姚志強，雷宏杰，宋漢文，張 懿

(1.航空工業(yè)西安飛行自動控制研究所，西安 710100；2.同濟大學 航空航天與力學學院，上海 200092)

近年來，隨著工業(yè)上對精密儀器精度要求的不斷提高，角振動問題日益受到廣泛學者的關(guān)注[1-2]。典型的精密儀器——激光捷聯(lián)慣導中，激光陀螺的性能對慣性導航的精度具有重要影響。為了消除小角速度輸入下陀螺無輸出的閉鎖效應，激光陀螺工作時，其抖動輪在持續(xù)的抖動中[3]，因此陀螺抖動是IMU除了來自載體的振動和沖擊之外，主要的振動源。工作條件下，陀螺的抖動會引起慣性測量單元(IMU)的角振動，若該角振動在其它陀螺的敏感軸方向分量為零，則陀螺抖動引起的振動相互解耦，那么理論上陀螺在IMU中的性能指標可以達到單個陀螺測試的性能指標；反之，若該角振動在其它陀螺的敏感軸方向分量不為零，則表明振動存在耦合，陀螺性能將下降。本文通過對IMU的振動建模，提出了彈性橢球的概念，給出了IMU振動解耦的設(shè)計約束。

IMU的減振研究主要為減振模式的分析[4]、減振系統(tǒng)的設(shè)計[5-7]及減震器特性分析[8-10]。盡管研究人員發(fā)現(xiàn)IMU的質(zhì)心與彈性中心的重合可以實現(xiàn)線振動與角振動的解耦，慣性主軸與彈性主軸重合可以實現(xiàn)角振動相互間的解耦[11-13]，然而，尚缺乏這一結(jié)論的理論導出過程。

本文針對陀螺抖振引起的IMU振動，借助歐拉方程和拉格朗日方程導出了六自由度振動方程。為了更為直觀的描述使振動方程解耦數(shù)學約束，本文定義了彈性橢球這一概念，并分析了彈性橢球與慣性橢球不同位置關(guān)系下IMU的振動響應特點。

1 IMU振動建模

振動方程的建立采取慣性坐標系P-xyz作為參考，各坐標軸方向平行于靜態(tài)時IMU的慣性主軸方向。通常，慣性測量單元橡膠隔振系統(tǒng)安裝有8個上下對稱布置的隔振器[14]，如圖1所示。由于IMU臺體的剛度遠大于減振器剛度，建模中將其視為六自由度剛體。

圖1 IMU及其支撐系統(tǒng)示意圖Fig.1 Sketch map of the IMU and its support system

2 基于動量矩定理的歐拉方程

設(shè)IMU繞點P轉(zhuǎn)動，固連于剛體的P-x*y*z*作為連體坐標系。系統(tǒng)靜止時，P-x*y*z*與P-xyz重合。動量矩定理在該坐標系下的投影式為[15]

(1)

式(1)可改寫為

(2)

上式即為剛體定點轉(zhuǎn)動歐拉運動方程。

2.1 基于拉格朗日方程的振動方程

第i個支撐點(xi,yi,zi)處的位移變化量，即彈簧的變形量，由平動和轉(zhuǎn)動兩部分組成

(3)

CγCβCα為三次轉(zhuǎn)動的方向余弦矩陣。設(shè)系統(tǒng)的角振動可視為無限小轉(zhuǎn)動，則方向余弦矩陣可簡化為

(4)

將式(4)代入式(3)可得

(5)

由于實際的IMU設(shè)計通常采用三向等剛度減振器，若振動中不考慮重力勢能的變化，僅考慮彈性勢能，則系統(tǒng)的勢能可表示為

(ziβ)2+(xiγ)2+(yiα)2))+2(uxziβ+uyxiγ+uzyiα)-2(uxyiγ+uyziα+uzxiβ)-2(yiγziβ+ziαxiγ+xiβyiα))

(6)

若靜止狀態(tài)下，系統(tǒng)質(zhì)心的位置坐標為(xm,ym,zm)，則根據(jù)式可得dt時間微段內(nèi)，質(zhì)心的位移增量為

(7)

進而質(zhì)心速度為

(8)

系統(tǒng)的動能可表示為

(9)

根據(jù)式(9)和式(6)可以建立拉格朗日函數(shù)L=T-V，存在拉格朗日方程

j=1,2,3,4,5,6

(10)

將式(9)及式(6)代入式(10)，對于線振動，即j=1,2,3，可得：

(11)

對于角振動，需要考慮慣性坐標系與主軸坐標系之間的相互轉(zhuǎn)化?？蓪⑹?10)改寫為

j=4,5,6

(12)

(13)

(14)

將式(2)代入式(14)，將出現(xiàn)角度、角速度和角加速度的乘積項，通常該乘積項不可忽略。然而，在捷聯(lián)慣導系統(tǒng)中，激光陀螺機械抖動機構(gòu)的抖動頻率一般在100～400 Hz[16]，國內(nèi)相關(guān)研究院所生產(chǎn)使用的高頻激光陀螺的抖動頻率也小于1 000 Hz。因此，慣導系統(tǒng)的角振動頻率不會超過1 000 Hz。由于角速度和角加速度與角度滿足導數(shù)關(guān)系，對于無限小轉(zhuǎn)動，因此可以認為角速度和角加速度都為無限小量，無限小量的乘積項可視為高階無窮小略去。因此，上式可線性化為

(15)

此外，我們有：

(16)

結(jié)合式(12)、式(15)及式(16)可得

(17)

(18)

由式(17)、式(18)及式(11)可得系統(tǒng)的振動方程

(19)

其中質(zhì)量矩陣為

M=

(20)

剛度矩陣為

K=

(21)

廣義力為

(22)

需要特別指出的是，上述結(jié)果的導出是建立在以下兩點簡化之上的：① IMU作無限小轉(zhuǎn)動，方向余弦矩陣式(4)忽略了二階小量；② 式(17)的導出忽略了IMU三個角振動的二次交叉耦合項。

2.2 振動方程的簡化

本文只考慮陀螺抖動引起IMU的振動，從式(20)和式(21)可以看出，當

xm=0,ym=0,zm=0

(23)

(24)

此時，角振動方程可以獨立寫作

(25)

3 彈性橢球

注意到剛度矩陣式(25)中剛度矩陣各個元素的表達式，與質(zhì)點系慣性張量的矩陣表達式極為相似，該矩陣定義為

(26)

本文定義S為彈性張量的矩陣表達式。其對角元稱為彈性矩，非對角元稱為彈性積。質(zhì)點系慣性張量與彈性張量矩陣表達式唯一不同的是質(zhì)量被彈簧剛度所替換。因此，與慣性張量類似，在空間中應該存在一個彈性橢球滿足方程

Sxxx2+Syyy2+Szzy2-2Sxyxy-

2Sxzxz-2Syzyz=k2

(27)

從解析幾何知道，一個橢球在空間中必然存在三根正交的主軸。如果我們把這三個主軸取作坐標軸，彈性中心作為坐標原點，那么彈性橢球的方程將簡化為

Sxx2+Syy2+Szy2=k2

(28)

彈性橢球的主軸稱為彈簧對于彈性中心的彈性主軸，相應的彈性矩Sx,Sy,Sz稱為主彈性。那么，當坐標軸方向進一步與彈性主軸平行時，角振動方程退化為

(29)

綜上所述，要使得IMU六個自由度上的振動完全解耦，需要滿足以下兩個條件：① IMU的質(zhì)心與彈性中心重合(線振動與角振動解耦);② IMU的慣性主軸與彈性主軸重合(角振動間相互解耦)。

工程實際中，可以通過合理布局減振器相對系統(tǒng)質(zhì)心的坐標位置，實現(xiàn)質(zhì)心與彈性中心重合且慣性主軸與彈性主軸重合。

4 仿真驗證

上述理論推導中，均未考慮彈簧阻尼的影響，假設(shè)阻尼矩陣與剛度矩陣形式相同。某型號減震器的通過設(shè)計參數(shù)計算出的彈簧剛度和阻尼分別為

k=84 739(N/m),c=53.68(N·s/m)

(30)

由于IMU被視為剛體，IMU內(nèi)部的結(jié)構(gòu)阻尼予以忽略，系統(tǒng)的阻尼完全由減震器提供，因此只需將式(21)中的彈性系數(shù)改為阻尼系數(shù)即可得到系統(tǒng)的阻尼矩陣。本文只考慮抖振的影響，三只陀螺的抖振頻率依次為550 Hz、606 Hz、714 Hz，以引起IMU產(chǎn)生單位靜扭轉(zhuǎn)的力矩為幅值，抖動頻率為激勵頻率模擬激勵信號。

某型號IMU的幾何尺寸為90 mm×138 mm×129 mm，以質(zhì)心為坐標原點，靜止狀態(tài)下慣性主軸為坐標軸，支撐系統(tǒng)如圖1所示。仿真算例中，計算了圖2所示的四種設(shè)計狀態(tài)下IMU的振動響應。圖2(a)為質(zhì)心與彈性中心重合，慣性主軸與剛度主軸平行;圖2(b)為質(zhì)心與彈性中心重合，慣性主軸與剛度主軸不平行；圖2(c)為質(zhì)心與彈性中心不重合，慣性主軸與剛度主軸平行；圖2(d)為質(zhì)心與彈性中心不重合，慣性主軸與剛度主軸不平行。圖中長方體表示IMU，淺灰色橢球表示慣性橢球，深灰色橢球表示彈性橢球。

不同設(shè)計狀態(tài)下的繞Z軸角振動及線振動對比如圖3～圖5所示。

(a)雙心重合雙軸不重合Z軸角振動

(b)理想設(shè)計Z軸角振動圖3 雙心重合雙軸不重合與理想設(shè)計IMU對比Fig.3 The comparison between the idealized IMU with the IMU in which the two centers coincide and the two axis mismatch

(a)沿Z軸線振動

(b)繞Z軸角振動圖4 雙心不重合雙軸平行IMU響應Fig.4 The response of the IMU in which the two centers mismatch and the two axis parallel

(a)沿z軸線振動

(b)繞z軸角振動圖5 雙心不重合雙軸不平行IMU響應Fig.5 The response of the IMU in which the two centers mismatch and the two axis do not parallel

為了進一步整體對比不同設(shè)計情形下IMU的響應特點，本文將以上四種情形在陀螺工作頻率下的振動響應峰值繪制成柱狀圖，如圖6所示。

圖6 不同設(shè)計狀態(tài)下IMU響應峰值對比Fig.6 The peak values of the response of the IMU under different designs

分析圖6可得到以下結(jié)論：

(1)雙心重合且雙軸重合時，三只陀螺的抖動引起的IMU角振動相互獨立，且不會引起IMU線振動。

(2)雙心重合可以避免陀螺抖動引起的耦合線振動。

(3)系統(tǒng)偏心和雙軸不重合都會引起IMU不同程度的耦合角振動和耦合線振動。

5 結(jié) 論

激光捷聯(lián)慣導工作狀態(tài)下，為了消除閉鎖效應，激光陀螺需要保持持續(xù)的抖動，該抖動是IMU的主要振動源。工程實踐中，三只激光陀螺在IMU中逐個單獨工作的精度遠高于同時工作的精度，進一步的分析表明同時工作時陀螺間的耦合振動是造成精度下降的主要原因。本文旨在提出陀螺振動解耦的理論約束。

為了實現(xiàn)IMU的振動解耦，本文從動量矩定理和拉格朗日方程出發(fā)建立了任意設(shè)計狀態(tài)下IMU的振動方程。對振動方程的深入分析表明：若質(zhì)心與彈性中心重合，振動方程將簡化為線振動與角振動解耦的形式；在此基礎(chǔ)上，若慣性主軸與彈性主軸重合，振動方程將在六個自由度上完全解耦。為了直觀描述這一結(jié)論，本文定義了彈性張量和彈性橢球。通過仿真計算了IMU不同設(shè)計狀態(tài)下，具體表現(xiàn)為彈性橢球和慣性橢球不同位置關(guān)系下，IMU的振動響應，驗證了本文導出的振動解耦理論約束。