伍 洋， 張正成， 溫九紅

(蘭州交通大學(xué) 數(shù)理學(xué)院，甘肅 蘭州 730070)

1 預(yù)備知識(shí)

在可靠性工程中，為提高系統(tǒng)可靠性，常用的方法是給系統(tǒng)貯備冗余元件，構(gòu)成貯備系統(tǒng)，通常有三種貯備方式：熱貯備、冷貯備、溫貯備。熱貯備是指冗余元件在貯備狀態(tài)下的環(huán)境與其在工作狀態(tài)下的環(huán)境一樣，與工作元件構(gòu)成并聯(lián)系統(tǒng)，因此在貯備狀態(tài)下，冗余元件可能會(huì)失效；冷貯備是指冗余元件在貯備狀態(tài)下不工作，失效率為零，當(dāng)工作元件失效后，接替工作元件工作；溫貯備是指冗余元件在貯備狀態(tài)下處于一個(gè)相對(duì)溫和的環(huán)境中，失效率不為零，比其在工作狀態(tài)下的失效率小，當(dāng)工作元件失效后，接替工作元件工作。許多學(xué)者對(duì)熱貯備、冷貯備已有了大量研究，如Boland等[1]利用隨機(jī)序討論了冷貯備元件在串聯(lián)(并聯(lián))系統(tǒng)中的最優(yōu)配置問題，Misra和Misra[2]研究了一個(gè)熱貯備元件在n中取k系統(tǒng)中的最優(yōu)配置問題。近來(lái)，對(duì)溫貯備系統(tǒng)也有一些研究成果，如Ji等[3]推導(dǎo)出由兩個(gè)元件構(gòu)成溫貯備系統(tǒng)的可靠度函數(shù)表達(dá)式，并討論了當(dāng)元件服從指數(shù)分布時(shí)，溫貯備元件的最優(yōu)配置條件，Li等[4][5]研究了一個(gè)或兩個(gè)溫貯備元件在串聯(lián)(并聯(lián))系統(tǒng)中的最優(yōu)配置問題，Hazra和Nanda[6]通過建立的三種模型，得到了溫貯備元件在串聯(lián)(并聯(lián))系統(tǒng)中最優(yōu)配置條件。

其中Yω(X)=[Y-ω(X)|Y>ω(X)]，X|Y的可靠度函數(shù)為：

(1)

其中δ(u)=u-ω(u),u≥0，特別地當(dāng)γ(t)=ω(t)≡0時(shí)，式(1.1)為冷貯備系統(tǒng)的可靠度函數(shù)，γ(t)=ω(t)≡t時(shí)，式(1.1)為熱貯備系統(tǒng)的可靠度函數(shù)。

2 主要結(jié)論

首先，利用隨機(jī)序比較兩個(gè)不同冗余元件分別與一個(gè)工作元件構(gòu)成溫貯備系統(tǒng)的壽命。設(shè)隨機(jī)變量X為工作元件C的壽命，Y1,Y2分別為冗余元件R1,R2在正常工作環(huán)境下的壽命，比較以下兩個(gè)系統(tǒng)的壽命：T1=X|Y1和T2=X|Y2。

定理2.1如果元件滿足以下條件：(1)Y1hrY2，Y1或Y2為IFR；(2)對(duì)所有μ≥0,ω1(u)≥ω2(u)，γ1(u)≥γ2(u)，則T1stT2。

證明：根據(jù)式(1),對(duì)任意,t≥0,有

設(shè)Y1為IFR，因?yàn)閅1hrY2，ω1(u)≥ω2(u)，則對(duì)所有0≤μ≤t

又γ1(u)≥γ2(u)，則

那么

≥0。即證得T1stT2。

推論2.1假設(shè)ωi(u)=γi(u)(i=1,2)，上述定理的條件“Y1或Y2為IFR”可省略。如果Y1stY2，對(duì)所有μ≥0,ω1(u)≥ω2(u)，則T1stT2。

例2.1假設(shè)X,Y1,Y2服從參數(shù)為α,β1,β2的指數(shù)分布。如果Y1stY2，對(duì)所有μ≥0,γ1(u)≥γ2(u)，則T1stT2。

證明：因?yàn)閅1stY2，γ1(u)≥γ2(u)，所以

e-β2(t+γ2(u)-u)≥e-β1(t+γ1(u)-u),

考慮冗余元件在串聯(lián)系統(tǒng)中的最優(yōu)配置的問題，設(shè)隨機(jī)變量X1,X2分別為工作元件C1,C2的壽命，Y1,Y2分別為冗余元件R1,R2在正常工作環(huán)境下的壽命，比較以下兩個(gè)系統(tǒng)的壽命：

T1=min(X1|Y1,X2)和T1=min(X1,X2|Y2)

Hazra和Nanda[6]推導(dǎo)出，若X1hrX2,Y2hrY1并且滿足以下任意條件之一：(1)對(duì)于u≥0,γ1(u)γ2(u)且ω1(u)=ω2(u)；(2)Y1或Y2有對(duì)數(shù)凹(凸)生存函數(shù)，且對(duì)于u≥0，ω1(u)ω2(u)(ω1(u)≥ω2(u))，γ1(u)γ2(u)，則T1≥stT2。若ωi(u)=γi(u)(i=1,2)，上述條件“Y1或Y2有對(duì)數(shù)凹(凸)生存函數(shù)”可省略。

定理2.2如果X1hrX2,Y1≥stY2,且對(duì)所有μ≥0,ω1(u)ω2(u)，則T1≥stT2。

證明：對(duì)任意t≥0,

因?yàn)閅1≥stY2，對(duì)所有μ≥0,ω1(u)ω2(u),則

又X1hrX2，則那么

即證得T1≥stT2。

例2.2假設(shè)X1,X2,Y1,Y2服從參數(shù)為α1,α2,β1,β2的指數(shù)分布。如果X1hrX2，Y1≥stY2且對(duì)所有的μ≥0,γ1(u)γ2(u)，則T1≥stT2。

證明：對(duì)所有0≤μ≤t,因?yàn)閅1≥stY2，γ1(u)γ2(u)則e-β1(t+γ1(u)-u)≥e-β2(t+γ2(u)-u)，又X1hrX2，所以α1≥α2，那么

即證得T1≥stT2。

定理2.3如果X1hrX2,Y1≥hrY2,且ω1(u)=ω2(u),γ1(u)=γ2(u)，則T1≥stT2。

證明：對(duì)任意t≥0,

因?yàn)閅1≥hrY2，所以

又X1hrX2，所以即證得T1≥stT2。

考慮冗余元件在并聯(lián)系統(tǒng)中的最優(yōu)配置，比較以下兩個(gè)系統(tǒng)的壽命：

T1=max(X1|Y1,X2)和T2=max(X1,X2|Y2)

定理2.4如果X1rhrX2,Y1hrY2,且滿足以下條件：

(1)Yi(i=1,2)是IFR；(2)對(duì)所有μ≥0,ω1(u)≥ω2(u),γ1(u)≥γ2(u),(i=1,2)；(3)ωi(u)-γi(u)和u-ωi(u)(i=1,2)隨u≥0遞增，則T2≥stT1。

證明：對(duì)任意t≥0,

FT1(t)=P(max(X1|Y1,X2)

因?yàn)閅1hrY2，Y1是IFR，ω1(u)≥ω2(u),γ1(u)≥γ2(u),對(duì)所有0≤μ≤t,

因?yàn)閄1rhrX2，所以FX2(t)FX1(u)-FX1(t)FX2(u)≥0,又Y2是IFR，ω2(u)-γ2(u)和u-ωi(u)(i=1,2)隨u≥0遞增，那么

推論2.2若ωi(u)=γi(u)(i=1,2)，定理3.3中的條件“Yi(i=1,2)是IFR”可省略。如果Y1stY2,X1rhrX2，且對(duì)所有的μ≥0,ω1(u)≥ω2(u)，u-ωi(u)(i=1,2)隨u遞增，則T1stT2。