship Design and Research Institute, Wuhan 430205, China; 3. Naval University of Engineering, Wuhan 430033, China)

TM46

A

1003-4862（2019）11-0038-05

2019-09-04

陳宇航（1991-），男，工程師。研究方向：艦艇電力系統(tǒng)。E-mail: chen_yh316@126.com