■江蘇省口岸中學(xué) 葉阿平

2019年高考對(duì)數(shù)列主要圍繞：“等差和等比數(shù)列的通項(xiàng)與求和、一般數(shù)列的切入點(diǎn)的應(yīng)用、累加法與錯(cuò)位相減法求和進(jìn)而求通項(xiàng)、公式法求和、裂項(xiàng)相消法求和、數(shù)列中存在性問(wèn)題的探究證明及參數(shù)范圍的求解”等知識(shí)展開(kāi)的，凸顯數(shù)列的工具性、應(yīng)用性及創(chuàng)新性。

聚焦1——等差數(shù)列通項(xiàng)及前n項(xiàng)和的最值問(wèn)題

例1(2019年高考北京卷文16)設(shè){an}是等差數(shù)列，a1=-10，且a2+10，a3+8，a4+6成等比數(shù)列。

(1)求{an}的通項(xiàng)公式；

(2)記{an}的前n項(xiàng)和為Sn，求Sn的最小值。

解析：(1)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，因?yàn)閍2+10，a3+8，a4+6成等比數(shù)列，所以(a3+8)2=(a2+10)(a4+6)，即(2d-2)2=d(3d-4)，解得d=2，所以an=-10+2(n-1)=2n-12。

(2)方法1：由(1)知an=2n-12，所以當(dāng)n=5或者n=6時(shí)，Sn所以所以取到最小值-30。

方法2：由(1)得an=2n-12，因?yàn)樗詎=5或6。即數(shù)列從第7項(xiàng)開(kāi)始為正值，故最小×2=-30，則Sn的最小值為-30。

反思：等差數(shù)列是特殊的一次函數(shù)，可利用二次函數(shù)的性質(zhì)求通項(xiàng)an=a1+(n-1)d=d n+(a1-d)=k n+b(n∈N*)及前n項(xiàng)和的最值。還可利用通項(xiàng)構(gòu)建不等式組或確定 的值，進(jìn)而求 的最n Sn值，但要注意其定義域?yàn)檎麛?shù)集這一限制條件。

聚焦2——等比數(shù)列的定義、通項(xiàng)及前n項(xiàng)和的應(yīng)用

例2(2019年高考全國(guó)卷文18)已知{an}是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，a1=2，a3=2a2+16。

(1)求{an}的通項(xiàng)公式；

(2)設(shè)bn=l o g2an，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和。

常愛(ài)蘭愛(ài)上馱子的事其實(shí)我們嶺北周村的人是不大看好的。村上的周老相公就奚落過(guò)幾次，說(shuō)常愛(ài)蘭愛(ài)馱子，肯定是愛(ài)馱子的錢(qián)。馱子有錢(qián)么？周老相公就說(shuō)，你們看，馱子到嶺北周村來(lái)幾年了，從來(lái)沒(méi)有回過(guò)家，那么他的錢(qián)用到哪里去，咱們村，噢，不用說(shuō)村了，就是整個(gè)嶺北鎮(zhèn)就那么屁股點(diǎn)大的地方，他去哪里用錢(qián)，他一年彈棉花彈到頭了，錢(qián)肯定是有不少的。而常愛(ài)蘭呢，她有什么？她就是一個(gè)寡婦，今年寡這個(gè)，明年寡那個(gè)，寡上誰(shuí)誰(shuí)倒霉。

解析：(1)因?yàn)閿?shù)列{an}是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，a3=2a2+16，a1=2，所以令數(shù)列{an}的公比為q，則a3=a1q2=2q2，a2=a1q=2q，所以2q2=4q+16，解得q=-2(舍去)或4，所以數(shù)列{an}是首項(xiàng)為2、公比為4的等比數(shù)列，所以an=2×4n-1=22n-1。

(2)因?yàn)閎n=l o g2an，所以bn=2n-1，bn+1=2n+1，bn+1-bn=2，所以數(shù)列{bn}是首項(xiàng)為1、公差為2的等差數(shù)列，所以Sn=

反思：等差、等比數(shù)列各有五個(gè)基本量，兩組基本公式，這兩組公式可看作多元方程，利用這些方程可將等差、等比數(shù)列中的運(yùn)算問(wèn)題轉(zhuǎn)化為解關(guān)于基本量的方程(組)問(wèn)題，有意識(shí)地應(yīng)用等差、等比數(shù)列的性質(zhì)可以簡(jiǎn)化運(yùn)算，經(jīng)常采用“巧用性質(zhì)、整體考慮、減少運(yùn)算量”的方法解等差、等比數(shù)列問(wèn)題。

聚焦3——裂項(xiàng)相消法求證特殊數(shù)列和不等式

例3(2019年高考浙江卷20)設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，a3=4，a4=S3，數(shù)列{bn}滿足：?n∈N*，Sn+bn，Sn+1+bn，Sn+2+bn成等比數(shù)列。

(1)求數(shù)列{an}，{bn}的通項(xiàng)公式；

解析：(1)由題意可得解得則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an=2n-2，其前n項(xiàng)和

(2)結(jié)合(1)中的通項(xiàng)公式進(jìn)行兩次放縮

反思：通項(xiàng)為分式的數(shù)列求和，常選用對(duì)通項(xiàng)部分分式裂為兩項(xiàng)，然后重新將數(shù)列的每一項(xiàng)裂為兩項(xiàng)，展開(kāi)后構(gòu)成n-1個(gè)零，進(jìn)而求出數(shù)列的和。有時(shí)需先放縮后求和證明數(shù)列不等式，如本題對(duì)分式通項(xiàng)cn=兩次放縮變形應(yīng)注意通項(xiàng)成立的條件和裂項(xiàng)后相消項(xiàng)的目標(biāo)意識(shí)。

聚焦4——等差與等比對(duì)應(yīng)項(xiàng)的積構(gòu)成的數(shù)列求和用“錯(cuò)位相減法”

例4(2019年高考天津卷文18)設(shè){an}是等差數(shù)列，{bn}是等比數(shù)列，公比大于0，已知a1=b1=3，b2=a3，b3=4a2+3。

(1)求{an}和{bn}的通項(xiàng)公式；

(2)設(shè)數(shù)列{cn}滿足求a1c1+a2c2+…+a2nc2n(n∈N*)。

解析：(1)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，等比數(shù)列{bn}的公比為q，依題意得解得故(an=3+3n-1)=3n，bn=3×3n-1=3n。

記Tn=1×31+2×32+…+n×3n，則，所以，則

反思：用錯(cuò)位相減法求和應(yīng)注意：(1)在寫(xiě)出“Sn”與“q Sn”的表達(dá)式時(shí)應(yīng)將兩式“錯(cuò)項(xiàng)對(duì)齊”相減；(2)若公比為參數(shù)，應(yīng)分公比等于1和不等于1兩種情況求解。