王成杰 劉新春

(1.江蘇省揚中高級中學(xué)212200; 2.揚中市教師發(fā)展中心212200)

1 引言

經(jīng)常聽到一些學(xué)生平時考試或高考后說，這次考試不在狀態(tài)，平時會的方法都想不起來，一走出考場就會了.還有一些學(xué)生說，這次考試感覺特別好，做得很順手.這些現(xiàn)象其實描述的就是解題的感覺，簡稱題感，所謂題感就是對數(shù)學(xué)問題的感知、預(yù)感、靈感，能直覺感知問題的求解思路和解法，是在解題中產(chǎn)生的特有的感覺.從更上位的觀點來看，題感是數(shù)學(xué)直觀的具體體現(xiàn)，史寧中教授認(rèn)為：數(shù)學(xué)教學(xué)的根本，那就是培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)直觀，因為數(shù)學(xué)的結(jié)論是“看”出來的，不是證出來的，依賴的是數(shù)學(xué)直觀.“看”就是一種直觀感覺.日本數(shù)學(xué)家小平邦彥也認(rèn)為，數(shù)學(xué)就是一種感覺.題感好主要表現(xiàn)在：首先是具有敏銳的洞察力和預(yù)見性，能抓住本質(zhì)，預(yù)感解題方向，迅速發(fā)現(xiàn)解題突破口，預(yù)測解題方法，對問題的解決方法達(dá)到直覺、頓悟的程度；第二，能感知解決問題思路的優(yōu)劣，甚至能一眼發(fā)現(xiàn)問題中的錯誤，預(yù)見某些解題思路繁瑣甚至無法解決問題；第三，能善于運用直覺思維、逆向思維、發(fā)散思維、簡縮思維、整體思維等思維形式思考問題，遇到挫折能夠及時調(diào)控思維，調(diào)整思考方向，對自己的思維過程能夠自覺地反思、梳理，保存最簡捷的思路和方法.題感好的最高境界是不斷產(chǎn)生靈感，靈活自如創(chuàng)造性地解題.靈感來自何處？一方面，陳省身先生認(rèn)為，靈感完全是苦功的結(jié)果，要不靈感不會來.換句話說靈感就是朝思暮想，如果你特別想解決一個問題，你走路、吃飯、睡覺、活動都在想著這個問題，靈感就很容易找上你，因為你目標(biāo)明確，你的潛意識就會一直去幫你找答案，想辦法，就容易產(chǎn)生靈感.另一方面，靈感可能是簡縮思維與直覺思維的聚合與突變.簡縮思維其實就是抓住本質(zhì)、規(guī)律，抓住主要矛盾，摒棄細(xì)枝末節(jié)，簡化思維鏈.而直覺是對問題的“頓悟”和“猜測”，直覺來源于經(jīng)驗與激活思維的某些誘因，如堅實的基礎(chǔ)知識、數(shù)形結(jié)合獲得的影像，以及對稱等美感，直覺思維會被以上誘因觸發(fā)，突然間領(lǐng)悟了某些道理或獲得某些啟示得到思路、方法、答案.

2 數(shù)學(xué)題感：在活動中產(chǎn)生

2.1 在知識理解中萌生

題感好首先建立在對基礎(chǔ)知識的準(zhǔn)確、深刻、全面理解，對數(shù)學(xué)思想方法的深刻把握和對數(shù)學(xué)思維的靈活運用.沒有必要的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識作為基礎(chǔ)，數(shù)學(xué)思想方法就沒有載體，思維也就無法附著.數(shù)學(xué)思維離不開數(shù)學(xué)語言，而數(shù)學(xué)語言首先是由數(shù)學(xué)概念、符號、圖形構(gòu)成的，數(shù)學(xué)概念必須從大量的實際現(xiàn)象中，通過觀察、比較、聯(lián)想、概括、抽象形成概念，并通過正例強化和反例辨析才能更加深刻地理解概念，才可能具有更強的遷移性，更快捷地運用到解題中.數(shù)學(xué)定理、公式、法則和正確結(jié)論只有弄清了它的來龍去脈、推導(dǎo)方法和各種變形，才能靈活運用于解題，而數(shù)學(xué)思想方法則滲透在概念的形成與遷移、公式定理的猜想與發(fā)現(xiàn)、證明與變形、解題思路的分析突破之中，有了堅實的基礎(chǔ)知識和融會貫通的思想方法，數(shù)學(xué)思維才能順向快捷，逆向靈活，遇挫調(diào)控，多方發(fā)散，有機激活，甚至激發(fā)靈感產(chǎn)生.

案例1如圖，E，F(xiàn)分別是邊長為4的正方形ABCD的邊DC，AB的中點.半徑為1的圓O的圓心與正方形的中心重合，過AB邊上一點P(0≤AP≤1)作圓O的切線，交邊BC于點Q點，過Q點作圓O的另一條切線，交EF于點N.問是否存在常數(shù)m,使得mQN+NE為定值？ 如果存在，請求出常數(shù)m，并給出定值，如果不存在，請說明理由.

分析：從一般經(jīng)驗看，涉及直線與圓相切問題通?？山⒅苯亲鴺?biāo)系，運用解析幾何知識解決，從而得到一般方法.

解以A為原點，AB所在直線為x軸，建立平面直角坐標(biāo)系．

設(shè)PA=a，則P(a,0),0≤a≤1，

設(shè)PQ的斜率為k，則PQ方程為y=k(x-a)，

令x=4得Q(4,k(4-a))，

因為點O在直線PQ上方，

設(shè)NQ的斜率為k1，

則NQ方程為y-k(4-a)=k1(x-4)，

令x=2得N(2,k(4-a)-2k1)，

所以NE=4+2k1-k(4-a)，

由NQ與圓O相切，

因為點O在直線NQ下方，

=2[-2k1-2+k(4-a)]，

所以mQN+NE

=2m[-2k1-2+k(4-a)]+4+2k1-k(4-a)

=(-2m+1)[2+2k1-k(4-a)]+2,

思考：觀察以上解法，感覺運算量比較大，且運用知識的方法是“直譯”知識，沒有觸及知識內(nèi)核與問題本質(zhì)；另一方面從圖形直覺看，從正方形以及直線與圓相切的條件中可以發(fā)現(xiàn)許多垂直關(guān)系，且圓心是一個重要特征，如何將這些條件整合起來，找到一種更為簡捷的本質(zhì)關(guān)系？題感開始發(fā)揮作用了：

從這一解答的思維活動過程可以看出：對原有解法的不滿意是產(chǎn)生題感的源頭之一，扎實全面的數(shù)學(xué)知識是基礎(chǔ)，將各個知識點的本質(zhì)融合，加上一定的解題活動經(jīng)驗，通過不斷地觀察、嘗試、思考，激活靈感，可能產(chǎn)生更加簡捷的解法，印證和形成題感.

2.2 在解題訓(xùn)練中生長

學(xué)生通過恰到好處的訓(xùn)練能夠深刻感悟解決數(shù)學(xué)問題的全部過程，學(xué)會正確審題，制定解題計劃，分析解決問題的思路，迅速找到解決問題的突破口，準(zhǔn)確選擇簡捷的方法解決問題，甚至創(chuàng)造方法求解問題，反思總結(jié)解題規(guī)律. 在解題教學(xué)中比告訴學(xué)生解題方法更重要的是指導(dǎo)學(xué)生自主探究解題思路，知道怎樣找到解題思路，如何尋找題眼(即解決問題的突破口)，如何比較各種解法的優(yōu)劣以及適用范圍.如何將問題推廣到更一般的情形，如何對問題逆向探究，如何將解題方法簡捷優(yōu)化、類比遷移，觸類旁通，舉一反三.教師不僅要展示正確的解題思路，還要暴露教師解題中的思維過程、錯誤與困惑，不僅要展示學(xué)生在解題過程中的優(yōu)美解法和思維閃光點，更要鼓勵學(xué)生暴露解題過程中的錯誤，揭示形成錯誤的原因，還要善于從學(xué)生的錯誤中發(fā)現(xiàn)創(chuàng)新的萌芽.教師還必須重視對學(xué)生的解題方法和學(xué)習(xí)方法的指導(dǎo)，揭示知識與方法、技能之間的內(nèi)在聯(lián)系，把自己成功的學(xué)習(xí)經(jīng)驗和失敗的教訓(xùn)及其形成的原因和盤托出，供學(xué)生借鑒.

(1)設(shè)動點P滿足PF2-PB2=4，求點P的軌跡；

(3)設(shè)t=9,求證：直線MN必過x軸上的一定點(其坐標(biāo)與m無關(guān)).

分析：(1)(2)略，著重尋找(3)的解題思路：常規(guī)的思路是分別求出兩條直線與橢圓的交點，建立兩個交點所在直線的方程，通過直線方程尋找定點得到方法1.(解法過程略)

從一般的解題經(jīng)驗，能否先猜出定點，再驗證一般情況成立？可以從特殊情形出發(fā)發(fā)現(xiàn)定點位置：當(dāng)直線MN與x軸垂直時可求得定點坐標(biāo)然后再驗證一般情形.(解法過程略)

從圖形中發(fā)現(xiàn)，直線AT、BT與橢圓的交點，也是直線MN、x軸與橢圓的交點，而由求雙曲線的漸近線方程的經(jīng)驗，可以將兩條直線的方程寫成一個二元二次方程，題感提示我們，能否不求交點坐標(biāo)，借助橢圓的方程和直線AT、BT方程直接求出直線MN方程，經(jīng)過嘗試發(fā)現(xiàn)是可行的，于是得到方法3：

由于t=9，

即m(x+3)-12y=0

①

即m(x-3)-6y=0

②

將①與②左右兩邊分別相乘有

m2(x2-9)-6my(x+3)-12my(x-3)+72y2=0

③

④

可以證明④式即為直線MN的方程，

令y=0，則x=1，

即直線MN必過x軸上的一定點，

定點坐標(biāo)為(1,0).

以上從直覺思維和簡縮思維中產(chǎn)生靈感獲得方法3，表明數(shù)學(xué)題感可以從解題訓(xùn)練中培養(yǎng)、強化，并逐步內(nèi)化為解題活動經(jīng)驗.

(Ⅰ)求動點P的軌跡方程；

(Ⅱ)設(shè)直線AP和BP分別與直線x=3交于點M,N，問：是否存在點P使得△PAB與△PMN的面積相等？若存在，求出點P的坐標(biāo)；若不存在，說明理由.

分析1:(Ⅰ)動點P的軌跡方程易得x2+3y2=4(x≠±1)，解題過程略.

以下著重分析第(Ⅱ)小題.

解法2：由S△ABP=S△PMN可得

由比例性質(zhì)，它們在x軸上的投影比相等，可得

(xP-xA)(xP-xB)=(xN-xP)(xM-xP),

即(xP+1)(xP-1)=(3-xP)(3-xP),

上述兩種解法瞄準(zhǔn)了幾何圖形的局部和細(xì)節(jié)(邊或角)獲得解法.但從題感的角度運用整體思維和簡縮思維就能跳出細(xì)節(jié)，著眼于從幾何圖形的整體結(jié)構(gòu)出發(fā)，在△ADN中，從△PAB與△PMN的面積相等、B為AD中點、M為ND中點，結(jié)合分析得到P是△ADN的重心，由于點A,M,N的橫坐標(biāo)已知，因而能便捷地求出P點的坐標(biāo).

解法3：連結(jié)AB并延長交直線x=3于點D，

連結(jié)AN，要使S△ABP=S△PMN，

須且只須S△AMD=S△BND，

由于B為AD中點，

只須M為ND中點即可.

此時點P是△ADN的重心，

由三角形的重心坐標(biāo)公式可得

2.3 在反思頓悟中升華

題感不是教師教出來的，而是學(xué)生悟出來的.怎么悟，就需要解題.題感好必須不斷悟題，一悟問題的條件之間、條件與結(jié)論之間的多向聯(lián)系，比較差異，發(fā)現(xiàn)關(guān)系，尋找橋梁.二悟條件、結(jié)論與數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識之間的聯(lián)系，眾多問題往往是“題在書外，根在書上”，即用書本知識解讀條件、結(jié)論.三悟問題中條件、結(jié)論與數(shù)學(xué)思想方法之間的聯(lián)系，即用數(shù)學(xué)思想方法來聯(lián)結(jié)條件與結(jié)論之間的關(guān)系——解題思路.四悟解決問題失敗的原因與成功的體驗.五悟本題的解法與大腦中已有知識方法的關(guān)聯(lián).悟題的體驗狀態(tài)至少有三種層次：第一，只可意會(有時連意會都做不到)不能言傳，捉摸不定，視之無形，百思不得其解.第二，一夢醒來，茅塞頓開，豁然開朗，浮想聯(lián)翩，妙不可言，內(nèi)心澄明，思維清澈，心靈共鳴.第三，喚醒沉睡的潛能，激活封存的記憶，開啟封閉的心智，放飛禁錮的思維.

以上是學(xué)生的常見解法思路，是解題基本經(jīng)驗發(fā)揮了作用，一般情況下，本題的教學(xué)過程就結(jié)束了.這時指導(dǎo)學(xué)生反思以上解題過程，本題解法其突破口是從三角形的面積出發(fā)借助直線方程構(gòu)建三角形面積與坐標(biāo)之間的聯(lián)系，而表示三角形的面積有多種形式，如

等等，題感提醒我們，能否不設(shè)直線方程，直接建立三角形面積與坐標(biāo)之間的關(guān)系？學(xué)生經(jīng)過反復(fù)思考討論發(fā)現(xiàn)：

從表示面積的第三個公式可以發(fā)現(xiàn)，

兩式相乘即有

展開得

配方得

即有

(b2x1x2+a2y1y2)2+a2b2(x1y2-x2y1)2=a4b4,

而此式正好含有三角形面積的表示形式，

聯(lián)想結(jié)論

(b2x1x2+a2y1y2)2+a2b2(x1y2-x2y1)2=a4b4，

代入可得

化簡得2x1x2+3y1y2=0，

即2x1x2=-3y1y2，兩邊平方消去y1,y2得

3 數(shù)學(xué)題感：一種活動經(jīng)驗

數(shù)學(xué)基本活動經(jīng)驗通常是指在數(shù)學(xué)目標(biāo)的指引下，經(jīng)歷了實際操作、直觀想象、歸納演繹、抽象概括、邏輯推理等數(shù)學(xué)活動過程，從量變到質(zhì)變飛躍時形成的對相關(guān)數(shù)學(xué)活動起指導(dǎo)作用的認(rèn)識、體驗和觀念，是學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中獲得的對數(shù)學(xué)知識、技能、思想之間如何聯(lián)系的一種直觀感受，是學(xué)生發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)問題與知識、技能、思想之間聯(lián)系的橋梁.數(shù)學(xué)基本活動經(jīng)驗的核心是思維活動經(jīng)驗.獲得數(shù)學(xué)基本活動經(jīng)驗的過程大致可分為：經(jīng)驗萌發(fā)、明晰、概括、重構(gòu)等階段.解題活動是高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的主要形式之一，良好的題感是數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗的重要組成部分，對于學(xué)生積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗具有很好的促進(jìn)作用.因為題感是一種感覺、習(xí)慣和思維方式，也是一種經(jīng)驗，既有感性經(jīng)驗，又有理性經(jīng)驗，既來之直接經(jīng)驗，又取之間接經(jīng)驗.題感在數(shù)學(xué)知識的形成理解中萌生，在發(fā)現(xiàn)、提出、分析、解決數(shù)學(xué)問題的過程中生長，在反思頓悟中成熟，而這一過程正是幫助學(xué)生獲得數(shù)學(xué)思考的基本活動經(jīng)驗的過程.一題多解或多題一解是訓(xùn)練學(xué)生解題靈感、解題策略和解題習(xí)慣的主要形式，也正是增加數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗的載體.形成良好的題感就是獲得數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗,反之，題感根植于經(jīng)驗，數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗豐富的學(xué)生的題感通常也比較優(yōu)良.

培養(yǎng)學(xué)生良好的題感是培育數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的重要組成部分.題感基于解題的感覺，首先是直覺思維起作用，要求一眼就能看出問題的解答思路或答案，這是直觀想象素養(yǎng)好的標(biāo)志.面對大量的題目信息，學(xué)生能夠快速整理提取、選擇、連接，迅速找到核心——解題思路，這是數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)的基本要求.對問題進(jìn)行預(yù)判、調(diào)控、優(yōu)化是促進(jìn)邏輯推理素養(yǎng)的有效途徑.把實際問題順利轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題并能合理制定優(yōu)化的解題策略，選擇和創(chuàng)造快捷的方法解決問題，這是訓(xùn)練數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)的主要環(huán)節(jié).因此培養(yǎng)良好的題感是培育數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的重要組成部分.

數(shù)學(xué)題感是一種神奇的力量，是直覺洞察的結(jié)果，是思維習(xí)慣的結(jié)晶，是反思頓悟的升華，它在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識的過程中產(chǎn)生，在解題訓(xùn)練在成長，在反思頓悟中完善，逐步形成豐富的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗，并內(nèi)化為數(shù)學(xué)素養(yǎng).