黃文文，宋 璐，史敬灼

(河南科技大學(xué)，洛陽 471023)

0 引 言

隨著電機(jī)伺服控制技術(shù)研究的不斷深入，電機(jī)辨識(shí)建模方法日益受到重視。電機(jī)辨識(shí)建模的過程是基于實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，針對(duì)結(jié)構(gòu)形式已知、參數(shù)未知的待辨識(shí)模型，采用優(yōu)化算法確定模型參數(shù)與階次[1]。其中，優(yōu)化算法是辨識(shí)建模過程中的關(guān)鍵環(huán)節(jié)。優(yōu)化算法是否能夠找到最優(yōu)解，表現(xiàn)是否穩(wěn)健，即是否總是能夠收斂于最優(yōu)解，直接決定了所建模型的精度，甚至是建模的成敗。而優(yōu)化算法收斂于最優(yōu)解所需要花費(fèi)的時(shí)間長短，則決定了建模效率。

近年來，差分進(jìn)化算法被嘗試用于電機(jī)辨識(shí)建模。與其它領(lǐng)域的優(yōu)化問題相比，電機(jī)辨識(shí)建模這一特定的應(yīng)用領(lǐng)域，有其自身的特點(diǎn)，有必要對(duì)標(biāo)準(zhǔn)差分進(jìn)化算法進(jìn)行針對(duì)性的改進(jìn)，以保證建模精度，提高建模效率。

差分進(jìn)化算法自提出以來，已有許多文獻(xiàn)論及其改進(jìn)方法。總的來看，差分進(jìn)化算法的改進(jìn)主要聚焦在以下三個(gè)方面：一是采用自適應(yīng)的優(yōu)化算法參數(shù)，使參數(shù)隨進(jìn)化過程動(dòng)態(tài)變化[2]，例如，變異算子影響種群多樣性，通常進(jìn)化初期要求具有較強(qiáng)的種群多樣性，而進(jìn)化后期則期望有較快的收斂速度，因此可考慮在進(jìn)化過程中，使變異算子由大逐漸變?。欢歉淖兯惴ǖ慕Y(jié)構(gòu)，如改變變異策略[3]，或采用將多種變異策略進(jìn)行組合的多變異策略，也可在現(xiàn)有的變異、交叉和選擇三個(gè)操作中增加或刪除一些操作；三是差分進(jìn)化算法與其它優(yōu)化算法組合，根據(jù)具體問題需求和各種算法的特點(diǎn)，組合成為滿足特定應(yīng)用需要的改進(jìn)算法[4]。

本文以超聲波電動(dòng)機(jī)辨識(shí)建模為例，在標(biāo)準(zhǔn)差分進(jìn)化算法的基礎(chǔ)上，對(duì)變異操作及參數(shù)設(shè)定等進(jìn)行改進(jìn)，給出了適用于電機(jī)辨識(shí)建模的改進(jìn)差分進(jìn)化算法。該算法在得到最優(yōu)解的基礎(chǔ)上，能有效減少優(yōu)化辨識(shí)過程所需迭代次數(shù)和時(shí)間，優(yōu)化過程更為穩(wěn)健，建模效率更高。

1 基于差分進(jìn)化算法的超聲波電動(dòng)機(jī)Hammerstein辨識(shí)建模

以超聲波電動(dòng)機(jī)的驅(qū)動(dòng)頻率為輸入信號(hào)、轉(zhuǎn)速為輸出信號(hào)，建立超聲波電動(dòng)機(jī)Hammerstein非線性模型。Hammerstein模型由靜態(tài)非線性環(huán)節(jié)和動(dòng)態(tài)線性環(huán)節(jié)組成[5]。其非線性環(huán)節(jié)：

x=c1+c2ec3(u-c4)2

(1)

線性環(huán)節(jié)：

式中：a1,a2,…,ana；b0,b1,…,bnb為模型的待定系數(shù)，由辨識(shí)確定，na和nb為模型階次。

為進(jìn)行辨識(shí)建模，首先需要測取能夠反映超聲波電動(dòng)機(jī)運(yùn)行特性的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)。實(shí)驗(yàn)用超聲波電動(dòng)機(jī)為Shinsei USR60行波超聲波電動(dòng)機(jī)，驅(qū)動(dòng)主電路為H橋結(jié)構(gòu)，采用相移PWM控制方式。在電機(jī)的調(diào)速范圍10～120 r/min內(nèi)，間隔10 r/min設(shè)定轉(zhuǎn)速階躍給定值，測取不同控制參數(shù)情況下的轉(zhuǎn)速階躍響應(yīng)作為實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)。在所測階躍響應(yīng)數(shù)據(jù)中，取8組數(shù)據(jù)用作校驗(yàn)數(shù)據(jù)，以評(píng)測所建模型的泛化能力；其它36組數(shù)據(jù)作為建模數(shù)據(jù)，用于辨識(shí)建模。

采用標(biāo)準(zhǔn)差分進(jìn)化算法進(jìn)行超聲波電動(dòng)機(jī)辨識(shí)建模，取如下均方差函數(shù)作為優(yōu)化的目標(biāo)函數(shù)：

(3)

式中：m為所用實(shí)測數(shù)據(jù)的組數(shù)；h為每組數(shù)據(jù)的數(shù)據(jù)點(diǎn)數(shù)；y為模型計(jì)算值；ye為實(shí)測值。

經(jīng)辨識(shí)，得到模型階次為na=4，nb=1的超聲波電動(dòng)機(jī)Hammerstein非線性轉(zhuǎn)速控制模型，模型精度優(yōu)于作者所在課題組之前采用蟻群、粒子群、菌群覓食等優(yōu)化算法建模的情況，表明差分進(jìn)化算法是一種適用于超聲波電動(dòng)機(jī)辨識(shí)建模的較好的優(yōu)化算法。表1給出了采用該算法進(jìn)行優(yōu)化辨識(shí)的部分結(jié)果。

表1 采用標(biāo)準(zhǔn)差分進(jìn)化算法進(jìn)行模型辨識(shí)的部分優(yōu)化結(jié)果

但是，在建模過程中，采用相同優(yōu)化算法參數(shù)、模型階次參數(shù)進(jìn)行的多次優(yōu)化辨識(shí)計(jì)算，所得最優(yōu)目標(biāo)函數(shù)值往往會(huì)有差異，如表1第2組三次辨識(shí)的情況。顯然，所得最優(yōu)目標(biāo)函數(shù)值相對(duì)較大的優(yōu)化辨識(shí)過程，并未收斂于最優(yōu)解，優(yōu)化算法表現(xiàn)不夠穩(wěn)健。另一方面，使優(yōu)化辨識(shí)收斂所需的迭代計(jì)算次數(shù)較多，優(yōu)化過程所需時(shí)間較長，進(jìn)一步限制了建模效率。

為使優(yōu)化算法更穩(wěn)健，保證建模精度，并減少優(yōu)化辨識(shí)過程所需迭代次數(shù)和時(shí)間，提高建模效率，有必要考慮針對(duì)電機(jī)建模這一特定應(yīng)用領(lǐng)域，改進(jìn)差分進(jìn)化算法。

2 適用于超聲波電動(dòng)機(jī)建模的改進(jìn)差分進(jìn)化算法

差分進(jìn)化算法利用種群中個(gè)體間的差異，引導(dǎo)種群個(gè)體的進(jìn)化方向，使種群個(gè)體進(jìn)化成為性能更為優(yōu)良的個(gè)體，而正是變異操作決定了如何引導(dǎo)種群個(gè)體的進(jìn)化方向。合適的變異策略將提供在可行解空間中適用于特定問題的搜索方法，從而可加快搜索到全局最優(yōu)解的搜索速度。文獻(xiàn)[3]對(duì)差分進(jìn)化算法進(jìn)行改進(jìn)，給出下式的變異策略：

式中：F，F(xiàn)2為變異算子，文獻(xiàn)[3]設(shè)其為常數(shù)，并令F=F2；r1,r2∈{1,2,3,…,Np}為隨機(jī)選取的互不相同的數(shù)，且均與i不同；Np為初始種群個(gè)體數(shù)量；Xi(t)為第t代種群中的目標(biāo)個(gè)體矢量；Vi(t+1)為目標(biāo)矢量所對(duì)應(yīng)的變異個(gè)體矢量；Xbest(t)為第t代種群中的最優(yōu)個(gè)體矢量。

式(4)中，F(xiàn)所乘差分矢量為當(dāng)前最優(yōu)個(gè)體矢量與目標(biāo)個(gè)體矢量之間的差向量，使目標(biāo)個(gè)體產(chǎn)生定向運(yùn)動(dòng)，趨近于當(dāng)前最優(yōu)個(gè)體矢量周邊進(jìn)行局部搜索。而F2所乘差分矢量為兩個(gè)不同隨機(jī)個(gè)體的差向量，使目標(biāo)個(gè)體產(chǎn)生隨機(jī)運(yùn)動(dòng)，傾向于全局搜索。式(4)中系數(shù)F和F2的相對(duì)大小，反映了側(cè)重于全局搜索還是局部搜索，可以用來調(diào)控優(yōu)化進(jìn)程。一般而言，在優(yōu)化的起始階段應(yīng)側(cè)重于全局搜索，隨著優(yōu)化迭代計(jì)算的持續(xù)進(jìn)行，應(yīng)逐漸過渡到側(cè)重于局部搜索，并應(yīng)考慮保持適當(dāng)?shù)碾S機(jī)性。由此看來，系數(shù)F和F2的相對(duì)大小，應(yīng)該是隨著優(yōu)化進(jìn)程而變化的。但是，文獻(xiàn)[3]將系數(shù)F和F2設(shè)為常數(shù)，并取兩者數(shù)值相等。這樣做，不符合優(yōu)化計(jì)算的一般規(guī)律。因此，本文嘗試在優(yōu)化過程中調(diào)整F和F2的相對(duì)大小，探求更適合于電機(jī)建模應(yīng)用的改進(jìn)算法。

根據(jù)一般規(guī)律，優(yōu)化起始階段的目標(biāo)函數(shù)值大，需要進(jìn)行大范圍的全局搜索，可設(shè)置F2為較大值，并取F為小值。隨著迭代計(jì)算的進(jìn)行，目標(biāo)函數(shù)值逐漸減小，應(yīng)使F值增大，逐漸過渡到側(cè)重局部搜索。F值增大到一定值后，應(yīng)保持不變。若F值過大，可能會(huì)因個(gè)體聚集太快而陷入局部極值點(diǎn)，出現(xiàn)早熟。同時(shí)，F(xiàn)2值應(yīng)保持適當(dāng)?shù)臄?shù)值，不能過小，以使種群在進(jìn)入局部搜索后仍保持一定的分散程度，限制聚集的速度和程度。

由此，嘗試采用不同的變異算子F，F(xiàn)2調(diào)整表達(dá)式，進(jìn)行超聲波電動(dòng)機(jī)辨識(shí)建模，評(píng)測變異算子的不同調(diào)整方式對(duì)優(yōu)化過程的影響。

優(yōu)化辨識(shí)效果最好的兩種變異算子調(diào)整方法如表2所示，為便于對(duì)比，表2同時(shí)給出了文獻(xiàn)[3]所述改進(jìn)算法、標(biāo)準(zhǔn)差分進(jìn)化算法的優(yōu)化結(jié)果。表2中1至4組情況，達(dá)到最優(yōu)目標(biāo)函數(shù)值所需時(shí)間依次為216.91 s，176.11 s，252.98 s，499.14 s。由表2可知，標(biāo)準(zhǔn)差分進(jìn)化算法三次所得最優(yōu)目標(biāo)函數(shù)值存在差異，而另外三種算法三次優(yōu)化所得最優(yōu)目標(biāo)函數(shù)值均相同，表現(xiàn)更為穩(wěn)健，建模精度更高。與標(biāo)準(zhǔn)差分進(jìn)化算法相比，另外三種算法迭代次數(shù)明顯減少，其中本文所述第2組情況的迭代次數(shù)平均值較標(biāo)準(zhǔn)算法減少73.7%。

與文獻(xiàn)[3]所述F和F2取為固定值的情況相比，本文的改進(jìn)差分進(jìn)化算法(第2組)在保持算法穩(wěn)健性的同時(shí)，收斂所需迭代次數(shù)減少30.5%，達(dá)到最優(yōu)目標(biāo)函數(shù)值所需時(shí)間也進(jìn)一步縮短30.4%，收斂速度更快，建模效率更高。

表2 不同算法的優(yōu)化結(jié)果對(duì)比

3 改進(jìn)差分進(jìn)化算法的優(yōu)化過程分析

下面對(duì)本文的改進(jìn)差分進(jìn)化算法(表2第2組)的優(yōu)化過程進(jìn)行分析。可以用來反映優(yōu)化過程差異的主要指標(biāo)是收斂速度和種群多樣性。當(dāng)前最優(yōu)目標(biāo)函數(shù)值變化曲線可表征收斂速度與收斂過程，種群中個(gè)體的分布情況可表征種群多樣性。但個(gè)體在多維搜索空間中的分布情況難以用平面圖形完整表達(dá)；同時(shí)，為了便于描述、比較，需要用數(shù)字指標(biāo)來衡量種群多樣性與個(gè)體分布狀況。故本文以當(dāng)前種群中各個(gè)體相對(duì)平均值距離之和來表征迭代過程中個(gè)體分布情況的變化，并稱之為“分散度”。分散度的數(shù)值越大，則種群中個(gè)體的分布越分散，種群多樣性越強(qiáng)。反之，分散度越小，個(gè)體分布越密集，多樣性越弱。分散度的計(jì)算方法：

(5)

(6)

圖1給出了優(yōu)化過程中的最優(yōu)目標(biāo)函數(shù)值變化曲線。可見，目標(biāo)函數(shù)值起始下降迅速，隨后的緩降階段持續(xù)的迭代次數(shù)較少，從而加快了收斂速度。

圖1 優(yōu)化過程中目標(biāo)函數(shù)變化曲線

圖2為每次迭代的個(gè)體分散度變化曲線?？梢钥闯?，在達(dá)到最優(yōu)目標(biāo)函數(shù)值所需的125次迭代中，雖部分迭代存在分散度增加的情況，但整體呈現(xiàn)下降趨勢。這表明，在優(yōu)化過程中，各個(gè)體逐漸聚攏，群體分布由分散逐漸趨向密集，在迭代次數(shù)為125時(shí)，分散度值為438.735 4，可見種群在收斂時(shí)仍保持一定的多樣性，符合期望。

圖2 第2組各個(gè)體分布情況變化曲線

圖3給出了種群中3個(gè)個(gè)體的a1值在迭代過程中的變化，各個(gè)體中a1值在迭代過程中由分散漸進(jìn)到平穩(wěn)地趨于聚集。圖4為不同迭代次數(shù)時(shí)，全部100個(gè)個(gè)體中a1值的分布情況。同樣，隨著迭代次數(shù)的增加，不同個(gè)體中的a1值逐漸趨近，并在120次迭代時(shí)依然保持了一定范圍內(nèi)的零散分布。從上述優(yōu)化過程來看，本文的改進(jìn)算法的性能表現(xiàn)趨近于期望的優(yōu)化狀態(tài)。

圖3 第1,50,100個(gè)個(gè)體a1值變化曲線

圖4 第10,60，120次迭代100個(gè)個(gè)體分布情況

4 超聲波電動(dòng)機(jī)Hammerstein模型

采用上述改進(jìn)差分進(jìn)化算法，經(jīng)優(yōu)化辨識(shí)，得超聲波電動(dòng)機(jī)Hammerstein非線性轉(zhuǎn)速控制模型參數(shù)為[c1,c2,c3,c4,a1,a2,a3,a4,b0,b1]=[9.540 0, 155.871 7, -0.592 6, 42.006 0, -0.941 6, 0.062 3,0.047 1, -0.025 5 , 0.821 8 , -0.692 8]，將上述參數(shù)代入式(1)和式(2)就得到了所建模型。

為驗(yàn)證所建模型的精度，將本文所建模型與文獻(xiàn)[5]所建超聲波電動(dòng)機(jī)模型的模型計(jì)算數(shù)據(jù)與實(shí)測電機(jī)階躍響應(yīng)數(shù)據(jù)進(jìn)行對(duì)比，如圖5所示?？梢钥闯觯疚乃Ｐ偷哪Ｐ洼敵雠c實(shí)測輸出的接近程度更好。

圖5 實(shí)測數(shù)據(jù)與模型計(jì)算數(shù)據(jù)對(duì)比(120 r/min)

采用本文所建模型，使用式(3)計(jì)算全部36組實(shí)測建模數(shù)據(jù)的均方差值為9.54，另外8組實(shí)測校驗(yàn)數(shù)據(jù)對(duì)應(yīng)的均方差值為3.44；而采用文獻(xiàn)[5]所建模型，上述兩數(shù)值分別為466.42，109.76。對(duì)比可知，本文所建模型與實(shí)測數(shù)據(jù)之間的均方差值均較小，模型精度較高。

5 結(jié) 語

針對(duì)采用標(biāo)準(zhǔn)差分進(jìn)化算法進(jìn)行超聲波電動(dòng)機(jī)Hammerstein辨識(shí)建模所存在的算法不夠穩(wěn)健、建模效率低等問題，對(duì)標(biāo)準(zhǔn)算法中的變異操作進(jìn)行改進(jìn)，引入自適應(yīng)調(diào)整系數(shù)，使優(yōu)化進(jìn)程中何時(shí)側(cè)重全局搜索、何時(shí)側(cè)重局部搜索變?yōu)榭烧{(diào)可控，不再像標(biāo)準(zhǔn)算法那樣一成不變，從而可以更好地與電機(jī)辨識(shí)建模的應(yīng)用需求相匹配。超聲波電動(dòng)機(jī)辨識(shí)建模應(yīng)用表明，與標(biāo)準(zhǔn)差分進(jìn)化算法比較，本文的改進(jìn)差分進(jìn)化算法表現(xiàn)更為穩(wěn)健，保證了建模精度；與已有改進(jìn)算法相比，本文方法收斂速度更快，建模效率更高。