南京市金陵中學(xué) 于 健

求含參數(shù)的一元二次不等式的解集是我們學(xué)習(xí)這部分內(nèi)容的難點(diǎn)，首先要搞清楚不含參數(shù)時(shí)如何解不等式，雖說(shuō)有幾種不同的解法，但其核心可以歸納為“一求、二畫、三寫”三步曲.即先求相應(yīng)的一元二次方程的根，然后畫出相應(yīng)的一元二次函數(shù)的草圖，最后寫出不等式的解集.它將三個(gè)“二次”（二次不等式、二次方程、二次函數(shù)）之間的關(guān)系有機(jī)地結(jié)合起來(lái)，數(shù)形結(jié)合躍然紙上.

而解含參數(shù)的一元二次不等式，仍可圍繞“一求、二畫、三寫”這三步曲，但是由于不等式中含有參數(shù)，就要考慮：對(duì)應(yīng)的方程是否有根？在畫相應(yīng)的函數(shù)的草圖時(shí)，圖象是拋物線嗎？開(kāi)口如何？方程如有兩根，誰(shuí)大誰(shuí)小？以解ax2+bx+c＞0為例，因?yàn)閍，b，c中會(huì)含有參數(shù)，所以以上情況，就需要分類討論了.

一、不等式的“身份”明確，對(duì)應(yīng)方程的根的情況明顯

當(dāng)參數(shù)不包含在二次項(xiàng)系數(shù)處時(shí)，我們可以把它稱之為“身份”明確的不等式.對(duì)于這種含參的一元二次不等式，當(dāng)其對(duì)應(yīng)方程的根的情況也很明顯時(shí)，我們就只需要對(duì)方程的根的大小關(guān)系做出分類討論即可，從而再依據(jù)之前總結(jié)的一般一元二次不等式的解法，在不同的分類討論標(biāo)準(zhǔn)下寫出對(duì)應(yīng)的解集.

例1 解關(guān)于x的不等式x2-）+10（a≠0）.

二、不等式的“身份”明確，對(duì)應(yīng)方程的根的情況不明顯

當(dāng)我們討論的是“身份”明確的含參的一元二次不等式，但其對(duì)應(yīng)方程的根的情況卻不明朗時(shí)，我們分類討論的標(biāo)準(zhǔn)應(yīng)是對(duì)應(yīng)的一元二次方程的根的判別式的符號(hào)，從而再依據(jù)之前總結(jié)的一般一元二次不等式的解法，在不同的分類討論標(biāo)準(zhǔn)下寫出對(duì)應(yīng)的解集.

例2 解關(guān)于x的不等式：x2+ax+4＞0.

分析 本題中由于x2的系數(shù)大于0，但是方程x2+ax+4=0的根的情況不明顯.故需考慮方程的根的判別式Δ的情況.

解 因?yàn)棣?a2-16，所以當(dāng)a∈（-4，4），即Δ0時(shí)，解集為R；

三、不等式的“身份”不明確

當(dāng)不等式中的二次項(xiàng)系數(shù)包含參數(shù)時(shí)，我們可以把它稱之為“身份”不明確的不等式.對(duì)于這種含參的不等式，首先是對(duì)二次項(xiàng)系數(shù)為正、負(fù)或0展開(kāi)討論.若二次項(xiàng)系數(shù)為0時(shí)就是一元一次不等式，可以首先寫出其解集；但當(dāng)其二次項(xiàng)系數(shù)不為0時(shí)，相應(yīng)的一元二次方程的根的大小，有時(shí)容易比較大小，更多時(shí)候方程的根的大小與參數(shù)有關(guān)，這時(shí)就需要再分級(jí)討論了.

例3 解關(guān)于x的不等式：

（1）ax2+（a+2）x+1＞0；

（2）[（m+3）x-1]（x+1）＞0（m∈R）.

分析（1）中二次項(xiàng)系數(shù)含有參數(shù)a，Δ=（a+2）2-4a=a2+4＞0，故只需對(duì)二次項(xiàng)系數(shù)進(jìn)行分類討論；（2）中因?yàn)椴坏仁降亩雾?xiàng)系數(shù)為m+3，當(dāng)m+3=0時(shí)，原不等式可化為x+10，原不等式的解集為：｛x|x-1｝；當(dāng)m+3≠0時(shí)，不等式為二次不等式，需將不等式化為（x-x1）（x-x2）＞0（或0）的形式，兩邊同除以m+3，因其符號(hào)不確定，要保證不等式的同解變形，所以還應(yīng)考慮m+3的正負(fù)號(hào)，同時(shí)還要考慮比較方程兩個(gè)根的大小.

若a≠0，因?yàn)棣?（a+2）2-4a=a2+4＞0，解得方程ax2+（a+2）x+1=0兩根x1=（2）① 當(dāng)m+3=0時(shí)，原不等式可化為x+10，原不等式的解集為：｛x|x-1｝；解集為或x

當(dāng)m=-4時(shí)，原不等式解集為?；

通過(guò)以上總結(jié)分析，探求含參數(shù)的一元二次不等式的解集的過(guò)程中，最重要的是分類討論這一基本數(shù)學(xué)思想的正確應(yīng)用.解題時(shí)同學(xué)們一定要克服畏懼心理，冷靜分析，厘清分類標(biāo)準(zhǔn)，恰當(dāng)分類，相信自己一定能解答好.