■河南省許昌高級中學(xué) 許昌市高中數(shù)學(xué)名師工作室 胡銀偉

數(shù)學(xué)巨擘陳省身大師曾說“數(shù)學(xué)好玩”,但數(shù)學(xué)的“江湖”可不僅僅是“好玩”,今天我們就來介紹數(shù)學(xué)界的一個(gè)“趣事”——有關(guān)“微積分”創(chuàng)立之爭的“恩怨”。

首先介紹的是大名鼎鼎的科學(xué)巨匠——站在了巨人肩膀上的牛頓,他著名的經(jīng)典力學(xué)三定律深刻影響著、改變著我們今天的世界；再介紹另一位大咖,德國著名數(shù)學(xué)家——萊布尼茨,一位在哲學(xué)、邏輯學(xué)、倫理學(xué)、歷史學(xué)等領(lǐng)域都頗有建樹的歷史上少見的通才。

17世紀(jì),有許多科學(xué)上的問題亟待解決,歸結(jié)起來主要有四種：一是研究運(yùn)動(dòng)時(shí)即時(shí)速度的問題；二是求曲線的切線問題；三是求函數(shù)的最大值、最小值問題；四是求曲線長、曲線所圍成的面積、曲面所圍成的體積。同時(shí)代的許多著名的數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家、物理學(xué)家,如法國的費(fèi)爾瑪、笛卡兒、羅伯瓦、笛沙格,英國的巴羅、瓦里士,德國的開普勒,意大利的卡瓦列里等人都為解決上述幾類問題進(jìn)行了大量的研究工作,都提出許多很有建樹的理論,通過對這些問題的研究也逐漸促成了微積分的產(chǎn)生。17世紀(jì)下半葉,在前人工作的基礎(chǔ)上,牛頓和萊布尼茨分別在自己的國度里獨(dú)自研究和完成了微積分的創(chuàng)立工作。

1666 年,牛頓率先發(fā)現(xiàn)了微積分概念——流數(shù)術(shù),但是牛頓并未將發(fā)現(xiàn)成果公布出來,只是記在自己的筆記本中。1671年,牛頓寫了《流數(shù)法和無窮級數(shù)》一書,但此書直到1736年才出版。在這本書里,牛頓提出了流數(shù)概念,在流數(shù)術(shù)中的中心問題是：已知連續(xù)運(yùn)動(dòng)的路徑,求給定時(shí)刻的速度(微分法)；已知運(yùn)動(dòng)的速度,求給定時(shí)間內(nèi)經(jīng)過的路程(積分法)。

1684年10 月,在英吉利海峽另一側(cè)的歐洲大陸的德國,萊布尼茨在《教師學(xué)報(bào)》上發(fā)表了現(xiàn)在世界上認(rèn)為是最早的微積分文章,在這一篇具有劃時(shí)代意義的文章中,萊布尼茨定義了微分概念,且采用了微分的符號dx,dy。1686年,萊布尼茨再次發(fā)表積分論文,討論了微分與積分,使用了積分符號∫。從萊布尼茨的筆記本發(fā)現(xiàn),1675 年11 月11日他便已完成一套完整的微積分學(xué)。

微積分學(xué)的創(chuàng)立,極大地推動(dòng)了數(shù)學(xué)的發(fā)展,過去很多初等數(shù)學(xué)束手無策的問題,運(yùn)用微積分可迎刃而解,顯示出微積分學(xué)的非凡威力。因此,牛頓(英國)和萊布尼茨(德國)兩個(gè)人所在的國家,都想各自“霸占”微積分的“創(chuàng)立權(quán)”,以便讓自己的國家和數(shù)學(xué)家能夠名垂數(shù)學(xué)史。

1699年初,有英國皇家學(xué)會(huì)成員率先指控萊布尼茨,認(rèn)為他的微積分思想來自牛頓,只不過是換了牛頓的研究成果的幾個(gè)符號而已,微積分真正的發(fā)明者應(yīng)該是牛頓,隨后英國科學(xué)界與歐洲大陸科學(xué)界爆發(fā)了激烈的爭論,爭論在1711年全面爆發(fā)。1713年初,英國皇家學(xué)會(huì)發(fā)布了一份調(diào)查報(bào)告(報(bào)告由牛頓本人撰寫),單方面宣布“牛頓為微積分發(fā)明第一人”,而斥萊布尼茨為騙子。1713年,萊布尼茨發(fā)表了《微積分的歷史和起源》一文,總結(jié)了自己創(chuàng)立微積分學(xué)的思路,說明了自己成就的獨(dú)立性。

這場爭論導(dǎo)致此后的100 年中,在英國和歐洲大陸的數(shù)學(xué)家間劃出了一道鴻溝,雙方的科學(xué)家,老死不相往來,從而造成了歐洲大陸和英國的數(shù)學(xué)家長期對立。囿于民族偏見,英國數(shù)學(xué)在一個(gè)時(shí)期里閉關(guān)鎖國,并最終讓英國的數(shù)學(xué)發(fā)展整整落后了至少一個(gè)世紀(jì),直到1820年,雙方的關(guān)系才有所緩和。

由微積分的創(chuàng)立過程來看,牛頓在微積分方面的研究雖早于萊布尼茨,但萊布尼茨成果的發(fā)表則早于牛頓；萊布尼茨的筆記本記錄了他的思想從初期到成熟的發(fā)展過程,而在牛頓已知的記錄中只發(fā)現(xiàn)了他最終的結(jié)果。牛頓研究的微積分更多地結(jié)合了運(yùn)動(dòng)學(xué),造詣高于萊布尼茨；而萊布尼茨卻是側(cè)重于幾何學(xué)來考慮的,運(yùn)用分析學(xué)方法引進(jìn)微積分概念、得出運(yùn)算法則,其數(shù)學(xué)的嚴(yán)密性與系統(tǒng)性是牛頓所不及的。萊布尼茨認(rèn)識到好的數(shù)學(xué)符號能節(jié)省思維勞動(dòng),運(yùn)用符號的技巧是數(shù)學(xué)成功的關(guān)鍵之一。因此,他發(fā)明了一套適用的符號,如引入dx 表示x 的微分,∫表示積分,dnx 表示n 階微分等,這些符號進(jìn)一步促進(jìn)了微積分學(xué)的發(fā)展。

牛頓和萊布尼茨建立微積分的出發(fā)點(diǎn)是直觀的無窮小量,他們的最大功績是把兩個(gè)毫不相關(guān)的問題聯(lián)系在一起,一個(gè)是切線問題(微分學(xué)的中心問題),一個(gè)是求積問題(積分學(xué)的中心問題)。但一門科學(xué)的創(chuàng)立絕不是某一個(gè)人的業(yè)績,它必定是經(jīng)過很多人的努力,在積累了大量成果的基礎(chǔ)上,最后由某個(gè)人或幾個(gè)人總結(jié)完成的,微積分同樣也是如此。

正如恩格斯所說：微積分“是牛頓和萊布尼茨大體上完成的,但不是由他們發(fā)明的。而那個(gè)富有爭議的微積分定理,也被折中地命名為“牛頓—萊布尼茨”定理。