馬志春，吳淑花

（石家莊學(xué)院 機(jī)電學(xué)院，河北 石家莊 050035）

0 引言

目前，高中和大學(xué)物理教學(xué)中演示法拉第電磁感應(yīng)定律常規(guī)的教具是將線圈與電流計(jì)形成閉合回路，在線圈中插入或拔出條形磁鐵，檢流計(jì)的指針發(fā)生偏轉(zhuǎn)且方向不同，通過電流計(jì)指針偏轉(zhuǎn)的角度和方向判斷感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)的大小與方向.此儀器的優(yōu)點(diǎn)是演示效果明顯，但是靠手動(dòng)磁鐵無法探究感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)與磁鐵運(yùn)動(dòng)之間的定量關(guān)系，目前開發(fā)的演示儀多利用速度檔位控制實(shí)現(xiàn)某時(shí)間段內(nèi)勻速狀態(tài)下磁通量變化的定量演示[1，2]，但無法實(shí)現(xiàn)速度連續(xù)變化的定量演示.為了拓展學(xué)生的思維，讓他們更深刻地理解法拉第電磁感應(yīng)定律，在此基礎(chǔ)上進(jìn)行了進(jìn)一步的改進(jìn)，研發(fā)出了簡諧式法拉第電磁感應(yīng)定律演示儀，該演示儀將線圈固定在主架臺(tái)活動(dòng)的支架上，磁鐵受主架臺(tái)兩端彈簧的作用在線圈內(nèi)做簡諧振動(dòng)，示波器顯示出感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)波形.該儀器不但結(jié)構(gòu)簡潔明了，重要的是能夠定量演示變速運(yùn)動(dòng)引起磁通量變化而產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)規(guī)律，同時(shí)能夠證明法拉第電磁感應(yīng)定律的數(shù)學(xué)表達(dá)式，磁鐵振動(dòng)1個(gè)周期產(chǎn)生2個(gè)周期的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)波形，磁鐵的平衡位置與線圈中心的相對(duì)位置不同，兩個(gè)周期的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)的波幅也不同，在法拉第電磁感應(yīng)定律的基礎(chǔ)上對(duì)其進(jìn)行分析.

1 演示實(shí)驗(yàn)裝置

簡諧式法拉第電磁感應(yīng)定律演示儀如圖1所示，演示儀包括主架臺(tái)、兩個(gè)彈簧（倔強(qiáng)系數(shù)K=13.6 N/m）和圓柱形磁鐵（長2l=29.2 mm，直徑2a=14.8 mm或2a=19.8 mm）構(gòu)成的簡諧振動(dòng)系統(tǒng)、匝數(shù)為600或300的線圈（長L=49.8 mm，直徑2b=35.1 mm）和示波器，另外備上若干導(dǎo)線.

圖1 演示儀實(shí)物圖

線圈固定在主架臺(tái)活動(dòng)的支架上，磁鐵受兩端彈簧的作用做簡諧振動(dòng)，磁鐵運(yùn)動(dòng)到線圈的不同位置時(shí)，示波器顯示的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)的波形曲線反映其大小和方向.磁鐵一個(gè)周期的簡諧振動(dòng)，示波器中能顯示出兩個(gè)周期的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)，即磁鐵振動(dòng)的周期與感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)的周期是2:1的關(guān)系，當(dāng)磁鐵平衡位置與線圈中心不重合時(shí)，兩個(gè)周期的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)的波幅將會(huì)不同.

2 模型的建立及其原理分析

建立圓柱形磁鐵的等效磁荷模型，空間磁場(chǎng)是由磁荷產(chǎn)生的.磁鐵體內(nèi)、外都存在磁荷，磁鐵沿磁化方向均勻充磁，磁化強(qiáng)度為M（M為常矢量），磁鐵內(nèi)分布著體密度的磁荷ρ（ρ=-▽·M），兩個(gè)端面分布著密度為ρm（ρm=M）的表面磁荷.標(biāo)量磁位φm與面磁荷密度存在如下關(guān)系[3-5]：

由Hm=-▽?duì)誱的關(guān)系，忽略空間其他介質(zhì)被磁化而產(chǎn)生的退磁場(chǎng)，進(jìn)一步推導(dǎo)出空間磁場(chǎng)的基本物理量磁感應(yīng)強(qiáng)度B：

式中R為源點(diǎn)到場(chǎng)點(diǎn)的矢量，R為源點(diǎn)到場(chǎng)點(diǎn)的距離，磁鐵均勻磁化，線圈由無數(shù)個(gè)平面組成.取線圈中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，磁鐵N極為z軸，建立直角坐標(biāo)系o-nz，如圖2所示.

2.1 磁鐵端平面的磁荷在軸線上的磁感應(yīng)強(qiáng)度

理想狀態(tài)下，線圈端平面的磁感應(yīng)強(qiáng)度均勻且等于軸線位置的磁感應(yīng)強(qiáng)度，磁鐵上端平面分成無限薄圓環(huán)，如圖3所示，薄圓環(huán)對(duì)軸上任一點(diǎn)P的磁感應(yīng)強(qiáng)度為

磁鐵上端平面的磁荷在線圈上端平面軸線位置的磁感應(yīng)強(qiáng)度（z1=24.9 mm）為

同理，磁鐵下端平面的磁荷在線圈下端平面軸線位置的磁感應(yīng)強(qiáng)度（z2=24.9mm）為

2.2 磁鐵在線圈中產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)

圖2 磁鐵與線圈模型

圖3 磁鐵軸線上的磁感應(yīng)強(qiáng)度

磁鐵線圈內(nèi)以z=Acosωt做簡諧振動(dòng)，磁鐵被拉至正最大位移處釋放，運(yùn)動(dòng)到負(fù)最大位移的過程中，線圈內(nèi)磁感應(yīng)強(qiáng)度矢量和由正最大逐漸減小至0（坐標(biāo)原點(diǎn)），再逐漸減小至負(fù)最大，與磁鐵運(yùn)動(dòng)的相位相同，設(shè)磁感應(yīng)強(qiáng)度振幅為，磁感應(yīng)強(qiáng)度在線圈內(nèi)的變化規(guī)律為，某時(shí)刻產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)是該時(shí)刻線圈中產(chǎn)生的感生電動(dòng)勢(shì)與動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)的代數(shù)和[6]：

磁鐵運(yùn)動(dòng)到某時(shí)刻，此時(shí)線圈內(nèi)磁感應(yīng)強(qiáng)度不變，線圈位行也保持不變，則

理論分析顯示，感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)與磁鐵的振幅A、磁化強(qiáng)度M及線圈匝數(shù)N成正比，感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)的周期與磁鐵振動(dòng)周期為1∶2的關(guān)系，感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)的相位與磁鐵的磁極以及線圈的纏繞方向有關(guān).

3 演示實(shí)驗(yàn)分析

磁鐵可以看成質(zhì)點(diǎn)在線圈內(nèi)做簡諧振動(dòng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度矢量和的變化引起線圈內(nèi)磁通量的變化進(jìn)而產(chǎn)生感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)，演示實(shí)驗(yàn)中主要考慮線圈切割磁感應(yīng)線產(chǎn)生動(dòng)生電動(dòng)勢(shì).

1）當(dāng)磁鐵平衡位置與線圈中心重合時(shí)，z0=0.磁鐵的磁化強(qiáng)度為M，線圈匝數(shù)為600，磁鐵被拉至最大位移A處，此時(shí)磁鐵靜止，磁感應(yīng)強(qiáng)度的矢量和最大，感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)為0.釋放磁鐵，磁鐵由靜止運(yùn)動(dòng)到坐標(biāo)原點(diǎn)，磁鐵速度由0到負(fù)值最大，線圈內(nèi)磁感應(yīng)強(qiáng)度矢量和由最大逐漸減小至0（坐標(biāo)原點(diǎn)），產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)υ×B由0到負(fù)值最大再到0.磁鐵振動(dòng)1/4周期，示波器中顯示1/2周期的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)，磁鐵振動(dòng)1個(gè)周期，示波器中顯示2個(gè)周期的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)的正弦波如圖4（a）所示；減小磁鐵的振幅，感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)波幅也相應(yīng)減小，說明感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)與磁鐵的振幅成正比，如圖4（b）所示；減少線圈匝數(shù)，感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)波幅也相應(yīng)減小，說明感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)與線圈匝數(shù)成正比，如圖4（c）所示；增強(qiáng)磁鐵磁化強(qiáng)度M，感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)波幅也相應(yīng)增大，說明感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)與磁化強(qiáng)度成正比，如圖4（d）所示，這與理論推導(dǎo)公式（7）相符合.確定了參數(shù)，根據(jù)公式（7）就能確定某時(shí)刻感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)的值.

2）當(dāng)磁鐵平衡位置偏離線圈中心時(shí)，磁鐵平衡位置與坐標(biāo)原點(diǎn)距離z0＞0.磁鐵被拉至最大位移處釋放，磁鐵運(yùn)動(dòng)1個(gè)周期，示波器中顯示2個(gè)周期的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì).由于z0＞0，磁鐵的最大速率與線圈內(nèi)最大磁感應(yīng)強(qiáng)度矢量和在正半軸，磁鐵運(yùn)動(dòng)在正半軸產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)的幅值大于負(fù)半軸幅值，因此2個(gè)周期的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)中有1個(gè)周期的幅值較小.z0越大，負(fù)半軸的磁鐵運(yùn)動(dòng)周期越短，速率越小，產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)周期也越短，幅值也越小，當(dāng)z0≥A，負(fù)半軸磁鐵周期為0，速率為0，感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)也為0，圖5為z0逐漸增大時(shí)負(fù)半軸產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)逐漸減小至0的過程.

可見，實(shí)驗(yàn)結(jié)果與理論探究相互印證，利用該儀器進(jìn)行的演示過程為法拉第電磁感應(yīng)定律的定量研究提供了可行性方案.

圖4 z0=0時(shí)感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)波形

圖5 z0逐漸增大感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)波形變化過程

4 結(jié)論

該演示儀結(jié)構(gòu)、材料簡單，不但能定性演示，而且可以定量研究變速運(yùn)動(dòng)法拉第電磁感應(yīng)定律，觀察正弦波能判斷感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)的大小和方向.該實(shí)驗(yàn)操作簡單，可視性強(qiáng)，實(shí)驗(yàn)效果明顯，值得推廣使用.