范樂(lè)樂(lè), 王五生, 鐘 華

(河池學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院, 廣西 宜州 546300)

Gronwall-Bellman[1-2]為了研究微分方程的解對(duì)參數(shù)的連續(xù)依賴性考慮了下面的積分不等式

其中c≥0是常數(shù),給出了未知函數(shù)的估計(jì)

(1)

人們發(fā)現(xiàn)Gronwall-Bellman型積分不等式及其推廣形式是研究微分方程、積分方程和微分-積分方程解的存在性、有界性和唯一性等定性性質(zhì)的重要工具,因此致力于研究它的各種推廣形式,使它的應(yīng)用范圍不斷的擴(kuò)大.大部分?jǐn)?shù)學(xué)工作者研究積分號(hào)內(nèi)不含未知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的積分不等式[3-12].由于積分號(hào)內(nèi)包含未知函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)的積分不等式在研究微分-積分方程中具有重要作用,Pachpatte[13]研究了下面的積分號(hào)內(nèi)含有未知函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)的線性積分不等式

t∈R+,

(2)

和

(3)

Akin-bohner等[14]在此基礎(chǔ)上進(jìn)一步研究了時(shí)標(biāo)上的線性積分不等式

t∈T0,

(4)

和

uΔ(t)≤a(t)+b(t)(u(t)+

(5)

Zareen[15]更進(jìn)一步研究了積分號(hào)內(nèi)含有未知函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)的非線性積分不等式

t∈R+.

(6)

本文受文獻(xiàn)[13-15]的啟發(fā),研究了積分號(hào)外具有非常數(shù)因子,且積分號(hào)內(nèi)含有未知函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)的非線性積分不等式

u2(s))ds),t∈R+.

(7)

不等式(7)把文獻(xiàn)[13]中的不等式(3)推廣成非線性積分不等式,把文獻(xiàn)[15]中的不等式(6)推廣成積分號(hào)外具有非常數(shù)因子的積分不等式.本文給出了不等式(7)中未知導(dǎo)函數(shù)的估計(jì),舉例說(shuō)明了本文結(jié)果可以用來(lái)研究相應(yīng)類型的微分-積分方程解的性質(zhì).

1 主要結(jié)果與證明

為了簡(jiǎn)化本文主要結(jié)果的證明過(guò)程,先給出一個(gè)引理.

引理 1假設(shè)函數(shù)u(t)、a(t)、b(t)、c(t)、d(t)都是定義在R+=[0,∞)上的非負(fù)連續(xù)函數(shù),且滿足不等式

d(t)u3(t),t∈R+.

(8)

如果u(0)>0,

則有未知函數(shù)u(t)的估計(jì)式

證明先把不等式(8)中的t改寫成s,然后兩邊關(guān)于s從0到t積分,得到

對(duì)于任意非負(fù)實(shí)數(shù)T,由不等式(10)可以看出

把不等式(11)右端定義成函數(shù)v(t),即

由定義式(12)可以看出

t∈[0,T].

(13)

求函數(shù)v(t)的導(dǎo)函數(shù)得

b(t)v(t)+c(t)v2(t)+d(t)v3(t),t∈[0,T]. (14)

不等式(14)兩邊同除以v(t)得到

t∈[0,T].

(15)

先把不等式(15)中的t改寫成s,然后兩邊關(guān)于s從0到t積分,得到

(16)

把不等式(16)的右端定義為函數(shù)w1(t),即

(17)

由(16)和(17)式可以看出w1(t)是非負(fù)連續(xù)增函數(shù),且滿足

v(t)≤ew1(t),t∈[0,T].

(18)

求函數(shù)w1(t)的導(dǎo)數(shù)得到

c(t)ew1(t)+d(t)e2w1(t),t∈[0,T]. (19)

不等式(19)兩邊同乘以-e-w1(t)得到

t∈[0,T].

(20)

先把不等式(20)中的t改寫成s,然后兩邊關(guān)于s從0到t積分,得到

t∈[0,T].

(21)

把不等式(21)的右端定義為函數(shù)w2(t),即

t∈[0,T].

(22)

可以看出

(23)

求函數(shù)w2(t)的導(dǎo)數(shù)

t∈[0,T],

(24)

不等式(24)兩邊同乘以w2(t)得到

(25)

把不等式(25)兩邊積分得到

由(13)、(18)、(23)和(26)式,推出

在(27)式中令t=T,得到

(28)

由于T的任意性,(28)式可以寫成

u(t)≤((exp(-(ln(u(0)+

(30)

則有未知導(dǎo)函數(shù)的估計(jì)式

(31)

證明由不等式(7)定義函數(shù)m(t),

u2(s))ds,t∈R+.

(32)

由不等式(7)和(32)式可以看出

m(0)=u(0),u(t)≤m(t)

(33)

和

(34)

求函數(shù)m(t)的導(dǎo)數(shù)

f(t)+g(t)m(t)+h(t)(f(t)+g(t)m(t))2+

h(t)(f(t)+g(t)m(t))m2(t)=

f(t)+h(t)f2(t)+(g(t)+2h(t)f(t)g(t))m(t)+

(h(t)g2(t)+h(t)f(t))m2(t)+

h(t)g(t)m3(t),t∈R+.

(35)

把引理應(yīng)用于不等式(35)得到

(36)

由(34)和(36)式得到所求的估計(jì)(31)式.

2 應(yīng)用

本文結(jié)果可以用來(lái)研究相應(yīng)類型的微分-積分方程解的性質(zhì).現(xiàn)在考慮微分-積分方程

x(0)=c.

(37)

推論 1假設(shè)|c|是正常數(shù),H∈C(R×R×R,R)滿足下列條件

(38)

f(t)、g(t)、h(t)滿足定理的要求.如果x(t)是方程(37)的解,那么有方程解的模的估計(jì)式

(39)

證明利用條件(38),由方程(37)推出

t∈R+.

(40)

由于(40)式具有不等式(7)的形式,且滿足定理中的相應(yīng)條件,利用定理就可以得到所求的方程解的模的估計(jì)式(39).