江蘇省揚(yáng)州中學(xué) 姜衛(wèi)東

不等式是刻畫現(xiàn)實(shí)世界中不等關(guān)系的數(shù)學(xué)工具，它是描述優(yōu)化問題的一個(gè)主要模型.依我們學(xué)過的知識(shí)來看，其實(shí)它在整個(gè)高中數(shù)學(xué)中也是一個(gè)重要的工具，在各類測(cè)試中都會(huì)有所涉及，一般以客觀題的形式考查單純的不等式知識(shí)，有時(shí)也以解答題的形式深度考查不等式與其他知識(shí)的融合.下面我們通過例題來看一看有關(guān)不等式的美麗的“知識(shí)鏈”.

一、一元二次顯身手，解不等式不用愁

解析 因?yàn)閤2-2x0，所以x（x-2）0，所以0x2，所以A=，所以A∩B=[1，2）.

變式1 不等式x2-2的解集

感悟 解不等式問題，關(guān)鍵在于利用同解變形，將原不等式向一元二次不等式轉(zhuǎn)化.當(dāng)然，在變式1中，也可對(duì)x進(jìn)行分類討論，去掉絕對(duì)值符號(hào)再求解，細(xì)細(xì)品味，又是另一番美麗.

變式3 關(guān)于x的不等式x2-2ax-8a20（a＞0）的解集為（x1，x2），且x2-x1=15，則a

解析 由題意得x1+x2=2a，x1·x2=-8a2，x2-x1=15，解得a=或-（舍去）.

感悟 已知解集求參數(shù)問題，應(yīng)根據(jù)一元二次不等式與一元二次方程的關(guān)系列出關(guān)于參數(shù)的方程（組）.

變式4 解關(guān)于x的不等式ax2+（a-1）x-1＞0.

解析 原不等式可化為（ax-1）（x+1）＞0.

（1）當(dāng)a=0時(shí)，原不等式為-x-1＞0，解集為（-∞，-1）.

（2）當(dāng)a≠0時(shí)，方程（ax-1）（x+1）=0的兩根為-1.考慮到二次項(xiàng)系數(shù)a的正負(fù)性及兩個(gè)根的大小關(guān)系，還需繼續(xù)分類討論.①當(dāng)a＞0時(shí)，有-1，原不等式的解集為（-∞，-1）∪；②當(dāng)-1a0時(shí)，有-1，原不等式的解集為）；③當(dāng)a-1時(shí)，有＞-1，原不等式的解集為）；④當(dāng)a=-1時(shí)，有-1，原不等式的解集為?.

感悟 解含參數(shù)的一元二次不等式，需要分類討論，討論時(shí)要考慮二次項(xiàng)系數(shù)、Δ的正負(fù)性及兩根的大小，分類時(shí)應(yīng)遵循“不重”、“不漏”、“最簡”的原則.

二、拆拼湊消齊上陣，最值問題全擊破

例2 設(shè)a＞0，b＞0，ab=1，求a+2b的最小值.

變式1 設(shè)x＞0，y＞0，且x+4y=1，求xy的最大值.

變式2 若x＞0，y＞0，x+2y+2xy=8，求x+2y的最小值.

解析二 設(shè)x+2y=t，利用基本不等式建立關(guān)于t的不等式，由x+2y+x（2）y）=8得：8-（x+2y）=x（2y）≤ ，即：，解得t≥4，可驗(yàn)證“=”成立，所以（x+2y）min=4.

感悟 解法一是通過消元將原式轉(zhuǎn)化為一元函數(shù)，再通過變形使某部分對(duì)應(yīng)的積為定值，進(jìn)而用基本不等式求最小值，體現(xiàn)了消元思想；解法二是通過基本不等式來構(gòu)造關(guān)于t的不等式，求出t的范圍，進(jìn)而得到原式的最小值.

感悟 求最值問題，要注意借助“拆、拼、湊、消”等技巧，使其滿足基本不等式中“一正”、“二定”、“三相等”的條件.