王鑫

(海南大學信息科學技術學院, 海南海口570228)

1 引言

尋求非線性偏微分方程的精確解一直是解決和研究非線性問題的關鍵.近年來, 精確解的求法不斷涌現(xiàn), 如Backlund 變換法、Hirota 變換法、變量分離法、反散射變換法等.最近,王明亮等提出的(G) 展開法[1?3], 即假設非線性偏微分方程的行波解可用() 的多項式來表示, 且G滿足一類二階線性常微分方程, 由此得到一個代數(shù)方程組, 將求解微分方程的問題轉化為求此代數(shù)方程組的解.此方法不需要任何初始或邊界條件, 可以簡潔、有效地求解非線性偏微分方程.目前, 在此方法的基礎上, 出現(xiàn)了許多擴展和改進, 這些改進主要是從將(G) 展開法的正冪展開推廣到正負冪展開[4]; 改變(G) 的展開形式[5?7]; 改變函數(shù)G滿足的方程[8?10]等方面進行了延伸.本文也是以(G) 展開法的基本思想為依據(jù),是將其展開形式改進為的形式, 并首次嘗試將函數(shù)G滿足的常系數(shù)方程改進為一類二階變系數(shù)的非線性方程, 以Burgers-KPP 方程為例進行了求解, 得到了該方程的多個顯式行波解.

Burgers-Kolmogorov-Petrovskii-Piscounov 方程

其中α,β,λ,γ,δ均為常數(shù).該類方程是既包含耗散作用又包含頻散作用的非線性演化方程,它廣泛應用于流體力學、熱傳導、理論物理等領域.當(α,β,λ,γ,δ) 取不同參數(shù)時, 它囊括著許多著名的方程.例如廣義KPP 方程, Huxley 方程, 廣義Fisher 方程, Burgers-Fisher 方程, Fitzhugh-Nagumo 方程, Newell-Whitehead 方程等.文獻[11]用Cole-Hopf 變換法得到了該方程的孤子解, 并對解的漸進性質進行了論證; 通過tanh 函數(shù)展開法, 該方程的單孤波解和周期波解由文獻[12]得到; 文獻[13]通過變系數(shù)輔助方程并結合齊次平衡法得到了該方程的行波解.

2 滿足變系數(shù)方程的G 展開法

將非線性偏微分方程

作行波變換.令u(x,t)=u(ξ) ,ξ=x?ct, 其中c表示波速, 是一常數(shù), 則方程(2.1) 化為

設方程(2.1) 的解為

這里ai(ξ) (i=0,1,2,··· ,l) 為待定的函數(shù), 參數(shù)l可通過齊次平衡法確定,G=G(ξ) 滿足一類二階變系數(shù)非線性常微分方程

其中p(ξ),q(ξ) 均為ξ的任意函數(shù).通過借助Mathematica 符號計算軟件, 可以得到方程(2.4) 的解

其中C1,C2為積分常數(shù), 同時可得

將(2.3) 式代入(2.2) 式, 并結合(2.4) 式, 合并的各同冪次項, 并令的各次冪的系數(shù)為零, 從中求出ai(ξ),p(ξ),q(ξ), 再將求得的p(ξ),q(ξ) 代入(2.5) 式, 最后將得到的函數(shù)及ai(ξ) 代回到(2.3) 式, 即得到方程(2.1) 的解.

3 Burgers-KPP 方程新的精確解

對方程(1.1) 作行波變換.令u=u(ξ)=u(x?ct), 從而化為

其中p(ξ),q(ξ) 均為ξ的任意函數(shù).利用齊次平衡法, 有3l=l+2 , 得l=1.則方程(1.1)的解表示為

由方程(2.4) 和(3.2) 式可得

將上面的u及其各階導數(shù)代入(3.1) 式, 合并的同冪次項并比較方程兩端的系數(shù), 化簡可得

由(3.3) 和(3.4)式, 可求得

現(xiàn)令p(ξ)=q(ξ)+f(ξ)+k1ξ+k2, 其中f(ξ) 為ξ的任意函數(shù),k1,k2為任意常數(shù), 將其與(3.7)、(3.8) 式代入(3.5) 式, 借助Mathematica 符號計算軟件, 得到.若

則有以下情況

(1) 當?>0 時, 有

其中C1為積分常數(shù),

(2) 當?<0 且C1=0 時, 有

將上述得到的(3.7)–(3.13) 式代入(3.6) 式中, 得到了以下幾種情況.

其中C1,C2為積分常數(shù).再將(3.14)–(3.16) 式代入(3.2) 式, 則得到了方程(1.1) 的解

②當?<0 且C1=0 時, 則結合(3.12)、(3.13) 式, 代入(3.7)、(3.8) 和(2.5) 式, 可得

其中C2為積分常數(shù).再將(3.17)–(3.19) 式代入(3.2) 式, 則得到了方程(1.1) 的解

其中C1,C2為積分常數(shù).再將(3.20)–(3.22) 式代入(3.2) 式, 則得到了方程(1.1) 的解

②當?<0, 且C1=0 時, 則結合(3.12)、(3.13)式, 代入(3.7)、(3.8)和(2.5) 式可得

其中C2為積分常數(shù).再將(3.23)–(3.25) 式代入(3.2) 式, 則得到了方程(1.1) 的解

其中C1,C2為積分常數(shù).再將(3.26)–(3.28) 式代入(3.2) 式, 則得到了方程(1.1) 的解

②當?<0, 且C1=0 時, 則結合(3.12)、(3.13) 式, 代入(3.7)、(3.8)和(2.5) 式, 可得

其中C2為積分常數(shù).再將(3.29)–(3.31) 式代入(3.2) 式, 則得到了方程(1.1) 的解

4 結論