陳志君,杜群貴

(華南理工大學(xué) 機(jī)械與汽車工程學(xué)院,廣州 510640)

包裝行業(yè)中，具有綠色環(huán)保、紙材料可回收等優(yōu)點(diǎn)的瓦楞紙箱得到了大力推廣與支持[1]。為了適應(yīng)市場的需求，瓦楞機(jī)不斷向著高速化方向發(fā)展，而作為核心的壓力輥機(jī)構(gòu)，新型機(jī)構(gòu)也不斷出現(xiàn)，以適應(yīng)這一需求。文獻(xiàn)[2]研究了一種快速換輥機(jī)構(gòu)，當(dāng)需要維護(hù)、保養(yǎng)時，可以很容易實(shí)現(xiàn)壓力輥的更換。但早期的壓力輥機(jī)構(gòu)是采用氣缸、凸輪和限位桿的組合，通過生產(chǎn)人員基于經(jīng)驗(yàn)調(diào)整凸輪與限位桿的接觸位置使壓力輥保持合理的壓力，長期以來效果并不理想，難以滿足產(chǎn)品的性能要求，而且調(diào)整效率較慢[3]。為了克服以上缺點(diǎn)，出現(xiàn)了皮囊氣缸、電動推桿和頂桿的組合結(jié)構(gòu)，通過控制電動推桿可快速實(shí)現(xiàn)對壓力輥位置的調(diào)節(jié)，但由于皮囊氣缸壓力及頂桿剛度不夠，造成壓力輥的振動過大，電動推桿容易損壞[4]。最近，市場發(fā)展出了一種新型的壓力輥機(jī)構(gòu)，通過伺服電動缸、偏心輪調(diào)節(jié)壓力輥位置，并在皮囊氣缸與液壓缸的共同作用下，以減少壓力輥的振動。本文將對該新型機(jī)構(gòu)展開振動特性的分析。

瓦楞紙板的黏合強(qiáng)度與壓力輥的振動有著密切的關(guān)系，若振動幅值過大，會使瓦楞紙板形成高低坑(壓痕深一條淺一條的現(xiàn)象)，嚴(yán)重影響了瓦楞紙板的黏合強(qiáng)度。針對瓦楞機(jī)的振動問題，眾多學(xué)者開展了相關(guān)研究。文獻(xiàn)[5]對瓦楞輥與壓力輥的中心距進(jìn)行了分析，建立了中心距的數(shù)學(xué)方程，計(jì)算了中心距變動的加速度大小。文獻(xiàn)[6]研究了單面瓦楞機(jī)的共振情況，分析表明當(dāng)線速度達(dá)到180 m/min時，共振非常劇烈，生產(chǎn)出的紙板質(zhì)量很差。文獻(xiàn)[7]將上、下瓦楞輥簡化為單自由度振動系統(tǒng)，把上、下瓦楞輥嚙合過程中理想中心距的變動量作為位移激勵，求得了瓦楞輥的動態(tài)響應(yīng)。文獻(xiàn)[8]對舊式的壓力輥機(jī)構(gòu)進(jìn)行了動力學(xué)建模，分析了機(jī)構(gòu)產(chǎn)生共振的原因，但并沒有對振動響應(yīng)作出定量的分析。本文對國內(nèi)某種瓦楞機(jī)的新型壓力輥機(jī)構(gòu)進(jìn)行了動力學(xué)建模，求得了壓力輥的振動響應(yīng)，通過振動測試進(jìn)行驗(yàn)證，并和舊式機(jī)構(gòu)進(jìn)行了對比。最后，對壓力輥機(jī)構(gòu)進(jìn)行改進(jìn)，進(jìn)一步減少了壓力輥的振動。

1 壓力輥機(jī)構(gòu)振動系統(tǒng)建模

圖1是目前市場上新出現(xiàn)的一種壓力輥機(jī)構(gòu)的工作原理圖，通過伺服電動缸、偏心輪組合結(jié)構(gòu)可對壓力輥的位置實(shí)現(xiàn)快速、精準(zhǔn)的調(diào)節(jié)，液壓缸的加壓作用則進(jìn)一步減少了壓力輥的振動。壓力輥支架是與皮囊氣缸、液壓缸相連，可繞著固定鉸鏈擺動，以適應(yīng)工作過程中壓力輥與上瓦楞輥周期性變化的中心距，這是造成壓力輥振動的主要原因。工作時，原紙經(jīng)過上、下瓦楞輥的嚙合，形成帶有瓦楞的芯紙并包裹在上瓦楞輥上，在上漿輥的作用下，使波峰被均勻地涂上膠，最后與面紙?jiān)趬毫伜线m的壓力下黏合成單面瓦楞紙板。

1-皮囊氣缸;2-導(dǎo)紙輥;3-壓力輥;4-壓力輥支架;5-偏心輪;6-伺服電動缸;7-液壓缸;8-上瓦楞輥;9-上漿輥
圖1 壓力輥機(jī)構(gòu)工作原理圖
Fig.1 The principle graph of pressure roller mechanism

根據(jù)圖1工作原理圖可得到機(jī)構(gòu)的彈簧-質(zhì)量-阻尼模型，為4個轉(zhuǎn)動自由度，見圖2。壓力輥通過軸承與壓力輥支架相連，通過皮囊氣缸1、8(等效剛度為K1，阻尼為C1)的加壓，伺服電動缸4、11(等效剛度為K22，阻尼為C22)對偏心輪3、10(偏心輪與壓力輥支架的接觸剛度等效為K21，阻尼為C21)位置的調(diào)節(jié)，最后在液壓缸5、12(等效剛度為K3，阻尼為C3)的作用下，使壓力輥與上瓦楞輥之間保持合理的壓力，保證瓦楞紙板的黏合質(zhì)量。上瓦楞輥為主動輥，圖1的局部放大圖顯示了上瓦楞輥與壓力輥的嚙合過程，并將上瓦楞輥與壓力輥的嚙合等效為接觸剛度K4。由于不符合漸開線齒廓嚙合原理，嚙合過程中的中心距是呈周期性變化的，使壓力輥產(chǎn)生振動沖擊。

1、8-皮囊氣缸;2、9-壓力輥支架;3、10-偏心輪;4、11-伺服電動缸;5、12-液壓缸;6-壓力輥;7-壓力輥與上瓦楞輥的嚙合
圖2 壓力輥機(jī)構(gòu)彈簧-質(zhì)量-阻尼模型
Fig.2 The spring mass damping model of pressure roller mechanism

本文只關(guān)注壓力輥的振動特性，可對壓力輥機(jī)構(gòu)進(jìn)行合理的簡化。將伺服電動缸、偏心輪看成一個整體結(jié)構(gòu)，根據(jù)系統(tǒng)的能量守恒可得到等效后的剛度為

(1)

伺服電動缸的剛度由內(nèi)部的滾珠絲桿所提供，阻尼系數(shù)C22很小，在此忽略不計(jì)，只考慮偏心輪與壓力輥支架的接觸阻尼C21，因此，簡化后的C2=C21。接觸阻尼的大小與兩接觸物體的相對速度和切入的深度有關(guān)[9]，為了提高上瓦楞輥和壓力輥的抗磨損能力，輥體材料采用具有超高硬度的48CrMo，振動過程中，其切入深度和相對速度都較小，所產(chǎn)生的阻尼力與接觸力相比可忽略不計(jì)，只需考慮兩輥之間的接觸剛度所產(chǎn)生的接觸力即可。簡化后的模型變成了兩自由度的振動系統(tǒng)，見圖3。

1.1 振動系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型

簡化后的壓力輥機(jī)構(gòu)的振動系統(tǒng)，一共具有兩個自由度，分別為θ1，θ2，根據(jù)拉格朗日的理論來建立系統(tǒng)的振動微分方程，考慮到阻尼引起的熱能耗散[10]，n自由度系統(tǒng)的拉格朗日方程可寫為

(2)

1、6-皮囊氣缸;2、7-伺服電動缸與偏心輪等效機(jī)構(gòu);3、8-液壓缸;4-壓力輥;5-壓力輥與上瓦楞輥的嚙合;9、10-壓力輥支架
圖3 壓力輥機(jī)構(gòu)簡化模型
Fig.3 The simplified model of pressure roller mechanism

(3)

壓力輥的動能和勢能

其中，M1為壓力輥的質(zhì)量，J1為壓力輥相對于質(zhì)心的轉(zhuǎn)動慣量。

左端壓力輥支架的動能、勢能和耗散能

右端壓力輥支架的動能、勢能和耗散能

其中，J2為壓力輥支架相對鉸鏈的轉(zhuǎn)動慣量。

分別把壓力輥機(jī)構(gòu)各部分的動能、勢能，以及耗散能代入L=T-U和D中，再代入式(2)中，可得到壓力輥機(jī)構(gòu)系統(tǒng)標(biāo)準(zhǔn)的振動微分方程

(4)

式中：M為質(zhì)量矩陣；C為阻尼矩陣；K為剛度矩陣，以及P(t)和θ分別為

1.2 系統(tǒng)振動模型求解

(1)液壓缸等效剛度K3、等效阻尼C3的確定

剛度K3的大小與液壓油的體積彈性模量有關(guān)，可根據(jù)式K3=GA/L計(jì)算得到[12]，其中A為液壓缸的工作面積，L為液壓缸一端油液的液柱長度，G為液壓油的體積彈性模量，在一定范圍內(nèi)會隨著工作壓力升高而增大[13]。C3為黏性阻尼，嚴(yán)格意義上來說與P、V、T都有關(guān)系，但P、V對它影響較小，且實(shí)際的動態(tài)過程可視為等溫過程，可把液壓缸的黏性阻尼視為常數(shù)，一般通過實(shí)驗(yàn)測試得到，根據(jù)文獻(xiàn)[14]，相同尺寸型號的液壓缸阻尼可取C3=1.325 5×104Ns/m。

(2)接觸剛度K21、K4，接觸阻尼C21確定

根據(jù)廣義的Hertz接觸理論來計(jì)算接觸剛度[15]和接觸阻尼[16]的大小

(5)

(6)

式(5)中：R1和R2分別為兩個接觸體的曲率半徑；E1、μ1和E2、μ2分別是兩個接觸體的彈性模量、泊松比。式(6)中K為接觸剛度，e取值為0.5，為碰撞過程的恢復(fù)系數(shù)，v0為物體發(fā)生碰撞時的初始相對速度，δ為碰撞過程中的兩物體相對變形量，m為兩接觸體的綜合質(zhì)量。對于本研究中接觸體材料的參數(shù)見表1。

表1 接觸物體材料具體參數(shù)Tab.1 The specific parameters of contact body

將數(shù)據(jù)代入式(5)和式(6)中，可求得K4=7.433×109N/m，K21=5.375×1010N/m，C21=4.292×105Ns/m。

壓力輥振動的過程中，偏心輪與壓力輥支架并不是一直接觸的，當(dāng)伺服電動缸調(diào)整好后，在皮囊氣缸和液壓缸的加壓作用下，偏心輪會存在一定的預(yù)壓縮量，使得壓力輥支架向下轉(zhuǎn)動角度θe，當(dāng)θ>θe時，偏心輪與壓力輥支架分離，當(dāng)θ≤θe時，偏心輪與壓力輥支架接觸，因此，壓力輥機(jī)構(gòu)是含有間隙的碰撞振動系統(tǒng)，具有很強(qiáng)的非線性和不連續(xù)性。含有非線性因素的振動系統(tǒng)求解會變得非常的困難，可根據(jù)線性平均法[17]對其進(jìn)行線性化的處理，由于振動角位移引起的非線性因素如下所示

(7)

式(7)中A為壓力輥振動角位移幅值，為了便于對K21進(jìn)行線性化的計(jì)算，這里設(shè)振動角位移θ=Acos(φ)，φ對應(yīng)于偏心輪變形得到的角度，與偏心輪的靜剛度有關(guān)，因此，剛度K21可表示為

(8)

(3)微分方程的求解

壓力輥機(jī)構(gòu)的固有頻率與阻尼沒有關(guān)系，只需令P(t)=0，就可以得到壓力輥機(jī)構(gòu)系統(tǒng)的自由振動方程

(9)

令行列式|K-ω2M|=0，可求得系統(tǒng)的固有頻率

(10)

通過測量與計(jì)算，壓力輥機(jī)構(gòu)的具體參數(shù)見表2。

表2 壓力輥機(jī)構(gòu)參數(shù)Tab.2 The parameters of pressure roller mechanism

將上述參數(shù)代入方程，可以求得固有頻率，再代入式(9)，可以計(jì)算得到正則振型矩陣

式(4)的振動方程中，存在著慣性耦合和彈性耦合項(xiàng)，不能直接進(jìn)行求解，可引進(jìn)正則坐標(biāo)和正則振型，使方程解耦，令：θ=Ψξ

那正則坐標(biāo)下的系統(tǒng)振動方程可寫成

(11)

其中

由此，可把式(11)寫成兩個相互獨(dú)立的單自由度振動方程

(12)

(13)

對式(12)、(13)進(jìn)行求解，可分別求得自由振動ξ1、強(qiáng)迫振動ξ2，再代入θ=Ψξ，可得到

對于自由振動ξ1，在穩(wěn)態(tài)階段已衰減為0，因此系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)階段的響應(yīng)為：θ1=θ2=ξ2，式(13)穩(wěn)態(tài)階段的響應(yīng)即為系統(tǒng)的解。

中心距是呈周期性變化的，周期T=2π/w0z，w0為上瓦楞輥的角速度，在一個周期內(nèi)，中心距的表達(dá)式為O1O2=R2cosα1+R2cosα2，其中，R1為上瓦楞輥齒頂圓弧的圓心所在圓的半徑，R2為壓力輥的半徑與上瓦楞輥齒頂圓弧半徑之和，由于R1與R2非常接近，因此，α1≈α2=w0t，中心距的表達(dá)式可寫成

O1O2=(R1+R2)cosα1=(R1+R2)cosω0t

進(jìn)一步可得到中心距變化量x0的表達(dá)式

x0=(R1+R2)-O1O2=

(R1+R2)(1-cosω0t)

(14)

把式(14)代入式(13)中，可以得到

K4L(R1+R2)(1-cosω0t)

(15)

式(15)的右邊并非簡諧函數(shù)的形式，需要對其進(jìn)行諧波分析，將激振力轉(zhuǎn)為一系列不同頻率的簡諧函數(shù)相加的形式，再使用疊加原理求得系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。

式(15)右邊經(jīng)諧波分析后可得

其中，ω1=2π/T=ω0z，此時令

可以得到系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)為

(16)

上式的二階微分即為穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的加速度

(17)

2 試驗(yàn)與實(shí)例分析

2.1 試 驗(yàn)

為了驗(yàn)證所建模型的準(zhǔn)確性，有必要對壓力輥進(jìn)行振動測試。瓦楞輥(輥型為C坑，齒數(shù)z=194)的線速度為v=180 m/min=3 m/s，R=0.248 75 m，嚙合頻率為f=vz/2πR=372.4 Hz。瓦楞機(jī)工作時，壓力輥隨著上瓦楞輥轉(zhuǎn)動同時，還繞著壓力輥支架擺動中心作上下振動。受到瓦楞機(jī)結(jié)構(gòu)和實(shí)驗(yàn)設(shè)備的限制，難以直接測量壓力輥支架的振動角加速度信號。因?yàn)閴毫佒Ъ茏冃螛O小，可看成是剛體，可以在壓力輥支架上安裝線加速度傳感器，測量該點(diǎn)的線加速度信號，如圖4所示(l=100 mm，為壓力輥支架上傳感器安裝位置與固定鉸鏈的距離)。根據(jù)ε=αl，將理論求解得到的角加速度轉(zhuǎn)化為線加速度，再與測試信號進(jìn)行對比，以驗(yàn)證模型的準(zhǔn)確性。實(shí)驗(yàn)中采用的是PCB壓電公司生產(chǎn)的NI數(shù)據(jù)采集器以及與之相配套的加速度傳感器?？紤]到上瓦楞輥與壓力輥的嚙合頻率，取采樣頻率為6 400 Hz，當(dāng)瓦機(jī)工作線速度穩(wěn)定時，采樣1 s。

圖4 壓力輥機(jī)構(gòu)振動測試實(shí)驗(yàn)Fig.4 Vibration test on pressure roller mechanism

2.2 數(shù)據(jù)分析

通過數(shù)據(jù)采集器采集到的振動信號數(shù)據(jù)往往疊加了隨機(jī)噪聲信號，還會因?yàn)闇y試儀器溫度的變化造成零點(diǎn)漂移而使信號含有不規(guī)則的趨勢項(xiàng)[18]。本文采用多項(xiàng)式擬合最小二乘法去除信號中的趨勢項(xiàng)，再使用五點(diǎn)三次平滑法對信號進(jìn)行預(yù)處理[19]，以消除原始信號中含有的高頻隨機(jī)噪聲，提高信號的平滑度，再將理論曲線與實(shí)驗(yàn)曲線進(jìn)行對比，見圖5。通過傅利葉變換對兩種方法得到的數(shù)據(jù)進(jìn)行頻譜分析，得到了頻譜圖，見圖6。

(a)1 s內(nèi)加速度曲線

(b)0.12 s附近放大圖圖5 振動加速度時域波形曲線Fig.5 The time domain waveform of vibration acceleration

從圖5可以看出，無論是波形還是幅值，實(shí)驗(yàn)測試加速度曲線與理論曲線都非常接近。相比理論曲線，實(shí)驗(yàn)測試的時域曲線波峰后半側(cè)有較為明顯的下降。這主要是因?yàn)樵诮⒛Ｐ瓦^程中，使用了線性平均法對偏心輪結(jié)構(gòu)與壓力輥支架的接觸剛度進(jìn)行了線性化的處理，計(jì)算到的剛度值是一個平均值。而在實(shí)際結(jié)構(gòu)中，由式(7)可知，當(dāng)壓力輥支架的振動角位移θ>θe，此時偏心輪結(jié)構(gòu)的實(shí)際剛度應(yīng)為零，在外部激勵作用下的實(shí)際加速度應(yīng)較小一些。當(dāng)機(jī)構(gòu)繼續(xù)向下振動，使得壓力輥支架與偏心輪結(jié)構(gòu)接觸時，會產(chǎn)生二次沖擊，使得實(shí)測加速度突然升高，然后再緩慢下降。但總體上，實(shí)測加速度曲線與理論曲線基本重合，兩者的誤差非常小，也由此證明了對模型進(jìn)行線性化處理的合理性。

(a)理論加速度頻譜

(b)實(shí)驗(yàn)加速度頻譜圖6 加速度頻譜Fig.6 Vibration acceleration frequency spectrum

由圖6可以發(fā)現(xiàn)，兩者的特征頻率成分幾乎是一致的，頻域上振動加速度的頻率成分主要包含了嚙合頻率(372 Hz)、兩倍頻以及三倍頻，更高次的倍頻成分幅值已接近于零。實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的兩倍頻和三倍頻成分幅值有所增大，這主要是因?yàn)橥呃銠C(jī)在工作一段時間后，壓力輥的表面和兩端的軸承會發(fā)生磨損，造成壓力輥偏心轉(zhuǎn)動，出現(xiàn)動不平衡，使得倍頻成分的幅值比理論頻譜有所變大。另外，由于條件的限制，測試現(xiàn)場的噪聲非常大，平滑處理只能消除高頻成分的隨機(jī)噪聲，對于低頻噪聲，尚沒有很好的算法進(jìn)行消除。因此，測試信號疊加的低頻隨機(jī)噪聲會使實(shí)驗(yàn)測得的幅值比理論解析求得的幅值有所變大。

3 分析與優(yōu)化

瓦楞機(jī)實(shí)際工作過程中，其線速度并不是固定的，一般可在120～190 m/min進(jìn)行調(diào)節(jié)，以適應(yīng)不同工況的需要。新型壓力輥機(jī)構(gòu)的振動情況與激振頻率緊密相關(guān)的，而激振頻率是與瓦楞輥的線速度成正比的。因此，瓦楞機(jī)的線速度是影響新型壓力輥機(jī)構(gòu)振動的主要因素之一，需要分析壓力輥機(jī)構(gòu)在瓦楞機(jī)常見的線速度范圍內(nèi)的振動情況。因此，作出了新型壓力輥機(jī)構(gòu)中壓力輥支架振動角加速度幅值、激振頻率隨著線速度變化的曲線，見圖7。

由圖7可以發(fā)現(xiàn)，隨著瓦楞機(jī)線速度的提高，振動會越來越劇烈，當(dāng)線速度達(dá)到165 m/min時，此時的激振頻率為341.3 Hz，與機(jī)構(gòu)的二階固有頻率非常接近，造成機(jī)構(gòu)的共振，振動加速度顯著增大。因此，在為瓦楞機(jī)選擇合理的線速度時，應(yīng)盡量避開壓力輥機(jī)構(gòu)共振區(qū)所對應(yīng)的線速度，以避免機(jī)構(gòu)振動過大。

圖7 振動角加速度幅值、激振頻率隨工作線速度的變化Fig.7 The variation amplitude of angular acceleration and excitation frequency with the speed of working line

為了驗(yàn)證新型壓力輥機(jī)構(gòu)的減振性能，有必要和舊式壓力輥機(jī)構(gòu)的振動特性進(jìn)行對比。舊式壓力輥僅僅由皮囊氣缸加壓，使用電動推桿、偏心軸調(diào)節(jié)頂桿的位置來實(shí)現(xiàn)對壓力輥的調(diào)節(jié)，其振動方程具有與式(11)相同的形式，將相關(guān)參數(shù)代入，使用MATLAB作出新舊壓力輥隨線速度變化的振動幅值曲線，如圖8所示。在共振區(qū)，舊式壓力輥的振動幅值明顯較大，嚴(yán)重影響了瓦楞紙板的黏合效果。采用新型壓力輥機(jī)構(gòu)，振動幅值由0.024 3 mm下降到了0.014 8 mm。

圖8 壓力輥振動幅值隨工作線速度的變化Fig.8 The variation amplitude of pressure roller with the speed of working line

為了避免壓力輥機(jī)構(gòu)在常見的線速度范圍內(nèi)發(fā)生共振，更好提升新型機(jī)構(gòu)的性能，本研究對新型壓力輥機(jī)構(gòu)進(jìn)行了進(jìn)一步的改進(jìn)。由式(10)可知，壓力輥機(jī)構(gòu)的固有頻率與剛度K2、K3有關(guān)。綜合考慮到結(jié)構(gòu)尺寸的限制和成本，增大偏心輪半徑到135 mm，增加L22到380 mm，可將剛度K2增大到3.861×109N/m。選用有效直徑更大液壓缸，增大缸徑到120 mm，增大工作壓力到10 MPa，可將剛度K3增大到3.25×108N/m。作出了機(jī)構(gòu)進(jìn)一步改進(jìn)后的壓力輥振動幅值曲線，見圖8。

從圖8可以發(fā)現(xiàn)，瓦楞機(jī)線速度在120～190 m/min之間變化時，新型壓力輥振動幅值顯著減少。并通過進(jìn)一步的優(yōu)化，提高了機(jī)構(gòu)的固有頻率，使得瓦楞機(jī)工作頻率帶繞開了機(jī)構(gòu)的共振頻率，并使振動幅值進(jìn)一步降低。受到瓦楞輥，壓力輥，以及輥兩端軸承磨損的影響，為避免出現(xiàn)嚴(yán)重的動不平衡，目前，該型號瓦楞機(jī)的線速度一般不會超過200 m/min，該減振方案是可行的。

4 結(jié) 論

對單面瓦楞機(jī)一種新型的壓力輥機(jī)構(gòu)進(jìn)行了動力學(xué)建模，根據(jù)廣義Hertz接觸理論計(jì)算模型中的接觸剛度和接觸阻尼的大小，考慮系統(tǒng)中非線性因素的影響，對模型進(jìn)行了線性化處理，求解得到了系統(tǒng)的振動響應(yīng)，并與振動測試得到的加速度信號進(jìn)行對比，驗(yàn)證了模型的準(zhǔn)確性。

最后對比了新舊壓力輥機(jī)構(gòu)的振動特性，并對新型壓力輥機(jī)構(gòu)進(jìn)一步優(yōu)化，通過增大剛度K2、K3提高了機(jī)構(gòu)的固有頻率，避開瓦楞機(jī)正常工作線速度下的激振頻率，避免了共振的發(fā)生，進(jìn)一步減少了壓力輥的振動幅值，提高了瓦楞紙板的成型質(zhì)量。