江蘇省南京市板橋中學(xué) 陳方圓

一、引言

數(shù)學(xué)問題歸根結(jié)底是概念問題，“概念是數(shù)學(xué)思維的核心和邏輯起點”，從概念出發(fā)，用基本的數(shù)學(xué)知識解決基本的數(shù)學(xué)問題，是數(shù)學(xué)教學(xué)本質(zhì)。概念教學(xué)是數(shù)學(xué)教學(xué)的核心之一，然而受應(yīng)試教育的影響，在實際的概念教學(xué)中，弱化概念，強化習(xí)題講解時有發(fā)生，這極大地影響了學(xué)生對概念本質(zhì)的理解和思想滲透，以致有些學(xué)生覺得“只要會做題，概念是否理解不重要”這樣錯誤的認(rèn)知。

2018 年12 月25 日有幸開設(shè)了一節(jié)市級公開課，這節(jié)課使我從“知”“行”“果”三個層面明白：理解概念，重視概念的地位和作用；建構(gòu)概念，精心設(shè)計精致的教學(xué)環(huán)節(jié)，促進(jìn)學(xué)生良好思維習(xí)慣的養(yǎng)成；延伸概念，實現(xiàn)概念教學(xué)的育人價值。下面筆者將結(jié)合《平面向量坐標(biāo)運算》這一節(jié)課的教學(xué)片段，闡述與分析教學(xué)環(huán)節(jié)的設(shè)計意圖及教后反思。

二、案例

1.復(fù)習(xí)引入

設(shè)問：請大家回憶一下，我們學(xué)習(xí)了向量的哪些內(nèi)容？

生答：向量的定義→向量的表示→向量的運算→向量的關(guān)系→平面向量基本定理。

【設(shè)計意圖】讓學(xué)生明確之前是從“形”的層面，借助于有向線段，按照“定義→運算→關(guān)系”這樣的順序?qū)ζ矫嫦蛄窟M(jìn)行研究的，很自然地，學(xué)生就會去想能不能從“數(shù)”的層面來研究向量呢？本節(jié)課所學(xué)內(nèi)容就順理成章地展開了。

2.學(xué)生活動

（1）畫一畫

設(shè)問：畫的過程中，有什么感受？

生1：正交基底畫起來更方便。

設(shè)問：如果一個向量要用一組基底表示，你們會選擇什么樣的基底？

生2：正交基底。

設(shè)問：基底的模長為多少較好？

生3：模長為1。

【設(shè)計意圖】通過對比，讓學(xué)生直觀地感受正交基底的優(yōu)勢，讓學(xué)生通過感知習(xí)得知識。

（2）做一做

設(shè)問：它們有什么相同點和不同點？

生（大部分）：可以。

【設(shè)計意圖】選擇從特殊入手，讓學(xué)生觀察異同，發(fā)現(xiàn)特點，總結(jié)結(jié)論，進(jìn)而歸納出一般結(jié)論。選擇“特殊→一般”的思維模式，符合學(xué)生的認(rèn)知特點。

3.概念建構(gòu)

（1）平面向量的坐標(biāo)表示

設(shè)問：平面內(nèi)的點也是用坐標(biāo)表示的，那么點的坐標(biāo)和向量的坐標(biāo)有關(guān)系嗎？觀察圖（1）。

圖（1）

圖（2）

圖（3）

設(shè)問：圖（1）生7 答得正確，那圖（2）呢？怎樣說才準(zhǔn)確？

設(shè)問：那向量的起點不在原點時怎么辦？

生8：將向量的起點平移到原點。

例1：如圖（3），已知O 是坐標(biāo)原點，點A 在第一象限，，求的坐標(biāo)。

【設(shè)計意圖】通過圖形的直觀認(rèn)識，讓學(xué)生自己發(fā)現(xiàn)向量的坐標(biāo)和點的坐標(biāo)之間的關(guān)系，這一關(guān)系與向量坐標(biāo)的定義是等價的，緊接著安排一個例題，訓(xùn)練學(xué)生“一般→特殊”的解題思維。

（2）平面向量的坐標(biāo)運算

設(shè)問：研究完向量的坐標(biāo)表示，下面我們要研究什么了？

生答（齊聲）：運算（加、減、數(shù)乘）。

追問：拿到問題時，通常我們怎么做？

生9：先分析一下條件。

追問：條件是什么？

追問：向量的坐標(biāo)是怎么定義的呢？（學(xué)生恍然大悟）

【設(shè)計意圖】對于運算規(guī)則的教學(xué)，往往會走入注重運用而忽略由來的誤區(qū)，通過談話方式設(shè)置追問，引導(dǎo)學(xué)生思考，從而找到解決問題的本原,進(jìn)而讓學(xué)生養(yǎng)成遇到問題回歸概念的習(xí)慣。

后面關(guān)于已知兩點的向量的坐標(biāo)表示和平面向量關(guān)系中兩向量相等的坐標(biāo)表示的教學(xué)設(shè)計和設(shè)計意圖與坐標(biāo)運算一致，就不再一一贅述。

4.課堂小結(jié)

設(shè)問：接下來我們將學(xué)什么？本節(jié)課你的收獲是什么？

生10：平面向量平行和垂直的坐標(biāo)表示。

生11：向量的坐標(biāo)表示、坐標(biāo)運算、向量相等的坐標(biāo)表示。

設(shè)問：知識層面的沒有了，一節(jié)數(shù)學(xué)課中除了知識，還有什么值得我們收獲？（引導(dǎo)學(xué)生說出思想方法）

生（部分）：特殊到一般、一般到特殊、數(shù)形結(jié)合。（這些是本節(jié)課用得最多的思想，還是不肯放棄，想讓學(xué)生說出來）

設(shè)問：還有遇到問題無從下手時，怎么辦?

生12：回歸概念，從概念入手。

【設(shè)計意圖】類比前面從形的層面研究向量，研究流程：定義→運算→關(guān)系，明確本節(jié)課就是從數(shù)的層面對前面的知識進(jìn)行改造。小結(jié)不僅有知識層面的回顧，更有思想、方法的歸納，為學(xué)生的思維發(fā)展積淀和學(xué)生的可持續(xù)學(xué)習(xí)提供保障。

三、反思

1.潤“知”——理解概念“透”

數(shù)學(xué)概念是數(shù)學(xué)應(yīng)用的“根”和“本”，根深才能長成參天大樹，本固才能立于不敗之地。數(shù)學(xué)概念是學(xué)習(xí)其他數(shù)學(xué)知識的基礎(chǔ)，新的概念形成后，在概念的引領(lǐng)下可以推出運算、性質(zhì)、關(guān)系等許多相關(guān)的數(shù)學(xué)知識，使得知識體系更完整、更全面，學(xué)生習(xí)得知識也順理成章。概念是事物根本屬性的反映，是學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)，抓住了概念就是抓住了本質(zhì)，只有重視概念教學(xué)，才能把握數(shù)學(xué)教學(xué)的靈魂。

2.潤“行”——建構(gòu)概念“精”

（1）“主線”精致

新課程理念中強調(diào)，突出數(shù)學(xué)主線，凸顯數(shù)學(xué)的內(nèi)在邏輯。一節(jié)課要突出主線，有了主線，就有了“主心骨”，整體脈絡(luò)也清晰，沒有主線，知識就如一盤散沙。從教學(xué)環(huán)節(jié)層面有主線，從知識層面概念課也要有“主線”。以本節(jié)課為例，平面向量坐標(biāo)表示從定義，到向量的運算（加、減法、數(shù)乘），再到向量的關(guān)系（相等、平行、垂直），向量章節(jié)向量的幾何表示也是如此。概念課教學(xué)有了主線貫穿，課就更加精致了。

（2）“活動”精彩

概念的學(xué)習(xí)不是灌輸數(shù)學(xué)概念的內(nèi)容，而是帶領(lǐng)學(xué)生去建構(gòu)數(shù)學(xué)概念，在此過程中必須創(chuàng)設(shè)合理的、精致的活動。學(xué)生通過觀察、計算、作圖、證明等基本活動，更直觀地感受，更真實地體驗，從而突破重點難點，掃除思維的障礙，從感性認(rèn)識向理性認(rèn)識飛躍，從而更深刻地理解概念。以本節(jié)課為例，本節(jié)課中為什么選擇正交基底呢？通過畫一畫，讓學(xué)生對比感知，學(xué)生很自然地選擇方便的正交基底。再比如，向量是在物理的背景下抽象而來，“形”的直觀感受強烈，突然用數(shù)也能表示具有方向的向量，這在學(xué)生的思維上是有跨度和難度的，因此從學(xué)生的認(rèn)知特點出發(fā)，選取了幾個用 表示的特殊的向量，讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)向量和實數(shù)對是一一對應(yīng)，向量可以用有序?qū)崝?shù)對來表示，然后再上升到一般情況。從特殊到一般的推理方式可以很好地突破學(xué)生的思維障礙，幫助學(xué)生理解。概念課教學(xué)有了“活動”的引領(lǐng)，課堂形式多樣化,課堂自然精彩。

（3）“問題”精準(zhǔn)

問題是學(xué)生思維的源泉，更是思維的動力。教學(xué)中，教師要將概念的理解轉(zhuǎn)化為精準(zhǔn)的驅(qū)動性問題，學(xué)生在解決問題的過程中深度思考，提升能力。以本節(jié)課為例，已知，求學(xué)生有點懵，這時老師設(shè)置了一系列的追問，引導(dǎo)學(xué)生回歸概念本身，從而很快解決問題。概念課教學(xué)不僅僅讓學(xué)生獲得知識本身，更重要的是通過問題驅(qū)動，引導(dǎo)學(xué)生養(yǎng)成從基本概念出發(fā)思考問題，解決問題的習(xí)慣，提高解決問題的能力。

3.潤“果”——延伸概念“自然”

學(xué)科核心素養(yǎng)是育人價值的集中體現(xiàn)，是學(xué)生通過學(xué)科學(xué)習(xí)而逐步形成的正確價值觀念、必備品格和關(guān)鍵能力。真正的概念學(xué)習(xí)過程也是學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)不斷形成、發(fā)展的過程。在教學(xué)中要結(jié)合教學(xué)內(nèi)容的特點自然而然地滲透核心素養(yǎng)，讓學(xué)生在潛移默化中習(xí)得。本節(jié)課中，數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運算貫穿其中，可見概念課教學(xué)是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的沃土，教師要讓核心素養(yǎng)在概念課教學(xué)的沃土上自然地生根、開花、結(jié)果。

學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，除了獲取必要的數(shù)學(xué)知識和掌握必要的數(shù)學(xué)技能之外，更重要的是獲得基本數(shù)學(xué)素養(yǎng)。概念課蘊含豐富，數(shù)學(xué)教師要與時俱進(jìn)，更新觀念，用自己精準(zhǔn)的理解設(shè)計精致的教學(xué)，讓學(xué)生在精彩的課堂中收獲精美的“數(shù)學(xué)”。