甘肅 茍 強(qiáng)

供求曲線是必修一《經(jīng)濟(jì)生活》中的一個教學(xué)難點(diǎn)，也是高考的一個熱點(diǎn)。近些年來，廣大教學(xué)界同仁對此進(jìn)行了諸多探討，探討的過程也是爭論的過程，遺憾的是，這些探討和爭論并未取得多少共識。

供求曲線理論是西方經(jīng)濟(jì)學(xué)的基礎(chǔ)理論，供給曲線和需求曲線是經(jīng)過嚴(yán)格的數(shù)學(xué)證明、推導(dǎo)而來的，不是憑空想象畫出來的。西方經(jīng)濟(jì)學(xué)的微觀經(jīng)濟(jì)學(xué)部分有一半的內(nèi)容就在證明和推導(dǎo)這兩條曲線，當(dāng)然，這遠(yuǎn)遠(yuǎn)超越了高中學(xué)生的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，也超出了我們高中教學(xué)的范疇。本文以高中數(shù)學(xué)為基礎(chǔ)，對供求曲線的移動做一簡化分析和通俗性解讀，主要為學(xué)生提供一個可理解的結(jié)論性認(rèn)識。大學(xué)西方經(jīng)濟(jì)學(xué)的教學(xué)是按照初級課程、中級課程和高級課程三個層次，經(jīng)過本科低年級、本科高年級和研究生三個階段漸次展開的，三級課程的區(qū)別主要在于所運(yùn)用數(shù)學(xué)知識的深度和難度不一樣。本文是基于高中數(shù)學(xué)的分析，可稱之為供求曲線的預(yù)備級課程。

一、供求曲線

市場對某種商品的需求取決于多種因素的影響，主要為該商品的價格、消費(fèi)者的收入水平、相關(guān)商品（替代品和互補(bǔ)品）的價格、消費(fèi)者的偏好和消費(fèi)者對該商品的價格預(yù)期等。也就是說，市場對某種商品的需求不僅取決于商品的價格，還受到其他眾多因素的影響，用數(shù)學(xué)語言表示就是，商品的需求不是一個一元函數(shù)，而是一個多元函數(shù)，即Q=f（P，Y，PR，Pre，Ex），Q表示需求，P表示該商品的價格，Y表示消費(fèi)者的收入水平，PR表示相關(guān)商品的價格，Pre表示消費(fèi)者的偏好，Ex表示消費(fèi)者對該商品的價格預(yù)期。但在西方經(jīng)濟(jì)學(xué)中，需求函數(shù)特指商品的需求與商品的價格之間的函數(shù)關(guān)系，換句話說，需求是關(guān)于價格的一元函數(shù)，并非關(guān)于眾多因素的多元函數(shù)，即Q=f（P），其中Q是因變量，表示需求；P是自變量，表示價格。這樣處理的潛在假設(shè)是，其他條件不變，即消費(fèi)者的收入水平、相關(guān)商品的價格、消費(fèi)者的偏好和消費(fèi)者對該商品的價格預(yù)期等因素均保持不變。

需求曲線是需求函數(shù)的幾何表示，是根據(jù)需求函數(shù)將需求與價格之間的各種對應(yīng)組合在平面直角坐標(biāo)系中繪制而成的一條曲線。在這里，需要特別明確兩個概念：需求量的變動和需求的變動。

需求量的變動。需求量的變動特指在其他條件不變的情況下，由價格變化所引起的需求的變化，其實(shí)質(zhì)是在需求函數(shù)中，自變量價格P變化后，因變量Q如何變化？表示在圖形上，就是需求曲線上點(diǎn)的移動。例如，在圖1中，P1減少為P2后，Q1增大為Q2，即A點(diǎn)向B點(diǎn)的移動。

圖1

需求的變動。需求的變動特指在價格不變的情況下，由其他因素變化所引起的需求的變化，表示在圖形上，就是需求曲線的移動。例如，在圖1中，需求曲線由D1右移至D2，表示由于其他因素變化，引起需求增加，因?yàn)樵趦r格保持P1（P1為任意點(diǎn)）不變的情況下，D2上與P1相對應(yīng)的點(diǎn)大于D1上與P1相對應(yīng)的點(diǎn)Q1。需求曲線由D1左移至D3，表示由于其他因素變化所引起的需求的減少，因?yàn)樵趦r格保持P1（P1為任意點(diǎn)）不變的情況下，D3上與P1相對應(yīng)的點(diǎn)小于D1上與P1相對應(yīng)的點(diǎn)Q1。

供給曲線與需求曲線大體類似，在此僅作簡要介紹。

影響市場對某商品供給的因素主要為該商品的價格、生產(chǎn)的成本、生產(chǎn)的技術(shù)水平、相關(guān)商品的價格和生產(chǎn)者對該商品的價格預(yù)期。某種商品的市場供給是所有這些影響因素的函數(shù)，即供給函數(shù)實(shí)際上也是一個多元函數(shù)。但如果假定其他條件不變，僅考慮價格變化對其供給的影響，即把某種商品的供給僅看作是該商品價格的函數(shù)，則此時供給就是關(guān)于價格的一元函數(shù)。如同需求曲線一樣，供給曲線是供給函數(shù)的幾何圖示，是根據(jù)供給函數(shù)把供給與價格之間的各種對應(yīng)組合在平面直角坐標(biāo)系中連接而成的一條光滑曲線。無論是需求曲線，還是供給曲線，既可以是直線狀，也可以是曲線狀，但為了降低難度和分析問題方便，在高中階段的教學(xué)中，我們一般都選取直線狀。需求函數(shù)是對商品價格變動和商品需求變動之間規(guī)律的數(shù)學(xué)化表達(dá)，同理，供給函數(shù)反映的是商品價格變動與商品供給變動之間的規(guī)律。需求函數(shù)和供給函數(shù)是把這些規(guī)律抽象化成數(shù)學(xué)形式，而需求曲線和供給曲線則是把這些規(guī)律圖示化、可視化。與需求曲線一樣，此時，仍有兩個需要特別加以區(qū)分的概念：供給量的變動和供給的變動。簡言之，供給量的變動表現(xiàn)為點(diǎn)的移動，供給的變動表現(xiàn)為線的移動。進(jìn)一步說，供給量的變動是指在其他條件不變的情況下，由商品價格變動所引起的商品供給的變動。在幾何圖示中表現(xiàn)為供給曲線上的某一點(diǎn)沿著供給曲線運(yùn)動到另一點(diǎn)。供給的變動則指在商品價格不變的條件下，由其他因素變動所引起的商品供給的變動，在幾何圖示中表現(xiàn)為供給曲線本身發(fā)生位移。

二、數(shù)學(xué)解讀

需求曲線的難點(diǎn)主要在于：需求量的變動和需求的變動，解決這一難題的關(guān)鍵是函數(shù)的幾何圖示。在理論上，多元函數(shù)的自變量可以有無數(shù)個，即y=f（x1，x2…xn），但當(dāng)函數(shù)的自變量超過兩個時，就沒有辦法進(jìn)行幾何圖示。因?yàn)楹瘮?shù)是一元函數(shù)時，即y=f（x）時，我們可以在平面直角坐標(biāo)系中對其進(jìn)行幾何圖示；函數(shù)為二元函數(shù)時，即z=f（x，y）時，我們可以在空間直角坐標(biāo)系中對其進(jìn)行幾何圖示；函數(shù)為三元函數(shù)時，即y=f（x1，x2，x3）時，我們就無法對其進(jìn)行幾何圖示。

對于一元函數(shù)y=f（x），如果我們要研究自變量x的變化對因變量的影響，一般是求其導(dǎo)數(shù)。導(dǎo)數(shù)大于0，則y與x同向變化，即y隨x的增大而增大，隨x的減小而減小；導(dǎo)數(shù)小于0，則y與x反向變化，即y隨x的增大而減小，隨x的減小而增大。對于多元函數(shù)y=f（x1，x2…xn），如果我們研究其中某個自變量xi（i=1，2…n）的變化對因變量y的影響，應(yīng)該怎么辦？其實(shí)，方法和一元函數(shù)是一樣的，即將除xi之外的其他自變量視為常量，然后求y對xi的導(dǎo)數(shù)，專業(yè)術(shù)語稱之為“偏導(dǎo)數(shù)”。在經(jīng)濟(jì)學(xué)的研究中，我們經(jīng)常會見到諸如“在其他條件不變的情況下”這樣的說法。所謂“其他條件不變”，其數(shù)學(xué)含義如下：對于多元函數(shù)y=f（x1，x2…xn），如果要求y對xi（i=1，2…n）的偏導(dǎo)數(shù)，除xi（i=1，2…n）之外的所有其他自變量即是“其他條件”，其他條件不變就是除xi（i=1，2…n）之外的所有其他自變量視為常數(shù)。

現(xiàn)實(shí)中，在研究因果關(guān)系時，我們會常碰到兩種類型的因果關(guān)系，即一因一果和多因一果。一因一果對應(yīng)的就是數(shù)學(xué)上的一元函數(shù)，多因一果對應(yīng)多元函數(shù)，多因一果更為多見。對于多因一果事件，多因聯(lián)動影響結(jié)果的情況更為常見，如果多因聯(lián)動，結(jié)果又會如何呢？把這個問題轉(zhuǎn)換成數(shù)學(xué)語言就是，仍然以二元函數(shù)z=f（x，y）為例，x、y同時變動，z如何變動？這個問題在數(shù)學(xué)上也有辦法，即求全微分。當(dāng)然，這遠(yuǎn)超出了初等數(shù)學(xué)和高中教學(xué)的范疇，本文只是略微提及，不做探討。對于多因一果事件，高中階段的教學(xué)和考試，還是以他因未變，一因變動對結(jié)果的影響為主。

下面以一個有具體函數(shù)解析式的二元函數(shù)為例來說明。假設(shè)z=f（x，y）=x+y2（y＞0），求z對x的偏導(dǎo)數(shù)時，視y為某常數(shù)b，則z=f（x，y）=x+y2=x+b=f（x），即二元函數(shù)實(shí)際上就轉(zhuǎn)化為一元函數(shù)，轉(zhuǎn)化后的一元函數(shù)就可以在平面直角坐標(biāo)系上進(jìn)行圖示。如圖2所示：

圖2

那么，在這個平面函數(shù)圖像中，沒有自變量y對應(yīng)的軸，如何看出自變量y變化對因變量z的影響呢？具體做法是，根據(jù)函數(shù)解析式z=x+y2，求z對y的偏導(dǎo)數(shù)=2y，由于y＞0，所以，=2y＞0，故當(dāng)x保持不變，y變動時，z與y同向變動，即y增大時，z也隨之增大，在函數(shù)圖像上就表現(xiàn)為曲線上移。例如，當(dāng)x保持x=x0不變時，y由b增加為b1時，函數(shù)就由x+b上移至x+b1，y由b減少為b2時，函數(shù)就由x+b下移至x+b2。這種方法的優(yōu)點(diǎn)是，把三維空間上的函數(shù)圖像轉(zhuǎn)化為二維空間上的函數(shù)圖像，更加直觀，可視化效果更好。y=x+b這個函數(shù)隨參數(shù)b的變化上下移動，在初中數(shù)學(xué)中就學(xué)習(xí)過，所以在教學(xué)中選用y=x+b作為范例，學(xué)生較為熟悉，教學(xué)效果較好。

需求函數(shù)Q=f（P）的移動常表現(xiàn)為左移和右移，因?yàn)樵谛枨蠛瘮?shù)的圖示中，習(xí)慣把自變量P放在縱軸上，因變量Q放在橫軸上。此種表示方法雖有悖于數(shù)學(xué)常規(guī)，但也只是經(jīng)濟(jì)學(xué)的傳統(tǒng)，并無其他特殊含義。

三、解題策略

在有關(guān)供求曲線移動的高考試題中，線的移動是考查的重點(diǎn)。我們學(xué)過的需求函數(shù)Q=f（P）是需求對價格的一元函數(shù)，但考題往往會給定一個除價格之外的自變量，要求考生分析該變量變化對需求的影響并圖示出來。這其實(shí)就是本文第二部分所討論的求偏導(dǎo)和函數(shù)圖像平面轉(zhuǎn)換問題。由于題目一般不會給出函數(shù)的具體解析式，故無法求偏導(dǎo)，我們會選擇一個替代性的辦法代替求偏導(dǎo)，即通過題中給定的信息運(yùn)用專業(yè)知識判斷該變量對需求的影響。

仍以實(shí)例來說明。例如，某商品的需求函數(shù)Q=f（P），該商品的替代品價格Palter下降時，該商品的需求如何變動？需求曲線如何移動？在此例中，影響該商品需求的因素實(shí)際上有兩個，即其自身的價格P和其替代品的價格Palter，故原需求函數(shù)可拓展為升級版的需求函數(shù)Q=f（P，Palter），即Q是關(guān)于P和Palter的二元函數(shù)。此時，當(dāng)Palter變化時，求Q的變化并不用求偏導(dǎo)數(shù)，而是根據(jù)專業(yè)知識即可判斷。由于Q和Palter同向變動，Palter增大時，Q增大，Palter減小時，Q減小。對應(yīng)在函數(shù)圖像上，就是P保持P0（P0為需求曲線上的任意點(diǎn)）不變，Palter增大時，函數(shù)圖像右移，Palter減小時，函數(shù)圖像左移。在探討Palter變化對Q的影響時，務(wù)必保持P不變。如圖3所示：

圖3

馬克思認(rèn)為：“一種科學(xué)只有在成功地運(yùn)用數(shù)學(xué)時，才算達(dá)到了真正完善的地步?！笨茖W(xué)精神是思想政治學(xué)科的四大核心素養(yǎng)之一，是基礎(chǔ)性素養(yǎng)，也是達(dá)成其他素養(yǎng)的基本條件。因此，無論是從教學(xué)的角度講，還是從培養(yǎng)學(xué)生科學(xué)精神的要求來看，對數(shù)學(xué)的刻意回避無疑是有害的。在對供求曲線既往的探討和爭論中，大家的功夫主要花在了曲線上，但對曲線背后的函數(shù)并沒有作深入探討，要知道供求曲線只是供求函數(shù)的圖形化，圖形是由函數(shù)決定的，沒有函數(shù)，何來圖形？這種浮于表面而不求根本的做法，其根源在于思政課教師對數(shù)學(xué)的天然抵觸，遇著數(shù)學(xué)繞道走。比數(shù)學(xué)之難更可怕的是這種對數(shù)學(xué)不友好的情感。畢竟，高中教學(xué)是以高中學(xué)生所學(xué)習(xí)的初等數(shù)學(xué)為基礎(chǔ)的，而我們絕大多數(shù)人都是經(jīng)歷過高考的人，有些甚至還學(xué)習(xí)過高等數(shù)學(xué)。所以，問題不在于數(shù)學(xué)知識不夠，即使數(shù)學(xué)知識欠缺，也可以再學(xué)，或者跨學(xué)科協(xié)同，向數(shù)學(xué)教師求助，關(guān)鍵是我們要克服對數(shù)學(xué)的恐懼。如果這種對數(shù)學(xué)持有偏見的傳統(tǒng)得不到改良，很多科學(xué)很有可能會在我們的思政課堂上異化為偽科學(xué)，學(xué)生科學(xué)素養(yǎng)的培養(yǎng)也將淪為空洞的口號。進(jìn)入核心素養(yǎng)的新時代，作為思政課教師，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)、應(yīng)用數(shù)學(xué)是專業(yè)發(fā)展的重要內(nèi)容。