王 鈺，唐巨鵬

（遼寧工程技術(shù)大學(xué)力學(xué)與工程學(xué)院，遼寧阜新123000）

Sturm-Liouville特征值問(wèn)題是物理學(xué)特別是力學(xué)中經(jīng)常遇到的著名的特征值問(wèn)題。對(duì)于變系數(shù)的Sturm-Liouville特征值問(wèn)題，哪怕是在最簡(jiǎn)單的第一類(lèi)齊次邊條件下，也稀有精確解。因此，對(duì)于大量實(shí)際應(yīng)用中遇到的Sturm-Liouville特征值問(wèn)題，人們只能借助于近似解。由此，引發(fā)了有關(guān)尋求高精度近似解的研究，文[1]第二章研究的是采用攝動(dòng)法尋求Sturm-Liouville特征值問(wèn)題的近似特征值，導(dǎo)出了一個(gè)確實(shí)有效的高精度近似公式，亦即該書(shū)第2章的（2.3.15）式。此式顯然包含兩個(gè)部分，由這兩個(gè)不同部分可以分別引伸出兩個(gè)公式，本文將其稱(chēng)之為一對(duì)孿生公式。該書(shū)著者僅僅推薦了這對(duì)孿生公式中的一個(gè)，本文給出另一個(gè)公式的推導(dǎo)及應(yīng)用。

1 Sturm-Liouville問(wèn)題的第一特征值的高精度近似計(jì)算公式的導(dǎo)出

考慮如下具有第一類(lèi)齊次邊條件的Sturm-Liouville特征值問(wèn)題[2-4]：

這里，p(x)，r(x)和q(x)是定義在區(qū)間[0,1]上的充分光滑的函數(shù)，假設(shè)滿(mǎn)足0 ＜p-≤p(x)≤p+，0 ＜r-≤r(x)≤r+，0 ≤p(x)≤q+，其中p-，p+，r-，r+和q+都是常數(shù)。這些條件保證了問(wèn)題（1）的所有特征值全是正數(shù)。導(dǎo)出問(wèn)題（1）的第一特征值λ1的高精度近似公式的步驟如下[1]：

第一步，利用力學(xué)中的常見(jiàn)近似解法，例如Rayleiph-Ritz法[5]，獲得問(wèn)題(1)的一個(gè)第一特征值的過(guò)剩近似值λ*1。繼而考察Sturm-Liouville方程的如下Cauchy問(wèn)題：

將其解記為u=V1()。求出V1(x,λ*1)在區(qū)間(0,1]上的零點(diǎn)(0,1]，即V1()=0，0 ＜≤1。對(duì)于這里的，文[1]指出它有如下性質(zhì)：（1）相當(dāng)接近于1；（2）當(dāng)且僅當(dāng)λ*1=λ1時(shí)，才有=1。同時(shí)，文[1]證明了下述定理：

定理1考慮新的Cauchy問(wèn)題：

從定理1出發(fā)[1]，采用迭代法求出第一特征值的精確近似值，但收斂速度很慢。因此有：

“′”表示相應(yīng)函數(shù)對(duì)變量y的導(dǎo)數(shù)。因?yàn)棣?1-ε，問(wèn)題(4)中方程的系數(shù)都可以展成ε的冪級(jí)數(shù)：

按照攝動(dòng)法，為了尋求問(wèn)題(1)的第一特征值和相應(yīng)的特征函數(shù)，同樣應(yīng)將問(wèn)題(4)中的U(y,ε)和Λ展開(kāi)為ε的冪級(jí)數(shù)：U()≡(y)+(y)+…，++…。把這些展開(kāi)式代入問(wèn)題(4)，比較ε的各階同冪次項(xiàng)系數(shù)，得到一系列邊值問(wèn)題。特別的，當(dāng)ε=0時(shí)，有：

這里已經(jīng)利用了問(wèn)題（5）的結(jié)論。

按照Sturm-Liouville 特征值問(wèn)題的有關(guān)理論[2]，要使問(wèn)題（6）有解，問(wèn)題（6）中方程的右端項(xiàng)必須與問(wèn)題（5）的解正交，即

利用這一條件，可以計(jì)算作為第一特征值的零級(jí)近似Λ(0)1=λ*1的一級(jí)修正項(xiàng)的系數(shù)Λ(1)1：

第三步，導(dǎo)出第一特征值的高精度近似計(jì)算公式。

將（8）式分成3項(xiàng)，通過(guò)分部積分，最終可以得到：

以此代入Λ的級(jí)數(shù)展開(kāi)式，得到原問(wèn)題（1）的第一特征值的一級(jí)近似解：

這就是文獻(xiàn)[1]中所給出的高精度近似計(jì)算公式(2.3.15)。

2 關(guān)于公式（10）的討論

為了方便討論，把（10）式改寫(xiě)成兩個(gè)式子：

和

注意到在實(shí)際應(yīng)用中，ξ ≈1，因此，（10b）式的實(shí)際應(yīng)用形式是

而（10a）式的實(shí)際應(yīng)用形式則是

這里λ1*=因?yàn)橥鲇冢?0）式，本文將（12）式稱(chēng)之為（11）式的孿生公式。為了說(shuō)明孿生公式（12）的應(yīng)用價(jià)值，在解釋其含義和理論基礎(chǔ)之前，先看兩個(gè)例子。它們均來(lái)自于文獻(xiàn)[1]的2.5.1分節(jié)。

例1考察Sturm-Liouville特征值問(wèn)題

解對(duì)于(x)=sin使用Rayleigh-Ritz法，得到第一特征值λ1的過(guò)剩近似值λ1≤λ*1=5.338 27。

例2考察Sturm-Liouville特征值問(wèn)題+λ(1+x2)-2u=0，u(0)=u(1)=0。

解這一問(wèn)題存在解析解：λ1=15，u1(x)=2x(1-x2)。

3 討 論

參考上面的兩個(gè)例子，對(duì)于孿生公式（12），可以指出以下事實(shí)：

1）孿生公式（12）的確可以作為進(jìn)一步迭代出發(fā)點(diǎn)的高精度近似公式加以使用。從計(jì)算量來(lái)看，比較（11）式和（12）式不難發(fā)現(xiàn)，這兩個(gè)公式中的第二項(xiàng)完全相同，而這一項(xiàng)所需的計(jì)算量最大；兩個(gè)公式中的第一項(xiàng)不同，其相應(yīng)的計(jì)算量相差微乎其微。從計(jì)算精度來(lái)看，正如例1顯示的那樣，在其計(jì)算結(jié)果為過(guò)剩近似值的情況下，采用公式（12）所獲得的結(jié)果的精度還優(yōu)于公式（11）。這并不奇怪，因?yàn)閮蓚€(gè)公式中的第一項(xiàng)的差別是

2）從理論上，公式（11）可以解釋為從λ1的過(guò)剩近似值λ*1出發(fā)，通過(guò)負(fù)向修正來(lái)獲得它的更為精致的近似值λ(1)1。公式（12）則不同，當(dāng)λ1*=λ*1ξ2是λ1的下界時(shí)，公式（12）可以進(jìn)一步改寫(xiě)為

由此可以給出公式（12）的理論解釋是：從λ1的不足近似值λ1*出發(fā)，通過(guò)正向修正來(lái)獲得它的更為精致的近似值λ(1)1。

需要說(shuō)明的是：正如文獻(xiàn)[1]的2.5.1分節(jié)中的例3所顯示的那樣，無(wú)論公式（11）抑或公式（12），都是先要判斷λ1*=是不是λ1的下界，然后才有必要考慮使用哪個(gè)公式。鑒于此，上文假設(shè)λ1*=是λ1的下界是合理的。

3）遇到使用公式（11）或（12）進(jìn)行計(jì)算所得結(jié)果是不足近似值的情況，如例2那樣，可以對(duì)（11）式或（12）式進(jìn)行修正來(lái)解決這個(gè)問(wèn)題。事實(shí)上，公式（11）和（12）分別是在公式(10a)和(10b)中令ξ=1而得到的。因此公式(10a)和(10b)也可以寫(xiě)成下列形式：

在例2中，采用公式（11′），計(jì)算結(jié)果是λ(1)1=15.002 69；采用公式（12′），計(jì)算結(jié)果是λ(1)1=15.001 52。采用這兩個(gè)新的替代公式得到過(guò)剩近似值毫不奇怪，而這兩個(gè)結(jié)果的精度都優(yōu)于采用公式（11）的結(jié)果，這是值得注意的。