毛北行

(鄭州航空工業(yè)管理學(xué)院數(shù)學(xué)學(xué)院, 河南鄭州450015)

1 引言

混沌系統(tǒng)的同步控制逐步成為研究的熱門(mén)課題[1?12], 而利用滑?？刂品椒ㄑ芯客街饾u成為研究不確定性系統(tǒng)的便捷方法, 并取得了豐富的成果.主動(dòng)滑模方法, 自適應(yīng)滑模方法, 積分滑模方法及比例積分滑模方法, 有限時(shí)間滑模方法, 模糊滑模等方法被相繼提出.例如: 文獻(xiàn)[13]利用主動(dòng)滑模方法研究了一類(lèi)混沌系統(tǒng)的同步控制問(wèn)題, 實(shí)現(xiàn)了驅(qū)動(dòng)響應(yīng)系統(tǒng)的主動(dòng)滑模同步控制; 文獻(xiàn)[14]研究了分?jǐn)?shù)階Van der pol 振子網(wǎng)絡(luò)的混沌同步; 文獻(xiàn)[15]基于自適應(yīng)滑模方法研究分?jǐn)?shù)階參數(shù)不確定系統(tǒng)的異結(jié)構(gòu)混沌同步; 文獻(xiàn)[16]研究Rssler 混沌系統(tǒng)的自適應(yīng)滑?？刂茊?wèn)題; 實(shí)現(xiàn)了對(duì)Rssler 混沌系統(tǒng)的同步控制; 文獻(xiàn)[17]利用積分滑?；７椒ㄑ芯亢教炱鞯淖藨B(tài)容錯(cuò)控制; 文獻(xiàn)[18]利用有限時(shí)間滑模方法研究了多渦卷混沌系統(tǒng)的同步.

另一方面, Victor-Carmen 混沌系統(tǒng)的同步激起眾廣大學(xué)者的極大熱情, 例如: 文獻(xiàn)[19]研究了Victor-Carmen 混沌系統(tǒng)的投影同步問(wèn)題; 文獻(xiàn)[20]基于自適應(yīng)滑模方法研究了分?jǐn)?shù)階Victor-Carmen 混沌系統(tǒng)的自適應(yīng)滑?？刂茊?wèn)題.在以上研究的基礎(chǔ)上, 研究Victor-Carmen 混沌系統(tǒng)的有限時(shí)間滑模同步問(wèn)題, 設(shè)計(jì)新型滑模面, 能夠使誤差動(dòng)態(tài)系統(tǒng)有限時(shí)間內(nèi)收斂到滑模面, 較大提高了滑模同步的效率.

2 系統(tǒng)描述及主要結(jié)果

考慮Victor-Carmen 混沌系統(tǒng)[20]

其中x1,x2,x3∈R3為狀態(tài)變量;c,b,α,β,γ為常值參數(shù).當(dāng)α=50,β=20,γ=4.1,c=5,b=9 時(shí)出現(xiàn)怪異吸引子, 其軌相圖如圖1 所示.

圖1: Victor–Carmen 混沌系統(tǒng)的相軌圖

從系統(tǒng)設(shè)計(jì)為

其中?fi(y)(i=1,2,3) 為不確定項(xiàng),y=[y1,y2,y3]T,di(t)(i=1,2,3) 為外部擾動(dòng).

假設(shè)1設(shè)不確定項(xiàng)?fi(y) 和外部擾動(dòng)di(t) 有界.即存在常數(shù)mi,ni>0, 使得

定義系統(tǒng)誤差ei=yi?xi(i=1,2,3), 很容易得到誤差方程

引理1[21]假設(shè)存在連續(xù)正定函數(shù)V(t) 滿(mǎn)足微分不等式

式中p>0,0<η<1 是兩個(gè)正常數(shù).則對(duì)于任意給定的t0,V(t) 滿(mǎn)足如下不等式

并且V(t)≡0,t≥T, 其中

定理1在假設(shè)1 條件下, 構(gòu)造滑模函數(shù)控制律

其中ki>0(i=1,2,3,4,5), 則系統(tǒng)(2.3) 將在時(shí)間T內(nèi)收斂至切換面si=0, 其中

證構(gòu)造函數(shù)從而得到

由引理1 滑模面具有可到達(dá)性.

定理2構(gòu)造滑模函數(shù)則該滑模動(dòng)態(tài)系統(tǒng)漸近穩(wěn)定并且收斂到坐標(biāo)原點(diǎn), 其中

證滑模面上運(yùn)動(dòng)時(shí)得到

由于

定理3若滿(mǎn)足假設(shè)1, 構(gòu)造上述滑模函數(shù)和控制律, Victor-Carmen 混沌系統(tǒng)的主從系統(tǒng)(2.1) 與(2.2) 是有限時(shí)間滑模同步的.

證當(dāng)不在切換面上運(yùn)動(dòng)時(shí), 根據(jù)定理1 可知滑動(dòng)模態(tài)系統(tǒng)可以被驅(qū)動(dòng)到滑模面, 即滑模面具有可達(dá)性; 在切換面上時(shí), 根據(jù)定理2 可得系統(tǒng)漸近穩(wěn)定, 從而ei→0 , 從而具有穩(wěn)定性.所以(2.1) 與(2.2) 就取得有限時(shí)間滑模同步.

3 數(shù)值仿真

系統(tǒng)參數(shù)選取如上, 定理中系統(tǒng)的誤差曲線(xiàn)如圖2 所示, 圖中可以看到, 初始時(shí)刻系統(tǒng)誤差距離原點(diǎn)較遠(yuǎn)且相差較大, 隨時(shí)間推移系統(tǒng)誤差漸趨一致, 逐漸趨近于坐標(biāo)原點(diǎn), 表明系統(tǒng)取得了同步.圖中看出一段時(shí)間以后系統(tǒng)達(dá)到混沌同步, 當(dāng)時(shí)間T時(shí)刻以后, Victor-Carmen 混沌系統(tǒng)的主從系統(tǒng)(2.1)與(2.2)達(dá)到滑模同步的.時(shí)間T可由公式來(lái)推算.它給出了時(shí)刻T大小估計(jì).若選取為傳統(tǒng)的等速趨近律求得從而需要更長(zhǎng)的時(shí)間才能趨于同步.

圖2: 定理3 中的系統(tǒng)誤差曲線(xiàn)

4 結(jié)論

基于新型滑模方法研究Victor-Carmen 混沌系統(tǒng)的有限時(shí)間同步, 取得Victor-Carmen混沌系統(tǒng)的主從系統(tǒng)達(dá)到有限時(shí)間滑模同步的充分條件, 從數(shù)學(xué)角度給出了嚴(yán)格證明和邏輯推理, 通過(guò)數(shù)值仿真檢驗(yàn)方法的合理性和正確性.