鄧 群

(陸軍勤務(wù)學(xué)院油料系， 重慶 401331)

與計(jì)算機(jī)網(wǎng)絡(luò)、社交網(wǎng)絡(luò)、交通網(wǎng)絡(luò)等其他復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)不同，后勤保障網(wǎng)絡(luò)隱含的戰(zhàn)爭(zhēng)背景，意味著其可能面臨更多頻繁的主動(dòng)攻擊，而非偶爾的自然災(zāi)害或不可預(yù)料的系統(tǒng)風(fēng)險(xiǎn)。當(dāng)后勤保障網(wǎng)絡(luò)遭受外部攻擊時(shí)，網(wǎng)絡(luò)內(nèi)部的各個(gè)要素會(huì)主動(dòng)地相互協(xié)同，進(jìn)而完成系統(tǒng)修復(fù)，在這一過程中包含了大量的非線性相互作用，甚至還有可能在宏觀層面發(fā)生涌現(xiàn)現(xiàn)象。

隨著復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)理論的興起，后勤保障領(lǐng)域相關(guān)研究逐漸從以往對(duì)保障體系的定性論述深入到對(duì)保障網(wǎng)絡(luò)的定量分析。其中，作為評(píng)判復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的關(guān)鍵指標(biāo)，抗毀性始終是后勤保障網(wǎng)絡(luò)研究的重要課題之一。近年來，學(xué)術(shù)界關(guān)于復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)抗毀性的理論成果日益豐富完善，相關(guān)研究的焦點(diǎn)主要集中在2個(gè)方面：一是關(guān)于網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)[1-3]與鏈路[4-6]的針對(duì)性研究，其本質(zhì)上是對(duì)復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)組成要素的度、介數(shù)或其他改進(jìn)指標(biāo)的考察[7-10]，通過對(duì)比不同節(jié)點(diǎn)或鏈路失效對(duì)網(wǎng)絡(luò)的影響，實(shí)現(xiàn)對(duì)其重要性的評(píng)判；二是對(duì)復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)級(jí)聯(lián)失效[11-13]的探討，其核心思想是從一個(gè)動(dòng)態(tài)的系統(tǒng)性視角，以復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的連通度為落腳點(diǎn)[14-15]，更加注重分析由節(jié)點(diǎn)或鏈路失效導(dǎo)致的連鎖反應(yīng)，進(jìn)而從不同攻擊策略[16-17]、不同負(fù)載方案[18]以及不同信息條件[19]等角度對(duì)復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)抗毀性研究加以細(xì)化和深入。

總體來看，復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)抗毀性研究從理論上進(jìn)一步揭示了現(xiàn)實(shí)世界網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)的規(guī)律和特性[20-22]，但仍存在幾點(diǎn)不足：一是大多數(shù)研究單純考慮網(wǎng)絡(luò)損毀，忽略了網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)與鏈路的修復(fù)重建，導(dǎo)致研究結(jié)果相對(duì)單調(diào)、片面，具有較強(qiáng)的主觀傾向；二是對(duì)于網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)與鏈路的刻畫過于簡(jiǎn)單，往往認(rèn)為節(jié)點(diǎn)“非有即無”、鏈路“非通即斷”，很少考慮網(wǎng)絡(luò)要素不完全損毀的情況，相關(guān)模型描述過于苛刻，與實(shí)際情況存在一定偏差；三是部分研究必須以假定網(wǎng)絡(luò)無限大為前提，否則很難凸顯復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的特性，而現(xiàn)實(shí)世界中很多網(wǎng)絡(luò)是有限規(guī)模的，這就使得部分理論成果轉(zhuǎn)化應(yīng)用效果不盡理想。此外，復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)組成要素間關(guān)系復(fù)雜，難以從宏觀角度加以描述，以往相關(guān)研究大多數(shù)采用具體的實(shí)(算)例網(wǎng)絡(luò)對(duì)提出的技術(shù)方法進(jìn)行驗(yàn)證，缺乏對(duì)復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)共性規(guī)律的認(rèn)識(shí)。

綜上所述，筆者以鏈路隨機(jī)打擊下的后勤保障網(wǎng)絡(luò)毀傷過程為研究對(duì)象，運(yùn)用系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方法，結(jié)合復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)特點(diǎn)，重新審視后勤保障網(wǎng)絡(luò)抗毀性，旨在探索簡(jiǎn)單拓?fù)湟?guī)則下后勤保障網(wǎng)絡(luò)毀傷過程的規(guī)律特點(diǎn)，從而為復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)抗毀性研究提供新的思路。

1 后勤保障網(wǎng)絡(luò)毀傷過程的動(dòng)力學(xué)描述

1.1 后勤保障網(wǎng)絡(luò)模型

令Y表示后勤保障網(wǎng)絡(luò)的狀態(tài)(0≤Y≤M)，其中M為后勤保障網(wǎng)絡(luò)中鏈路總數(shù)。Y=M，表示網(wǎng)絡(luò)狀態(tài)完好；Y=0，表示網(wǎng)絡(luò)被徹底摧毀。限于篇幅，本文假定網(wǎng)絡(luò)中所有節(jié)點(diǎn)始終完好，即不考慮對(duì)網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)的打擊。由此可知，若單純考慮針對(duì)網(wǎng)絡(luò)鏈路的毀傷，則某時(shí)刻后勤保障網(wǎng)絡(luò)的狀態(tài)

(1)

1.2 保障鏈路毀傷模型

對(duì)網(wǎng)絡(luò)鏈路的持續(xù)摧毀行為從形式上可分為2類：1)當(dāng)敵方軍事優(yōu)勢(shì)明顯時(shí)，可從始至終對(duì)后勤保障網(wǎng)絡(luò)保持一定強(qiáng)度的打擊。此種摧毀行為可抽象為持續(xù)按數(shù)量m去除鏈路(式(2)、(4))，即每一輪打擊均從剩余未被完全摧毀的鏈路中去除m條鏈路；2)當(dāng)敵方軍事實(shí)力并不明顯占優(yōu)時(shí)，則難以長(zhǎng)期保持較高的打擊強(qiáng)度。此時(shí)，可將摧毀行為抽象為持續(xù)按比例α去除鏈路(式(3)、(4))，即未被完全摧毀的鏈路在每一輪打擊中被去除的概率恒為α。

(2)

對(duì)于持續(xù)按比例α去除鏈路的摧毀行為，鏈路被摧毀的概率

Pn=α。

(3)

(4)

1.3 保障鏈路修復(fù)模型

(5)

(6)

為使模型更加貼近實(shí)際，本文特別提出2點(diǎn)假設(shè)：

1) 每個(gè)完好節(jié)點(diǎn)同一時(shí)間只能對(duì)一條受損鏈路實(shí)施修復(fù)；

2) 每條受損鏈路同一時(shí)間只能由一個(gè)完好節(jié)點(diǎn)實(shí)施修復(fù)。

2 后勤保障網(wǎng)絡(luò)毀傷過程的動(dòng)力學(xué)仿真

限于篇幅，本文僅討論基于持續(xù)按數(shù)量m去除鏈路的毀傷過程。如前文所述，后勤保障網(wǎng)絡(luò)毀傷過程主要取決于2個(gè)參數(shù)，即打擊強(qiáng)度m與修復(fù)速率ψ。

2.1 構(gòu)造網(wǎng)絡(luò)

后勤保障網(wǎng)絡(luò)相對(duì)稀疏[23]，其中大部分節(jié)點(diǎn)的度相對(duì)較小，極少出現(xiàn)度很大的節(jié)點(diǎn)。由此，本文主要考察ER隨機(jī)網(wǎng)絡(luò)(Erd?s-Rényi Network,ERN)[24]與WS小世界網(wǎng)絡(luò)(Watts-Strogtz Network,WSN)[25]形式的后勤保障網(wǎng)絡(luò)在毀傷過程中的動(dòng)力學(xué)行為。為便于分析比較，本文針對(duì)ERN和WSN小世界網(wǎng)絡(luò)分別構(gòu)造2個(gè)平均度不同的全連通網(wǎng)絡(luò)作為仿真算例。算例網(wǎng)絡(luò)及度分布如圖1所示，其基本參數(shù)如表1所示。

2.2 不同打擊強(qiáng)度下的毀傷過程

建立由狀態(tài)空間Y∞和參數(shù)空間m構(gòu)成的坐標(biāo)系，繪制出保障網(wǎng)絡(luò)毀傷過程終態(tài)鏈路變化的軌線圖，從而考察不同打擊強(qiáng)度對(duì)油料保障網(wǎng)絡(luò)毀傷過程的影響。

針對(duì)圖1所示的4個(gè)網(wǎng)絡(luò)算例，令m∈{0.001x|0≤x≤1 000,x∈Z}，對(duì)于參數(shù)m的每個(gè)取值，均以Y0=M、ψ=0.5為初值。根據(jù)式(2)-(6)將模型迭代2000次，舍棄前1000個(gè)迭代值，

圖1 算例網(wǎng)絡(luò)及其度分布

網(wǎng)絡(luò)算例NMKLCERN-11002044.083.410.04WSN-11002004.004.260.21ERN-21004068.122.410.08WSN-21003947.882.770.27

并將Yn后續(xù)的迭代值全部繪制到參數(shù)m對(duì)應(yīng)取值的縱方向上，即可得到不同打擊強(qiáng)度下后勤保障網(wǎng)絡(luò)毀傷過程終態(tài)的變化情況。

本文將每組仿真實(shí)驗(yàn)的后1 000次迭代結(jié)果的集合視為后勤保障網(wǎng)絡(luò)毀傷過程的終態(tài)，即Y∞={Yi|i>1 000}。若毀傷過程收斂，則Y∞為包含一個(gè)或少數(shù)幾個(gè)鄰近元素的點(diǎn)集；若毀傷過程相對(duì)復(fù)雜，則Y∞中將存在更多的元素，并且點(diǎn)集Y∞往往具有較大的直徑。不同打擊強(qiáng)度下后勤保障網(wǎng)絡(luò)毀傷過程終態(tài)軌線圖如圖2所示。

2.3 不同修復(fù)速率下的毀傷過程

建立由狀態(tài)空間Y∞和參數(shù)空間ψ構(gòu)成的坐標(biāo)系，繪制出后勤保障網(wǎng)絡(luò)毀傷過程終態(tài)鏈路變化的軌線圖，從而考察不同修復(fù)速率對(duì)后勤保障網(wǎng)絡(luò)毀傷過程的影響。

針對(duì)圖1所示4個(gè)網(wǎng)絡(luò)算例，令ψ∈{0.001x|0≤x≤1 000,x∈Z}，對(duì)于參數(shù)ψ的每個(gè)取值，均以Y0=M、m=0.15M為初值(不同網(wǎng)絡(luò)初始鏈路數(shù)M的取值詳見表1)。根據(jù)式(2)-(6),將模型迭代2 000次，舍棄前1 000個(gè)迭代值，并將Yn后續(xù)的迭代值全部繪制到參數(shù)ψ對(duì)應(yīng)取值的縱方向上，即可得到不同修復(fù)速率下后勤保障網(wǎng)絡(luò)毀傷過程終態(tài)軌線圖，如圖3所示。

圖2 不同打擊強(qiáng)度下后勤保障網(wǎng)絡(luò)毀傷過程終態(tài)軌線圖

需要說明的是，由式(2)可知針對(duì)后勤保障網(wǎng)絡(luò)毀傷過程的模擬仿真存在一定的或然性，為盡可能減小極端情形對(duì)計(jì)算結(jié)果的影響，將上述實(shí)驗(yàn)重復(fù)10次，并將結(jié)果疊加繪制在其各自對(duì)應(yīng)的軌線圖上。

3 后勤保障網(wǎng)絡(luò)毀傷過程的動(dòng)力學(xué)分析

如圖2所示，不同打擊強(qiáng)度下后勤保障網(wǎng)絡(luò)毀傷過程的軌線圖相對(duì)簡(jiǎn)單。當(dāng)打擊強(qiáng)度較小時(shí)，后勤保障網(wǎng)絡(luò)終態(tài)能夠保持較高的完整度；隨著打擊強(qiáng)度的逐步增大，能夠清晰地觀察到軌線圖中出現(xiàn)拐點(diǎn)；此后，軌線圖縱向波動(dòng)范圍擴(kuò)大，軌線總體呈現(xiàn)快速下降的趨勢(shì)；當(dāng)打擊強(qiáng)度繼續(xù)增大，軌線圖開始趨于平緩，軌線縱向波動(dòng)逐漸減小，最終收斂于下限Ymin。根據(jù)1.3節(jié)提出的2點(diǎn)假設(shè)，后勤保障網(wǎng)絡(luò)狀態(tài)軌線圖下限值取決于網(wǎng)絡(luò)規(guī)模與相鄰節(jié)點(diǎn)對(duì)受損鏈路的修復(fù)能力，即Ymin=N·ψ。由表1可知：各算例網(wǎng)絡(luò)規(guī)模均為100，鏈路修復(fù)速率均為0.5。因此圖2中各后勤保障網(wǎng)絡(luò)狀態(tài)軌線圖下限均為Ymin=50。

可見，當(dāng)針對(duì)鏈路進(jìn)行隨機(jī)打擊時(shí)，后勤保障網(wǎng)絡(luò)在不同打擊強(qiáng)度下的毀傷過程軌線圖比較符合主觀預(yù)期。這是因?yàn)殒溌返男迯?fù)與鏈路自身無關(guān)，而是主要取決于受損鏈路的相鄰接點(diǎn)。由于本文在模擬網(wǎng)絡(luò)鏈路毀傷的過程中始終假定網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)全部完好，故此時(shí)后勤保障網(wǎng)絡(luò)毀傷過程的動(dòng)力學(xué)特征并不復(fù)雜。

然而，不同修復(fù)速率下的后勤保障網(wǎng)絡(luò)毀傷過程則呈現(xiàn)出完全不同的動(dòng)力學(xué)特征，如圖4所示。由圖4可知：不同修復(fù)速率下毀傷過程的軌線不再平滑，軌線圖中存在明顯的階躍行為。對(duì)于定義域內(nèi)的某些特定取值(即階躍點(diǎn))，修復(fù)速率的微小變化將會(huì)對(duì)后勤保障網(wǎng)絡(luò)毀傷過程產(chǎn)生較大影響。然而，當(dāng)修復(fù)速率在相鄰階躍點(diǎn)之間移動(dòng)時(shí)，后勤保障網(wǎng)絡(luò)毀傷過程的總體變化卻并不顯著。

圖4 不同修復(fù)速率下后勤保障網(wǎng)絡(luò)毀傷過程的階段性特征

進(jìn)一步考察圖4不難發(fā)現(xiàn):各階躍點(diǎn)的橫坐標(biāo)恰為0.5，0.33，0.25，0.2,…，即1/n(n>1)。隨著n的逐漸增大，階躍行為的間隔按照1/[n·(n-1)]的規(guī)律迅速收窄，毀傷過程的階段性特征愈發(fā)模糊，在軌線圖上則體現(xiàn)為修復(fù)速率越小，毀傷過程終態(tài)的軌線越平滑。

階躍點(diǎn)橫坐標(biāo)表現(xiàn)出顯著的冪次規(guī)律，意味著后勤保障網(wǎng)絡(luò)毀傷過程的階段性特征并非偶然。盡管從微觀層面上看，針對(duì)鏈路的模擬打擊具有較大的隨機(jī)性，并且對(duì)鏈路的修復(fù)主要是基于節(jié)點(diǎn)主觀的個(gè)體行為而非全局性的統(tǒng)籌協(xié)調(diào)。但是，包含了大量復(fù)雜非線性行為的毀傷過程卻在宏觀層面上產(chǎn)生了極為規(guī)律有序的動(dòng)力學(xué)特征，即非線性動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)的涌現(xiàn)現(xiàn)象。

4 結(jié)論

本文通過大量模擬仿真，從理論上刻畫了基于鏈路隨機(jī)打擊的后勤保障網(wǎng)絡(luò)毀傷過程的完整軌跡，揭示和論述了毀傷過程中可能存在的動(dòng)力學(xué)行為及其特征。提出了在不同修復(fù)速率下后勤保障網(wǎng)絡(luò)的毀傷過程存在階躍行為，并且階躍點(diǎn)的分布具有顯著的冪次規(guī)律，這對(duì)進(jìn)一步加強(qiáng)我軍后勤保障網(wǎng)絡(luò)建設(shè)，提升戰(zhàn)時(shí)后勤保障能力提供了理論依據(jù)和啟示。不過，相關(guān)結(jié)論只是基于持續(xù)按數(shù)量去除鏈路的完全隨機(jī)攻擊模式得到的，并且未考慮網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)同時(shí)遭受毀傷的情形。事實(shí)上，信息條件、打擊策略、協(xié)同規(guī)則、節(jié)點(diǎn)與鏈路重要度差異等都將對(duì)后勤保障網(wǎng)絡(luò)毀傷過程帶來較大影響，這些也有待于進(jìn)一步的深入研究。