翁凌霄,繆宇躍,李天勻

(1.南昌工學院 新能源車輛學院，南昌 330108；2.中國艦船研究設(shè)計中心，武漢 430064；3.華中科技大學 船舶與海洋工程學院，武漢 430074)

引水下圓柱殼在實際工程中運用十分廣泛。水下管路、潛艇以及浮筒等均含有圓柱殼構(gòu)件。早期的研究將圓柱殼視為無限長，研究其在無限流域中的振動和聲輻射特性，而不考慮流域邊界對輻射聲場的影響。這方面的研究工作很多，如Zhang等[1]運用波傳播法分析了充液圓柱殼的自由振動特性，Liu等[2]研究了靜水壓力下圓柱殼聲輻射特性。

目前，非無限流域中(部分浸沒、水面或水底存在的半無限流域)圓柱殼的聲振問題研究工作較少。Ye[3]基于波傳播方法，對部分浸沒無限長圓柱殼聲振特性進行研究，得出了高頻激勵時遠場聲壓近似解析表達式。Hasheminejad等[4]通過使用變量分離方法、波數(shù)域擴展、鏡像原理和平移加法定理來研究靠近無限大平面的無限長圓柱殼的半無限域聲輻射問題，由于設(shè)定了圓柱殼的速度形式，相當于二維圓柱殼的半無限域聲輻射問題，其關(guān)注點在于界面對聲場等聲學物理量的影響。隨后該研究方法被用于阻抗邊界條件下半無限域中圓柱殼的聲輻射問題中[5]。Li等[6]研究半浸沒的無限長圓柱殼的遠場聲輻射特性，分析了不同參數(shù)(流體流速、結(jié)構(gòu)阻尼、激勵點位置和結(jié)構(gòu)厚度)對輻射聲壓的影響，研究發(fā)現(xiàn)聲壓和共振頻率隨著流體流速的增加而增加，遠場輻射聲壓與激勵點位置和激勵頻率有關(guān)，通過增加結(jié)構(gòu)阻尼可有效降低輻射聲壓。Salaün[7]研究了高頻激勵情況下開口和半浸沒封閉圓柱殼的聲輻射問題，研究發(fā)現(xiàn)聲壓并不是單調(diào)衰減，其變化依賴于激勵力位置，之外，結(jié)構(gòu)阻尼對聲壓也存在一定影響。Li等[8]基于鏡像原理、穩(wěn)相法和Graf加法定理提出一種解析方法研究考慮自由液面影響情況下水中無限長圓柱殼的聲振特性，研究結(jié)果表明圓柱殼浸深的變化對其遠場輻射聲壓有重要影響。Chen等[9-10]利用以上方法，結(jié)合雙反射原理進一步推導了自由液面和垂直剛性壁面邊界所構(gòu)成四分之一無限流域中無限長圓柱殼的聲學解析式，文中方法未實現(xiàn)圓柱殼的振動和聲載荷耦合求解，僅分析了假定振速(脈動振速)情況下圓柱殼的聲輻射特性，未能研究激勵力作用下的圓柱殼耦合振動問題。Guo等[11]研究了自由液面作用下水中有限長圓柱殼的聲振特性，提出一種求解有限長圓柱殼振動響應(yīng)的解析法，并利用聲學邊界元法求解遠場輻射聲壓，研究表明浸深超過一定值后自由液面對圓柱殼振動的影響可忽略，論文還對遠場輻射聲壓指向性和波動性進行了分析。

目前解析法在處理流場邊界條件等方面比較困難，一些研究者通過引入數(shù)值技術(shù)或采用數(shù)值方法來研究。鄒元杰等[12]聯(lián)合有限元法和邊界元法建立半無限流域中結(jié)構(gòu)的流固耦合振動方程，分析了剛性壁面和自由液面對半無限流體域中結(jié)構(gòu)的固有頻率、振速和輻射聲功率的影響，當結(jié)構(gòu)距離剛性壁面或自由液面足夠遠時，其表面振速不再隨著距離變化而變化。Ergin等[13]根據(jù)實驗和源于三維水彈性數(shù)值模型的理論預報方法，分析了考慮自由液面作用的有限長圓柱殼的自由振動特性，如固有頻率、共振頻率和模態(tài)振型等。之后，Ergin等[14]究了部分充液和部分浸沒的無限長圓柱殼的自由振動特性，其中引入了邊界積分方法和鏡像法來近似滿足自由液面邊界條件，并假設(shè)圓柱殼在自由液面以上部分處于真空之中。Brunner等[15]用耦合的有限元和邊界元方法研究部分浸沒的船舶結(jié)構(gòu)和圓柱殼結(jié)構(gòu)的聲學性能，通過有限元方法建立結(jié)構(gòu)的質(zhì)量矩陣和剛度矩陣，使用迭代算法和快速多極算法來加快計算速度。Zhou等[16]合有限元和邊界元方法計算水下加筋圓柱殼結(jié)構(gòu)的振動和聲輻射特性。先由有限元軟件NASTRAN計算結(jié)構(gòu)振動，然后由邊界元方法計算結(jié)構(gòu)的聲學附加質(zhì)量和阻尼系數(shù)，最后將聲學附加質(zhì)量和阻尼系數(shù)加入結(jié)構(gòu)質(zhì)量和阻尼矩陣中?？娪钴S等[17]據(jù)聲學邊界元理論，考慮海面和吸聲海底的聲反射作用，建立波導域聲輻射模型，分析了淺海中圓柱殼的聲輻射特性，并用聲學點源的輻射疊加原理解釋研究現(xiàn)象的產(chǎn)生機理。

以上研究均未提出分析多邊界組合情況下圓柱殼聲振耦合問題的一體化解析方法，而耦合聲振方程的建立和將振速、聲壓一體化求解正是突破此類問題的一個難點。因此，本文對自由液面(或水平水底)和垂直剛性壁面所構(gòu)成四分之一無限流域中無限長圓柱殼的聲振耦合問題進行研究，建立復雜聲邊界約束下的無限長圓柱殼的聲振耦合方程，得到輻射聲壓解析表達式，深入分析兩種組合聲邊界和邊界距離對圓柱殼聲振特性的影響，進一步拓展非無限域中結(jié)構(gòu)振動與聲場耦合問題的研究思路。

1 聲振耦合理論

四分之一無限流域(邊界由相互垂直的自由液面和剛性壁面組成)中無限長圓柱殼結(jié)構(gòu)和圓柱坐標系(r，φ，z)如圖1所示，其中r，φ和z分別表示圓柱殼的徑向、周向和軸向。圓柱殼完全浸沒于水中，其軸線與自由液面平行，軸線到自由液面的距離為H，到剛性壁的距離為D，圓柱殼的厚度為h，平均半徑為R，楊氏模量為E，泊松比為μ，密度為ρ。流體密度為ρf，流體中聲速為cf。頻率為f的軸向均勻線激勵力fr沿徑向作用于圓柱殼外表面(R,φ0)處，圓柱殼外表面受到的流體聲載荷為f0。聲場中任意觀測點P位于自由液面以下，與原點o1的距離為r1，所對應(yīng)周向角為φ1。設(shè)p為P點聲壓有效值，聲壓級定義為SPL=20lg(p/p0)(dB)，p0=1×10-6Pa。

圖1 四分之一無限流域中無限長圓柱殼和坐標系Fig.1 The infinite cylindrical shell in the quarter-infinite fluid domain and the corresponding coordinate system

圓柱殼的振動基于Flügge殼體理論(簡諧時間項exp(iωt)省略)

(1)

式中,u、v和w分別表示圓柱殼軸向、周向和徑向位移，矩陣[L]中元素如下

作用位置為(R,φ0)的軸向均勻線激勵力fr可表示為與軸向無關(guān)的函數(shù)

fr=F0δ(φ-φ0)

(2)

式中，δ()為Delta函數(shù)，F(xiàn)0為激勵力幅值。

軸向均勻線激勵力作用下，u、v、w和f0可表示為軸向無關(guān)的級數(shù)形式

(3)

(4)

(5)

(6)

其中Un、Vn和Wn是圓柱殼的軸向、周向和徑向位移幅值，fn是流體聲載荷幅值，n是級數(shù)展開系數(shù)，i表示單位虛數(shù)。

將式(2)～(6)代入(1)并進行正交處理得到

(7)

其中frn=F0exp(-inφ0)/(2π)，矩陣[T]中元素為

T11=Ω2-n2(1+K)(1-μ)/2，

T22=Ω2-n2，T33=1+K+Kn4-2Kn2-Ω2，

T12=T21=T13=T31=0，T23=T32=in。

由式(7)得到關(guān)于徑向位移的耦合振動方程

(8)

其中IT=T11T22/|T|。

式(8)中Wn和fn是未知的，下面求解其具體表達式。如圖2所示，根據(jù)鏡像原理，由于流域邊界對聲波的反射作用，圓柱殼的聲場是由實源輻射聲部分和虛源反射聲部分疊加而成，因此流域中任意觀測點P的聲壓可表示為

(9)

式中：p1為實源輻射聲壓；p2表示自由液面產(chǎn)生的虛源輻射聲壓；p3表示剛性壁面產(chǎn)生的虛源輻射聲壓；p4表示復雜邊界產(chǎn)生的虛源輻射聲壓；r1～r4分別為各個聲源中心到點P的距離；φ1～φ4分別為周向角。

圖2 四分之一無限流域中鏡像法示意圖Fig.2 The image method for the quarter-infinite fluid domain

p1～p4可表示為如下形式

(10)

An=-B-n，Cn=-D-n

(11)

由于剛性壁面上振速為(?(p1+p3)/?y=0，?(p2+p4)/?y=0)，且有r1=r3，φ1+φ3=0，r2=r4，φ2+φ4=0，同樣可得到

An=(-1)nC-n，Bn=(-1)nD-n

(12)

由式(11)和(12)可知

Bn=-A-n，Cn=(-1)nA-n，

Dn=(-1)n+1An

(13)

于是可得到

(14)

(15)

應(yīng)用貝塞爾函數(shù)Graf定理[18]式(15)中四個坐標系統(tǒng)一，即將坐標系o1～o3轉(zhuǎn)換至坐標系o1中。如圖3所示，ρk和ρj是P與原點ok和oj的距離，rkj是原點ok和oj間的距離，φk、φj和θkj是對應(yīng)的周向角，m是展開系數(shù)。Graf定理表示為

(16)

根據(jù)Graf定理，式(15)中的后三項可轉(zhuǎn)化為

(17)

(18)

(19)

設(shè)β=min(H,D)表示H和D二者中較小值，將式(17)～(19)代入式(15)可得

p=

(20a)

=

(20b)

由此獲得fn(r1<2β)的表達式

exp[i(n+m)π/2]-

exp[i(m-n)(φL+π/2)]

(21)

根據(jù)圓柱殼外表面的徑向位移連續(xù)條件可得

(22)

將式(5)和(20a)代入式(22)并正交化處理可得到Wn的表達式

exp[i(n+m)π/2]-

(23)

將式(21)和(23)代入式(8)可得耦合振動方程

F0exp(-inφ0)/(2π)

(24)

其中α=(hρkf)/(Ω2ρfIT)。

通過求解矩陣方程(24)可得到幅值向量An，再結(jié)合式(23)、(5)和(20)可得到位移Wn和遠場輻射聲壓(r1>2L)。其中展開系數(shù)需要截斷，為方便計算可設(shè)m和n的截斷數(shù)相等。

以上解析方法可以推廣應(yīng)用于水平水底(本文假設(shè)水底為剛性)和垂直剛性壁面組合情況，只需改變式(9)、(14)和(15)中p2和p4的相位，即p=p1-p2+p3-p4，其他推導過程基本相同，不再贅述。此時，H表示圓柱殼軸線到水平水底的距離，將圖2旋轉(zhuǎn)180°即為水底在圓柱殼下方的情況，但為統(tǒng)一坐標系，仍可參照原圖2，并不影響計算結(jié)果。

2 算例分析

2.1 方法驗證

當水下無限長圓柱殼受軸向均勻線激勵力作用時，其各圓截面的振動情況相同，表面振速和輻射聲壓不隨軸向變化，可等效為二維聲輻射問題，此情況下可采用二維半空間聲學邊界元法(BEM)求解其輻射聲壓，并將兩種方法的計算結(jié)果對比驗證。設(shè)圓柱殼和流體參數(shù)為：h=0.005 m，R=0.25 m，E=2.1×1011Pa，μ=0.3，ρ=7 850 kg/m3，ρf=1 025 kg/m3，cf=1 500 m/s，F(xiàn)0=1 N/m，φ0=0，r1=50 m，H=0.5 m，D=0.5 m。設(shè)結(jié)構(gòu)阻尼因子為η=0.01，于是復楊氏模量為E′=E(1+iη)。經(jīng)過分析，在以上參數(shù)條件下，n取20可使計算結(jié)果收斂。

對w求導得到圓柱殼表面任意點法向振速vn(vn=w′)并代入二維聲學邊界積分方程式(25)中可得到任意觀測點P的聲壓

(25)

式中:?p(Q1)/?nΓ=-iρfωvn，vn是單元法向速度，ω是圓頻率。Г是二維積分邊界，nГ為任意邊界點Q1處內(nèi)法向單位向量。C(P)是P點系數(shù)，P在Г上，C(P)=0.5；P在Г外，C(P)=1；P在Г內(nèi)，C(P)=0。Q2～Q4為Q1的鏡像點，rPQ1～rPQ4分別為P和Q1～Q4的距離，如圖4所示。

圖4 四分之一無限流域中的格林函數(shù)Fig.4 The sketch of BEM in the quarter-infinite fluid domain

由于流域邊界產(chǎn)生鏡像反射，積分方程基本解應(yīng)為實源和三個虛源的格林函數(shù)疊加[19-20]

(26)

對于水平水底和垂直壁面組合情況，積分方程基本解中的虛源項格林函數(shù)需要相應(yīng)地改變相位，將式(26)中負號改為正號即可。

對圓柱殼周向劃分20個線性邊界單元，如圖5所示。對于兩類組合聲邊界(設(shè)FV表示自由液面+垂直壁面，HV表示水平水底+垂直壁面)，采用邊界元法和解析法計算不同頻率下的無限長圓柱殼聲壓級指向性如圖6所示，從圖6中可見兩種方法計算結(jié)果吻合很好，這說明解析法是正確可靠的。

2.2 復雜聲邊界對振動的影響

圖5 二維線性邊界單元Fig.5 The 2D linear elements

(a)f=50 Hz

(b)f=100 Hz

(c)f=50 Hz

(d)f=100 Hz圖6 邊界元法與解析法計算聲壓級指向性對比Fig.6 The comparison of the acoustic directivity

(a)H/R=10,D/R=1.1、1.5、2.0

(b)H/R=10,D/R=2、3、10

(c)D/R=10,H/R=1.1、1.5、2.0

(d)D/R=10,H/R=2、3、10圖7 不同位置處的均方振速Fig.7 The quadratic velocity at different positions

圖7顯示當圓柱殼離邊界很近時均方振速隨距離增大變化明顯；當距離超過三倍半徑后，均方振速隨距離變化很微弱，甚至可忽略。這說明當圓柱殼離邊界的距離超過臨界值(三倍半徑)后無論是自由液面還是剛性壁面對圓柱殼振動的影響都可以忽略，此時圓柱殼的振動狀態(tài)近似于無限域狀態(tài)。從物理本質(zhì)看，這是因為相對于實源，虛源到圓柱殼表面的距離較遠，對振動的疊加作用很微弱。從數(shù)學角度看，r2～r4遠大于r1，根據(jù)漢克爾函數(shù)的性質(zhì)(其幅值隨變量增大而衰減)，式(15)、(21)和(23)中由虛源產(chǎn)生的后三項漢克爾函數(shù)的幅值遠小于實源產(chǎn)生的第一項漢克爾函數(shù)的幅值，故虛源產(chǎn)生的聲載荷可以忽略。

進一步觀察可發(fā)現(xiàn)，當圓柱殼離邊界很近時，D不變而H增大時均方振速曲線的峰值頻率減小；H不變而D增大時峰值頻率增大，這說明圓柱殼的共振頻率受到不同聲邊界的不同影響。不論是從物理本質(zhì)還是數(shù)學角度看，其原因是自由液面產(chǎn)生兩個與實源(p1)反相位的虛源(p2和p4)，削弱了聲載荷幅值，這種削弱效果在圓柱殼靠近自由液面過程中增強，使附連水質(zhì)量減少，增高了圓柱殼的固有頻率，文獻[11]中也討論了類似問題；而剛性邊界產(chǎn)生兩個與實源同相位的虛源，增強了聲載荷幅值，這種增強效果在圓柱殼靠近剛性邊界中增強，使附連水質(zhì)量增加，降低了圓柱殼的固有頻率。可見在靠近邊界情況下，不同類型聲邊界對圓柱殼振動特性的影響是不同的。

2.3 復雜聲邊界對表面輻射聲功率的影響

(a)

(b)

(c)

(d)

(e)圖8 圓柱殼表面輻射聲功率級對比圖Fig.8 The comparison of acoustical power

圖8(a)顯示當H=D=4R時，兩類組合聲邊界情況下的表面輻射聲功率級曲線基本重合，這說明圓柱殼到邊界的距離足夠遠，以至于邊界對表面輻射聲功率的影響可以忽略。根據(jù)上一小節(jié)分析可知當圓柱殼離邊界的距離超過臨界值(三倍半徑)后無論是自由液面還是剛性壁面對圓柱殼振動的影響都可以忽略，而對于圓柱殼的表面聲壓，此時虛源距離實源足夠遠，對聲載荷的疊加作用十分微弱。從數(shù)學角度看，由式(22)的圓柱殼外表面徑向位移連續(xù)條件可知，表面聲壓由徑向位移(振速)決定，當振速一定時，表面聲壓也相應(yīng)保持穩(wěn)定，故此時表面輻射聲功率級近似于不受聲邊界約束的無限域狀態(tài)。

另外，分別對比圖8(b)和(c)以及圖8(d)和(e)可發(fā)現(xiàn)隨著距離增大，兩類組合聲邊界情況下的表面輻射聲功率級曲線趨向于無限域狀態(tài)，這點與前文分析是一致的，但是其變化程度有明顯不同：同樣距離時，HV情況下的表面輻射聲功率級與無限域狀態(tài)的差別明顯大于FV情況下二者的差別，聲功率級曲線峰點位置的提高和偏移都更加明顯。實際計算中，變換激勵力作用角度時，也表現(xiàn)出同樣的差異。這種現(xiàn)象反映了不同聲邊界條件對表面輻射聲功率的影響程度是不同的，無論是物理角度還是數(shù)學角度，其根源也是自由液面和剛性邊界產(chǎn)生了不同相位的虛源，前者為負，削弱了聲載荷的疊加作用；后者為正，增強了聲載荷的疊加作用。所以相對于無限域狀態(tài)，HV情況下的圓柱殼表面輻射聲功率隨距離變化更顯著。

2.4 復雜聲邊界對輻射聲場影響

在FV邊界條件下，令φ0=0，D和H分別保持為10R，使其中一個變化，可以看到圓柱殼輻射聲場中觀測點P(φ1=π/4，r1=50 m)的聲壓級在400 Hz內(nèi)隨H和D的變化如圖9所示。

(a)D=10R

(b)H=10R圖9 聲壓級隨頻率的變化Fig.9 The variation of SPL with frequencies

從圖9可看到復雜聲邊界條件下點P聲壓級隨H和D的變化十分明顯，當H和D很小時出現(xiàn)顯著峰值，而且這些峰值點緊靠在圖7顯示的共振頻率附近，這說明當圓柱殼靠近流域邊界時會在共振頻率處產(chǎn)生十分明顯的輻射噪聲。

同時，當H和D達到五倍半徑時，場點聲壓級仍然與十倍半徑時的場點聲壓級有顯著差別，這與表面聲壓的變化情況是明顯不同的，這是因為場點P到圓柱殼的距離遠大于H、D和R，使得r1～r4差別不大，由任意場點聲壓解析表達式(15)可知，p1～p4幅值處于同量級，虛源項的疊加作用是顯著的，而若是場點P落在圓柱殼表面，則r1明顯小于r2～r4，使得p2～p4幅值量級遠小于p1，虛源項的疊加作用微弱而可忽略。故對于整個輻射聲場而言，聲邊界的約束作用是不可忽視的。

3 結(jié) 論

本文基于殼體理論，運用鏡像原理和Graf加法定理提出一種解析方法，研究了自由液面(或水平水底)和垂直剛性壁面組成的復雜聲邊界約束下的水中無限長圓柱殼的聲振特性，得出如下結(jié)論：

(1)圓柱殼靠近邊界時，其振動和表面輻射聲功率明顯受到邊界影響，自由液面使其共振頻率增大而剛性壁面使之減小。

(2)圓柱殼靠近邊界過程中，相比于自由液面和垂直壁面組成的聲邊界，水平水底和垂直壁面組成的聲邊界會使其表面輻射聲功率峰值產(chǎn)生更顯著的提高和偏移。

(3)當圓柱殼遠離邊界超過幾倍半徑(文中算例臨界值是三倍半徑)時，其振動和表面輻射聲功率受復雜聲邊界影響很微弱，甚至可忽略，而復雜聲邊界對其輻射聲場的約束作用仍然很明顯。

(4)圓柱殼十分靠近邊界時，在共振頻率處會產(chǎn)生顯著聲壓峰值，提高了輻射噪聲的上限，這十分不利于水下結(jié)構(gòu)的隱蔽。