南京市教學研究室 龍艷文

函數(shù)導函數(shù)零點和導數(shù)正負的判斷是判斷函數(shù)單調(diào)性的關鍵.利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和極（最）值問題，通常先對函數(shù)求導，再令導函數(shù)為零，從而求零點.但若導函數(shù)含有參數(shù)或所得方程為超越方程時，零點分類比較復雜，符號難以判定，甚至零點無法求出，從而解題陷入困境.我們通過對一組問題的歸類研究，從零點判斷的各種情形中找出共同規(guī)律，提煉出有章可循的函數(shù)導函數(shù)零點和導數(shù)正負判斷的途徑和方法，從而構(gòu)建導函數(shù)零點和導數(shù)正負的判斷的解題思維模式結(jié)構(gòu)圖.

一、解題思維模式形成

求導并通分，舍去恒正部分，令G（x）=（1-a）x2-x+a

① 當a=1時，G（x）=-x+1，當x∈（1，2）時，G（x）0，即f′（x）0，則f（x）在（1，2）上單調(diào)遞減，所以[f（x）]min=f（2）=ln2-2.

判斷二次項系數(shù)為0的情形

②當a≠1時，由G（x）=（x-1）[（1-a）x-a]=0，

優(yōu)先因式分解（如十字相乘），解出G（x）的零點

當x∈（1，2）時，G（x）＞0，即f′（x）＞0，則f（x）在（1，2）上單調(diào)遞增，

對零點取舍、比較大小，再討論在開區(qū)間（1，2）的左側(cè)，結(jié)合G（x）的圖象判斷G（x）的正負

所以[f（x）]min=faln

對零點取舍、比較大小，再討論在開區(qū)間（1，2）的中間，結(jié)合G（x）的圖象判斷G（x）的正負

對零點取舍、比較大小，再討論在開區(qū)間（1，2）的右側(cè)，結(jié)合G（x）的圖象判斷G（x）的正負

綜上，略.

思維模式結(jié)構(gòu)圖

對零點取舍、比較大小，然后與區(qū)間的位置關系分類討論（對左、中、右情況進行取舍），判斷G（x）正負

例2 已知函數(shù)f（x）=x2-ax，g（x）=lnx.若對任意x＞0，f（x）≥g（x）恒成立，求實數(shù)a的取值范圍.

求導并通分，舍去恒正部分，令G（x）=x2+lnx-1

令G（x）=x2+lnx-1，

則G（1）=0.

猜出G（x）的零點

上單調(diào)遞增.

當x∈（1，+∞）時，G（x）＞0，即F′（x）＞0，所以F（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞增.

所以F（x）的最小值為F（1）=1，

根據(jù)G（x）的單調(diào)性判斷G（x）的正負

所以a的取值范圍為（-∞，1].

思維模式結(jié)構(gòu)圖

令G（x）=2x2+3x-lnx-1，x∈（0，1]，

求導并通分，舍去恒正部分，令G（x）=2x2+3x-lnx-1

判斷G（x）的單調(diào)性及特殊點（如端點、極值點等）正負

單調(diào)遞增；

所以G（x）min=G

所以G（x）＞0在x∈（0，1]上恒成立，

所以F（x）在（0，1]上單調(diào)遞增.

判斷G（x）無零點，判斷G（x）恒正綜上，F(xiàn)（x）的最大值為1.

思維模式結(jié)構(gòu)圖

例4 （1）已知函數(shù)f（x）=lnx，g（x）=ex，試比較g（x）與f（x）+2的大小，并給出證明.

證明：令F（x）=g（x）-f（x）-2=ex-lnx-2，則

求導并通分，舍去恒正部分，令G（x）=xex-1則G′（x）=ex（x+1）＞0，

所以G（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，

判斷G（x）的單調(diào)性及特殊點正負

所以G（x）在（0，+∞）上存在唯一零點x0，且G（x0）=x0ex0-1=0，x0

利用零點存在定理證明零點存在，且判斷零點范圍

當x∈（0，x0）時，G（x）0，即F′（x）0，所以F（x）在（0，x0）上單調(diào)遞減；

當x∈（x0，+∞）時，G（x）＞0，即F′（x）＞0，所以F（x）在（x0，+∞）上單調(diào)遞增；

所以F（x）min=F（x0）=ex0-lnx0-2.

由G（x0）=x0ex0-1=0，得lnx0=-x0，

所以F（x0）=ex0-lnx0-2=

所以F（x）≥F（x0）＞0.

綜上，g（x）＞f（x）+2.

設零點為x0，利用G（x0）=0與極值F（x0）消元分析

恒成立，求k的最大值.（參考數(shù)據(jù)ln8≈2.08，ln9≈2.20，ln10≈2.30）

求導并通分，舍去恒正部分，令G（x）=x-2lnx-4

設G（x）=x-2lnx-4，

當x∈（2，+∞）時，G′（x）＞0，所以G（x）在（2，+∞）上為增函數(shù).

判斷G（x）的單調(diào)性及特殊點（如端點、極值點等）正負

所以G（x）在（2，+∞）上存在唯一零點x0，

且G（x0）=0，即x0-2lnx0-4=0，x0∈（8，9）.

利用零點存在定理證明零點存在，且判斷零點范圍

當x∈（2，x0）時，G（x）0，即F′（x）0，所以F（x）在（2，x0）上單調(diào)遞減，

當x∈（x0，+∞）時，G（x）＞0，即F′（x）＞0，所以F（x）在（x0，+∞）上單調(diào)遞增.

所以F（x）的最小值F（x0）=

因為x0-2lnx0-4=0，所以F（x0）=∈（4，4.5）.故所求的整數(shù)k的最大值為4.

設零點為x0，利用G （x0）=0與極值F（x0）消元分析

思維模式結(jié)構(gòu)圖

利用零點存在定理證明零點存在，且判斷零點范圍，再利用G（x0）=0與極值F（x0）消元分析

二、解題思維模式構(gòu)建

三、解題思維模式應用

例5 已知函數(shù)f（x）=x2-x-xlnx，證明：f（x）存在唯一的極大值點x0，且e-2f（x0）2-2.

證明：由f（x）=x2-x-xlnx，則f′（x）=2x-2-lnx.設G（x）=2x-2-lnx，

求導，令G（x）=2x-2-lnx

又G（e-2）＞0，G0，G（1）=0，

判斷G（x）的單調(diào)性及特殊點（如端點，極值點等）正負

利用零點存在定理證明零點存在，且判斷零點范圍

當x∈（0，x0）時，G（x）＞0，即f′（x）＞0，所以f（x）在（0，x0）上單調(diào)遞增；

當x∈（x0，1）時，G（x）0，即f′（x）0，所以f（x）在（x0，1）上單調(diào)遞減；

當x∈（1，+∞）時，G（x）＞0，即f′（x）＞0，所以f（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞增；

所以x=x0是f（x）的唯一極大值點.

由f′（x0）=0，得lnx0=2（x0-1），故f（x0）=-x0-x0lnx0=x0（1-x0）.

由x0∈（0，），得f（x0）.

因為x=x0是f（x）在（0，1）的最大值點，由e-1∈（0，1），得f（x0）＞f（e-1）=e-2.

所以e-2f（x0）2-2.

利用G（x0）=0與極值F（x0）消元分析

四、解題思維模式練習

1.求證：ex＞lnx+2.

4.已知函數(shù)f（x）=lnx，設g（x）=ex-f（x），記g（x）的最小值為d，求證：2de.

（1）求L的方程；

（2）證明：除切點（1，0）之外，曲線C在直線L的下方.

1.略. 2.kmax=3. 3.略. 4.略. 5.（1）L的方程為y=x-1. （2）略. 6.ab=1.7.略.