鄧翰香 吳立寶 沈 婕

(1.天津師范大學(xué)教育學(xué)部 300387；2.天津市中小學(xué)教育教學(xué)研究室 300200)

1 引言

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版)》(簡稱《課標(biāo)(2017)》)提出數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算與數(shù)據(jù)分析六大數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)[1]，其中數(shù)學(xué)抽象位居首位.數(shù)學(xué)抽象，作為數(shù)學(xué)產(chǎn)生和發(fā)展的思維基礎(chǔ)，反映了數(shù)學(xué)的本質(zhì)特征，是數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的重要組成部分[2].教材，作為落實(shí)課程目標(biāo)的重要媒介和課程標(biāo)準(zhǔn)的實(shí)施載體，是“理想的課程”與“領(lǐng)悟的課程”的橋梁與紐帶[3].數(shù)學(xué)教材，蘊(yùn)含豐富的數(shù)學(xué)抽象思想，只有充分挖掘才能更好地為培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)提供良好的素材與機(jī)會.立足現(xiàn)行高中數(shù)學(xué)教材，探究如何有效培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)，一方面為教材編寫與修訂提供參考；另一方面為教師和學(xué)生在教和學(xué)的過程中發(fā)展數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)提供參考.

2 分析框架

《課標(biāo)(2017)》指出，數(shù)學(xué)抽象的主要表現(xiàn)為：獲得數(shù)學(xué)概念和規(guī)則，提出數(shù)學(xué)命題和模型，形成數(shù)學(xué)方法與思想，認(rèn)識數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)與體系[1].本文以此作為數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)的分析框架來具體分析現(xiàn)行教材.

2.1 獲得數(shù)學(xué)概念和規(guī)則

數(shù)學(xué)抽象的一個重要表現(xiàn)是數(shù)學(xué)概念和規(guī)則的獲得.根據(jù)抽象程度的不同，史寧中教授將數(shù)學(xué)抽象過程細(xì)分為三個階段：一是簡約階段，把握事物本質(zhì)，把復(fù)雜問題簡單化并條理清晰的表達(dá)；二是符號階段，去掉事物的具體內(nèi)容，利用符號和關(guān)系術(shù)語等表述已簡約化的事物；三是普適階段，通過假設(shè)和推理，建立法則或者模型，能在一般意義上描述具體事物的特征或規(guī)律[4].這三個階段相互連接，后一個階段建立在前一階段的基礎(chǔ)之上.數(shù)學(xué)概念的獲得包括概念形成和概念同化兩種基本方式.數(shù)學(xué)概念的形成，通常會經(jīng)歷以上三個階段：首先，從直觀的背景、具體的材料中抽離出事物的本質(zhì)特征；其次，對抽象概括對象給予一般表示，并且用符號進(jìn)行表述；最后，根據(jù)符號階段得出的結(jié)論進(jìn)行定義，形成概念系統(tǒng)進(jìn)行應(yīng)用.

2.2 提出數(shù)學(xué)命題和模型

數(shù)學(xué)抽象的一個重要過程是數(shù)學(xué)命題和模型的提出.數(shù)學(xué)命題和模型不僅是對數(shù)學(xué)事實(shí)的抽象概括，還具有“工具性”特征，可用于實(shí)現(xiàn)“知識遷移”，即來解決某一類問題.因此，對數(shù)學(xué)命題和模型的抽象不僅需要關(guān)注抽象的結(jié)果，還需要關(guān)注數(shù)學(xué)抽象的過程[5].學(xué)生在體驗(yàn)和完成學(xué)習(xí)活動后，獲得模型化解決問題的能力，進(jìn)而將數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)世界進(jìn)行聯(lián)系；同時，學(xué)生經(jīng)歷完整的數(shù)學(xué)命題的抽象過程，需要理解數(shù)學(xué)抽象的“基本套路”，獲得數(shù)學(xué)抽象的基本活動經(jīng)驗(yàn).其中，數(shù)學(xué)抽象的“基本套路”是上述數(shù)學(xué)抽象的三個階段的具體步驟(如圖1)：從“辨別”到“抽象”為簡約階段，抽離事物本質(zhì)；從“概括”到“形式”為符號階段，完成符號表達(dá)；從“系統(tǒng)”到“運(yùn)用”為普適階段，形成理論并運(yùn)用到具體情境.

圖1

2.3 形成數(shù)學(xué)方法與思想

數(shù)學(xué)抽象的一個重要產(chǎn)物是數(shù)學(xué)方法與思想的形成.數(shù)學(xué)方法與思想作為數(shù)學(xué)抽象的產(chǎn)物，蘊(yùn)含于數(shù)學(xué)抽象過程中；同時，依托數(shù)學(xué)方法與思想可以反過來加深對數(shù)學(xué)抽象的理解.《課標(biāo)(2017)》提出“運(yùn)用數(shù)學(xué)抽象的思維方式思考并解決問題”的表現(xiàn)要求，史寧中教授認(rèn)為“思維方法的教育是數(shù)學(xué)思想與思維經(jīng)驗(yàn)之和”，因此在培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)的過程中要重視形成數(shù)學(xué)方法與思想，進(jìn)而真正認(rèn)識并形成數(shù)學(xué)抽象的思維方式.綜合來說，挖掘教材中的數(shù)學(xué)方法與思想會指向數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)的提高；數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)的提升有助于領(lǐng)悟數(shù)學(xué)方法與思想.

2.4 認(rèn)識數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)與體系

數(shù)學(xué)抽象的一個更高水平是形成數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)與體系.通過數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)與體系的抽象可以看清知識的“來龍去脈”，認(rèn)識到數(shù)學(xué)理論體系的完善過程，以及不同研究領(lǐng)域之間的聯(lián)系與統(tǒng)一性.在高觀點(diǎn)下對知識進(jìn)行系統(tǒng)梳理以及完整描述某個數(shù)學(xué)領(lǐng)域的知識體系，可以讓學(xué)生理解通過數(shù)學(xué)抽象所得知識的重要性及必要性，進(jìn)而展現(xiàn)數(shù)學(xué)抽象的獨(dú)特魅力.

3 以函數(shù)單調(diào)性為例教材分析

“函數(shù)單調(diào)性”是人教A版高中數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教科書必修一第一章第三節(jié)“函數(shù)的基本性質(zhì)”的內(nèi)容.基于前面的分析框架，以該節(jié)教材內(nèi)容為例，具體闡釋在函數(shù)單調(diào)性的教學(xué)中如何培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng).

3.1 教材中的“數(shù)學(xué)概念和規(guī)則的獲得”

從教材知識編排上看，學(xué)生在初中階段接觸了一些常見的初等函數(shù)的圖象，對函數(shù)圖象的增減性有了初步的感性認(rèn)識.在高中階段學(xué)習(xí)函數(shù)單調(diào)性的概念，可以從數(shù)和形的直觀感受出發(fā)，研究自變量變化時函數(shù)值的變化規(guī)律，通過定量分析解釋定性結(jié)果來理解單調(diào)性的概念.從抽象過程上看，單調(diào)性的定義是通過函數(shù)圖形語言到自然語言、再到符號語言逐步抽象得出的,其中涉及到了基于幾何直觀的抽象、對數(shù)學(xué)研究對象之間關(guān)系的抽象和構(gòu)建模型抽象，從不同抽象層面上去培養(yǎng)了學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng).

函數(shù)單調(diào)性概念的獲得，需要認(rèn)識到概念的本質(zhì).對抽象的數(shù)學(xué)概念進(jìn)行剝繭抽絲，通過全面分析做到深入理解.從教材的編排內(nèi)容可以看出，函數(shù)單調(diào)性概念的獲得，恰好經(jīng)歷了史寧中教授提出的“三個階段”的抽象：一是在“簡約階段”中，觀察圖象直觀感受，通過“上升”“下降”描述圖象的變化規(guī)律，抽象出函數(shù)的本質(zhì)特征；二是在“符號階段”中，使用數(shù)學(xué)符號語言表達(dá)增(減)函數(shù)定義，構(gòu)造概念關(guān)系特征，其中“任意”兩字的理解是一個難點(diǎn)；三是在“普適階段”中，完善單調(diào)性的知識體系，運(yùn)用單調(diào)性定義解決問題，通過例題設(shè)置提升問題解決水平和思維抽象素養(yǎng)，讓學(xué)生在課堂收獲“帶得走的東西”.

3.2 教材中的“數(shù)學(xué)命題和模型的提出”

函數(shù)單調(diào)性概念的抽象過程需要通過數(shù)學(xué)探究活動讓學(xué)生去經(jīng)歷.函數(shù)單調(diào)性的探究活動設(shè)置是讓學(xué)生參與到數(shù)學(xué)命題的建構(gòu)過程中，獲得對數(shù)學(xué)抽象過程的體驗(yàn)與感知，讓學(xué)生在認(rèn)知領(lǐng)域進(jìn)行數(shù)學(xué)概念的再發(fā)現(xiàn)、再創(chuàng)造，從而培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng).探究活動內(nèi)容包括：讓學(xué)生經(jīng)歷函數(shù)單調(diào)性的抽象過程，嘗試從具體的直觀特征到利用符號形式化表達(dá)數(shù)學(xué)定義，構(gòu)建出概念形成系統(tǒng)并具體應(yīng)用.以下將基于教材中的數(shù)學(xué)探究活動的設(shè)置，分析教材是如何與上述數(shù)學(xué)抽象過程的“基本套路”相對應(yīng)來設(shè)置探究活動內(nèi)容，從而讓學(xué)生經(jīng)歷函數(shù)單調(diào)性的完整抽象過程.

3.2.1 圖象直觀，抽離本質(zhì)

教材問題1觀察圖2中的函數(shù)圖象，你能說說它們分別反映了相應(yīng)函數(shù)的哪些變化規(guī)律嗎？

問題1的設(shè)置是為達(dá)到數(shù)學(xué)抽象過程中起初的“辨別”和“分化”兩個步驟.第一步“辨別(刺激模式)”：從學(xué)生認(rèn)知基礎(chǔ)入手，學(xué)生在初中階段學(xué)習(xí)了一些常見初等函數(shù)，能夠感受函數(shù)圖象的變化規(guī)律，由此通過觀察直觀的函數(shù)圖象引出課題，達(dá)到外部刺激引入情境的效果.第二步“分化(各種屬性)”：依據(jù)具體圖象來感知函數(shù)的性質(zhì)，在多種函數(shù)的性質(zhì)中，函數(shù)圖象有遞增遞減的屬性是學(xué)生從各種特征當(dāng)中較為容易分化出的一個特性.

圖2

教材問題2研究一次函數(shù)f(x)=x和二次函數(shù)f(x)=x2的圖象，描述這兩個函數(shù)圖象的單調(diào)性.

問題2的設(shè)置是為達(dá)到數(shù)學(xué)抽象過程中的“類化”和“抽象”兩個步驟.第三步“類化(共同屬性)”：觀察圖3，可以看到，函數(shù)f(x)=x的圖象由左至右是上升的；函數(shù)f(x)=x2的圖象在y軸左側(cè)是下降的，在y軸右側(cè)是上升的.對具體函數(shù)圖象變化的認(rèn)識，用圖形語言描述函數(shù)圖象特征，抽離出它們所共有的“上升”“下降”的共同屬性.第四步“抽象(本質(zhì)屬性)”：在引導(dǎo)學(xué)生類化出函數(shù)“上升”“下降”的共同屬性后，可以自然地揭示出函數(shù)“變中不變”的本質(zhì)特征，也就是函數(shù)圖象的“上升”“下降”反映了函數(shù)的一個基本性質(zhì)——單調(diào)性.

圖3

3.2.2 抽象概括，符號表達(dá)

教材問題3如何描述函數(shù)圖象的“上升”“下降”？

問題3的設(shè)置是為達(dá)到數(shù)學(xué)抽象過程中的“概括”這一步驟.第五步“概括(形成概念)”：通過問題引導(dǎo)學(xué)生從圖形語言過渡到用自變量x與對應(yīng)的函數(shù)值y之間關(guān)系的自然語言.以二次函數(shù)f(x)=x2為例，結(jié)合圖象與列表，讓學(xué)生用自然語言描述出函數(shù)圖象“上升”“下降”的特征.也就是，函數(shù)f(x)=x2圖象在y軸左側(cè)“下降”，即在區(qū)間(-∞,0]上，f(x)隨著x的增大而減小；圖象在y軸右側(cè)“上升”，即在區(qū)間(0,+∞)上，f(x)隨著x的增大而增大.

教材問題4怎樣利用函數(shù)解析式f(x)=x2描述“隨著x的增大，相應(yīng)的f(x)隨著減小”“隨著x的增大，相應(yīng)的f(x)也隨著增大”？

3.2.3形成理論，拓展應(yīng)用

增(減)函數(shù)定義設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镮：如果對于定義域I內(nèi)某個區(qū)間D上的任意兩個自變量的值x1,x2，當(dāng)x1

單調(diào)性定義如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間D上是增函數(shù)或減函數(shù)，那么就說函數(shù)y=f(x)在這一區(qū)間具有(嚴(yán)格的)單調(diào)性，區(qū)間D叫做y=f(x)的單調(diào)區(qū)間.

教材中增(減)函數(shù)定義的給出以及單調(diào)性定義的完善是達(dá)到數(shù)學(xué)抽象過程中的“系統(tǒng)”這一步驟.第七步“系統(tǒng)(形成理論)”：通過以上簡約階段、符號階段的逐級抽象，最終得到增(減)函數(shù)的一般性定義.解釋說明嚴(yán)格單調(diào)與單調(diào)區(qū)間的含義，深化概念的理解，形成完整系統(tǒng).

教材例題

例1根據(jù)圖象說出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，以及在每一單調(diào)區(qū)間上，它是增函數(shù)還是減函數(shù)？

教材中例題的設(shè)置是為達(dá)到數(shù)學(xué)抽象過程中的“運(yùn)用”這一步驟.第八步“運(yùn)用(理論實(shí)踐)”：教材安排的兩個例題是從幫助學(xué)生把握函數(shù)單調(diào)性概念的本質(zhì)出發(fā)，體現(xiàn)了“函數(shù)單調(diào)性”所要達(dá)到的教學(xué)目標(biāo).例1利用圖象法來判斷函數(shù)的單調(diào)性以及相應(yīng)的單調(diào)區(qū)間.例2利用定義證明物理學(xué)中的玻意耳定律，使學(xué)生了解定義法在討論函數(shù)單調(diào)性問題中的作用并掌握證明單調(diào)性的基本步驟.由此，加深對函數(shù)單調(diào)性的理解，體會用符號形式化表達(dá)數(shù)學(xué)定義的必要性.同時通過例2的學(xué)習(xí)，引導(dǎo)學(xué)生歸納出利用增減函數(shù)定義證明函數(shù)在給定區(qū)間上的單調(diào)性的一般方法步驟，幫助學(xué)生初步構(gòu)建出用定義證明函數(shù)單調(diào)性的解題模式，增強(qiáng)學(xué)生的模型化解決問題的能力及應(yīng)用意識，也進(jìn)一步讓學(xué)生感受從具體到抽象得出數(shù)學(xué)方法的數(shù)學(xué)抽象過程.其中，用定義法證明函數(shù)單調(diào)性的一般步驟為：①取值，設(shè)x1,x2∈D,且x1

以上教學(xué)過程中，教材內(nèi)容在編排上通過逐級設(shè)問，引導(dǎo)學(xué)生從感性認(rèn)識到理性認(rèn)識，逐步抽象出函數(shù)單調(diào)性，最終提出數(shù)學(xué)命題.在實(shí)際教學(xué)過程中，教師需要給學(xué)生思考的時間和機(jī)會，鼓勵學(xué)生積極參與數(shù)學(xué)探究活動，使學(xué)生通過自身嘗試歸納、定義和證明，發(fā)展數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng).

3.3 教材中的“數(shù)學(xué)方法與思想的形成”

函數(shù)單調(diào)性的教學(xué)不僅要求學(xué)生掌握函數(shù)單調(diào)性的理論知識，參與這一概念的形成過程，而且要讓學(xué)生在完成本節(jié)課的學(xué)習(xí)之后，知道如何研究這樣的性質(zhì)，這一性質(zhì)的研究對類似性質(zhì)的研究有什么借鑒，從中挖掘出在數(shù)學(xué)抽象過程中形成的數(shù)學(xué)方法與思想.基于這樣的認(rèn)識，本節(jié)課的教學(xué)要立足于培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象的思維能力，滲透相應(yīng)的數(shù)學(xué)思想方法，體現(xiàn)“數(shù)學(xué)的方式”，使學(xué)生領(lǐng)會到數(shù)學(xué)地認(rèn)識并解決問題的思想方法，這樣施教才會更有深度[6].

本節(jié)教材在數(shù)學(xué)抽象過程中體現(xiàn)了抽象與概括、特殊與一般、數(shù)形結(jié)合、模型化等數(shù)學(xué)思想方法.教材通過設(shè)置問題情境讓學(xué)生觀察、歸納、類比，積累思維活動經(jīng)驗(yàn)，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象能力.例如，教材從研究兩個特殊的函數(shù)f(x)=x和f(x)=x2的單調(diào)性出發(fā)，用圖形語言抽象概括出函數(shù)圖象特征，提升歸納的能力；再以函數(shù)f(x)=x2為例，通過數(shù)形結(jié)合，用數(shù)學(xué)符號語言描述增函數(shù)的定義，鼓勵學(xué)生類比寫出f(x)=x2在區(qū)間(-∞,0]上是減函數(shù)的定義；進(jìn)一步發(fā)現(xiàn)，f(x1)和f(x2)推廣到一般函數(shù)均可表示為f(x1)和f(x2)，完成從特殊函數(shù)單調(diào)性的準(zhǔn)確表述到一般函數(shù)單調(diào)性的準(zhǔn)確表述；例題設(shè)置解決實(shí)際問題，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)應(yīng)用的意識，體會數(shù)學(xué)模型思想.基于以上活動，達(dá)到在數(shù)學(xué)抽象的過程中形成數(shù)學(xué)方法與思想，并且數(shù)學(xué)方法與思想的形成又深化對函數(shù)單調(diào)性理解的相互作用效果.

3.4 教材中的“數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)與體系的認(rèn)識”

函數(shù)單調(diào)性作為高中階段學(xué)生接觸并研究的第一個函數(shù)性質(zhì)，是后續(xù)研究函數(shù)的極值與最值的基礎(chǔ)，通過增(減)函數(shù)定義的獲得以及函數(shù)單調(diào)性概念的得出，完善函數(shù)單調(diào)性的知識體系；同時，教材中利用數(shù)學(xué)抽象研究函數(shù)單調(diào)性的步驟與方法，為學(xué)生后續(xù)研究函數(shù)的奇偶性以及具體的基本初等函數(shù)的性質(zhì)提供了依據(jù)，從而在函數(shù)性質(zhì)的研究方法層面上逐步形成系統(tǒng).

4 建議

依托數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)，從數(shù)學(xué)內(nèi)容本質(zhì)、數(shù)學(xué)探究活動、數(shù)學(xué)思想方法、數(shù)學(xué)抽象之美四個方面入手提出了四點(diǎn)建議，它們在培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)過程中的地位及相互之間的關(guān)系如圖4所示.

圖4 教材中數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)的培養(yǎng)途徑

4.1 抓住教材中的數(shù)學(xué)內(nèi)容本質(zhì)——培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)的基礎(chǔ)

以教材中的數(shù)學(xué)內(nèi)容本質(zhì)為基礎(chǔ)，來培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng).數(shù)學(xué)教材是開展數(shù)學(xué)教學(xué)的基本依據(jù)，也是教師進(jìn)行教學(xué)設(shè)計的有利工具.“知識作為數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的生成本源”[7]，只有對教材中數(shù)學(xué)內(nèi)容的本質(zhì)有清晰認(rèn)識，才會理解數(shù)學(xué)內(nèi)容所體現(xiàn)的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)，進(jìn)而有效地引導(dǎo)學(xué)生提升數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng).其一，教材編排應(yīng)依據(jù)知識間的內(nèi)在邏輯，將數(shù)學(xué)知識由具體到抽象地逐級呈現(xiàn)，這樣脈絡(luò)清晰，使學(xué)生能感受數(shù)學(xué)抽象的過程，抓住內(nèi)容核心.其二，教師應(yīng)增強(qiáng)對教材內(nèi)容的文本解讀能力，高屋建瓴地理解數(shù)學(xué)知識，理清教材思路，領(lǐng)悟編者意圖，這樣才會對數(shù)學(xué)內(nèi)容有一個更準(zhǔn)確的理解，如函數(shù)單調(diào)性的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng).這其中教師應(yīng)重點(diǎn)理解教材中知識的前后關(guān)系及整體結(jié)構(gòu)、教材編排的特點(diǎn)，數(shù)學(xué)知識的背景、內(nèi)涵、應(yīng)用及拓展，從而對教材有一個更深刻的把握.與此同時，教師可依據(jù)史寧中教授提出的數(shù)學(xué)抽象的“三個階段”來鉆研教材，有利于教師把握數(shù)學(xué)內(nèi)容的逐級抽象，順藤摸瓜理解數(shù)學(xué)內(nèi)容本質(zhì)，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng).

4.2 設(shè)置教材中的數(shù)學(xué)探究活動——培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)的載體

以教材中的數(shù)學(xué)探究活動為載體，來培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng).學(xué)生的抽象經(jīng)驗(yàn)需要在探究活動中積累，抽象能力需要到探究活動中發(fā)展，數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)需要在數(shù)學(xué)抽象經(jīng)驗(yàn)的積淀和升華中培養(yǎng)[8].其一，教材應(yīng)該設(shè)置相應(yīng)的數(shù)學(xué)探究活動，構(gòu)建學(xué)習(xí)情境，讓學(xué)生積累數(shù)學(xué)抽象的基本活動經(jīng)驗(yàn)，通過知識和方法的內(nèi)化，不斷提高自身的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)能力.其中，教材中數(shù)學(xué)探究活動的設(shè)置需要基于數(shù)學(xué)抽象的階段性特點(diǎn)、數(shù)學(xué)知識的抽象度和學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象思維水平，依托數(shù)學(xué)抽象的“基本套路”，將數(shù)學(xué)探究活動與數(shù)學(xué)抽象過程的程序方式相對應(yīng)，由淺入深設(shè)置數(shù)學(xué)探究活動.這樣才會使得每一步活動具有新的探究意義，逐步達(dá)到從具體到抽象的過程.其二，教師在課堂上借助教材引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)探究活動的過程中，要依據(jù)學(xué)生學(xué)習(xí)的心理基礎(chǔ)和思維特點(diǎn)進(jìn)行逐級引導(dǎo)，重現(xiàn)抽象的整個過程，讓學(xué)生體驗(yàn)并熟悉數(shù)學(xué)抽象的“基本套路”，不斷提升數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng).

4.3 領(lǐng)悟教材中的數(shù)學(xué)方法與思想——培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)的核心

以教材中的數(shù)學(xué)方法與思想為核心，來培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng).學(xué)生能夠領(lǐng)悟蘊(yùn)涵在知識中的數(shù)學(xué)方法，形成理解和分析問題的學(xué)科思維能力是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)生成的最高表現(xiàn)[9].其一，教材編寫要體現(xiàn)數(shù)學(xué)方法與思想，將數(shù)學(xué)方法與思想“顯性化”，依托數(shù)學(xué)思想方法來加深對數(shù)學(xué)抽象的理解.在某種意義上，數(shù)學(xué)的方法是數(shù)學(xué)知識更高層次的抽象[10].同時，教材例題的選擇要恰當(dāng)，有利于幫助學(xué)生應(yīng)用教材內(nèi)容進(jìn)行數(shù)學(xué)解題，在模型化解決問題的過程中加深對數(shù)學(xué)抽象的理解.其二，教師在教學(xué)過程中，可以采用觀念轉(zhuǎn)變教學(xué)、拋錨式教學(xué)、支架式教學(xué)等建構(gòu)主義學(xué)習(xí)理論下的教學(xué)模式，讓學(xué)生親身經(jīng)歷、實(shí)踐操作、自主構(gòu)建，形成靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)方法與思想解決問題的能力；在引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)抽象的過程中，重視學(xué)生對教材所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)方法與思想的理解掌握，促進(jìn)學(xué)生思維的發(fā)展.

4.4 展現(xiàn)教材中的數(shù)學(xué)抽象之美——培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)的靈魂

以教材中的數(shù)學(xué)抽象之美為靈魂，來培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng).數(shù)學(xué)抽象研究發(fā)展的突破口為關(guān)注人的發(fā)展，通過對數(shù)學(xué)抽象之美的展現(xiàn)，改變學(xué)生對數(shù)學(xué)抽象枯燥乏味的刻板印象，突出數(shù)學(xué)教材的“心理性”，引起學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣[11].為此，首先從數(shù)學(xué)抽象的結(jié)構(gòu)體系入手，展現(xiàn)數(shù)學(xué)抽象的“來龍去脈”.通過創(chuàng)設(shè)問題情境，讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)有一大類數(shù)學(xué)問題解決不了，這就是抽象的“來龍”；在學(xué)習(xí)了系統(tǒng)的概念定理后，學(xué)生通過自己的努力可以解決一大類數(shù)學(xué)問題，會用抽象的概念描述生活中的一些現(xiàn)象，這就是數(shù)學(xué)抽象的“去脈”.在學(xué)習(xí)符號化系統(tǒng)性很強(qiáng)的數(shù)學(xué)概念、定理時，倘若教師直接把系統(tǒng)的知識“丟”給學(xué)生，就會增大學(xué)生的認(rèn)知負(fù)荷，降低學(xué)習(xí)的積極性.從現(xiàn)實(shí)出發(fā)，逐級引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行學(xué)習(xí)，讓學(xué)生在這個過程中感受概念中的每一個符號都是親切可愛并且有緣由的，從而展現(xiàn)數(shù)學(xué)抽象的理性之美，如通過梳理數(shù)學(xué)知識的歷史進(jìn)程，用數(shù)學(xué)抽象的內(nèi)在魅力讓學(xué)生喜歡數(shù)學(xué)抽象，感受學(xué)科文化的全面熏陶；還可以通過抽象素養(yǎng)的小故事，如哥尼斯堡七橋問題、笛卡爾與直角坐標(biāo)系的建立、數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入等.不管教材還是日常教學(xué)，充分利用故事的隱喻性讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)抽象推進(jìn)著數(shù)學(xué)的不斷發(fā)展，進(jìn)一步擺脫學(xué)生初次學(xué)習(xí)高度符號化數(shù)學(xué)概念的生疏印象，體驗(yàn)數(shù)學(xué)概念在歷史長河中逐級抽象，不斷完善的過程.教材內(nèi)容呈現(xiàn)數(shù)學(xué)抽象的“來龍去脈”，注重知識形成的系統(tǒng)性，在單元“小結(jié)”部分進(jìn)行升華，由此來幫助學(xué)生理解數(shù)學(xué)抽象所獲得的知識，對數(shù)學(xué)知識結(jié)構(gòu)有一個更深的把握.