孫 旻, 張克磊

(桂林電子科技大學(xué) 數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院, 廣西 桂林 541004)

非線性波動(dòng)方程及其行波解的研究在物理學(xué)的許多領(lǐng)域中有非常重要的作用.本文研究短脈沖方程行波解的波長(zhǎng),其一般形式如下

(1)

將方程(1)寫成如下形式

(2)

本文研究下列形式的行波解

u(x,t)=φ(x+ct),

(3)

其中c為波的傳播速度.將方程(3)代入方程(2),可以得到對(duì)應(yīng)的方程

cφ″-βφ2φ″-2βφ(φ′)2-αφ=0.

(4)

關(guān)于平面多項(xiàng)式微分系統(tǒng)的周期函數(shù)的研究已有諸多成果[5-12].然而,關(guān)于非線性波動(dòng)方程的周期波的周期函數(shù)的研究成果甚少[13-15].眾所周知,非線性微分方程的周期解的研究在許多物理領(lǐng)域有著非常重要的作用.Chen等[13]研究了φ6模型的周期波解的周期函數(shù)的臨界周期,Geyer等[14]研究了Camassa-Holm方程的周期行波解的波長(zhǎng),郭麗娜等[15]研究了Vakhnenko方程的光滑周期波的波長(zhǎng);而本文主要研究方程(1)在α<0,β>0或β<0時(shí),短脈沖方程的周期函數(shù)單調(diào)性.

1 短脈沖方程的行波解

方程(4)的對(duì)應(yīng)行波系統(tǒng)，由下式給出

(5)

(6)

圖 1 當(dāng)α<0,β>0時(shí),系統(tǒng)(5)的相圖

圖 2 當(dāng)α<0,β<0時(shí),系統(tǒng)(5)的相圖

系統(tǒng)(6)的首次積分為

令

B(φ)=(c-βφ2)2,

因此,將首次積分(7)可寫成以下形式

H(φ,y)=A(φ)+B(φ)y2.

(8)

令H(φ,y)=h，這里的h是一個(gè)積分常數(shù),

h0=H(0,0)=0，

根據(jù)動(dòng)力系統(tǒng)的理論,二階微分方程(4)的每一個(gè)光滑周期解φ相當(dāng)于系統(tǒng)的一個(gè)周期軌道.而每一個(gè)周期軌道γh都被包含在能量層{(φ,y):H(φ,y)=h}中并且周期軌道為

(9)

函數(shù)T(h)就是本文中的周期函數(shù).所以如果計(jì)算出周期T關(guān)于h的導(dǎo)數(shù),便可以得到周期函數(shù)的單調(diào)性和臨界點(diǎn)的個(gè)數(shù).

2 光滑周期波的波長(zhǎng)

下面研究短脈沖方程(1)的光滑周期行波解的周期T對(duì)能量水平h的依賴性.由文獻(xiàn)[14-15]知,在流體力學(xué)中,周期波解的周期對(duì)應(yīng)的周期波的波長(zhǎng),即相鄰2個(gè)波峰之間的距離,一般記為λ.另一方面,波峰與波谷之間的距離稱為波高,記為a,見(jiàn)圖3.下面給出理論與數(shù)值分析周期函數(shù)T(h)與波長(zhǎng)函數(shù)λ(a)的性質(zhì).

圖 3 波長(zhǎng)為λ和波高為a的光滑周期波

命題 2.1若c>0并且β>0,則周期函數(shù)

(10)

是嚴(yán)格單調(diào)遞減的，并且滿足

(11)

證明因?yàn)?/p>

是沿著軌道γh的常數(shù),因此

(12)

為了得到周期T關(guān)于h的導(dǎo)數(shù),可以首先對(duì)(12)式的第二個(gè)積分做一個(gè)變換.由于周期軌道γh屬于能量層{(φ,y):H(φ,y)=h},因此

(13)

(14)

令

(15)

(16)

此時(shí)，被積函數(shù)在拐點(diǎn)處不再是奇異的,軌線γh與水平軸相交.因此對(duì)(12)式關(guān)于h進(jìn)行求導(dǎo)可以得到

其中

(18)

通過(guò)(17)式,得到

(19)

將

B(φ)=(c-βφ2)2

代入(19)式,做進(jìn)一步計(jì)算便可得到

(20)

由于向量場(chǎng)關(guān)于水平軸對(duì)稱,再根據(jù)首次積分,可以得到

(21)

而當(dāng)β<0時(shí),φ∈(-∞,+∞),其單調(diào)性的證明過(guò)程與上述內(nèi)容一致,由于c-βφ2>0,依然可以得到(21)式,此時(shí)T′(h)>0.

(22)

并且

(23)

證明利用(7)式,可以把(9)式化為如下形式

(24)

其中拐點(diǎn)φ±是A(φ±)=h的根.為了證明(22)式,使用伸縮變換

把它代入到(24)式中立即得到一個(gè)新的積分

注意到,當(dāng)h→0時(shí),μ→0,y±→±1,根據(jù)勒貝格控制收斂定理,可以得到

μ→0.

即(22)式得證.

如果h→hs,那么

根據(jù)勒貝格控制收斂定理,可以得到

即(23)式得證,且所證2條極限曲線如圖4所示.

圖 4 光滑周期波在參數(shù)平面(T,c)中的2條極限曲線的存在區(qū)間

參考文獻(xiàn)[14-15]可知二階微分方程(4)的光滑周期解的波長(zhǎng)相當(dāng)于系統(tǒng)的周期軌道的周期.因此結(jié)合命題2.1和2.2,可以給出周期函數(shù)T(h)與對(duì)應(yīng)波長(zhǎng)函數(shù)λ(a)的圖形,見(jiàn)圖5～8.

圖 5 當(dāng)α<0,β>0時(shí),周期函數(shù)T(h)的圖形

圖 6 當(dāng)α<0,β>0時(shí),波長(zhǎng)函數(shù)λ(a)的圖形

圖 7 當(dāng)α<0,β<0時(shí),周期函數(shù)T(h)的圖形

圖 8 當(dāng)α<0,β<0時(shí),波長(zhǎng)函數(shù)λ(a)的圖形

3 結(jié)束語(yǔ)

本文研究了短脈沖方程的周期波的波長(zhǎng).由于文中短脈沖方程是含參數(shù)，其波長(zhǎng)受參數(shù)影響.通過(guò)變量變換,短脈沖方程可以轉(zhuǎn)化為一個(gè)平面多項(xiàng)式微分系統(tǒng).當(dāng)參數(shù)α<0時(shí),短脈沖方程具有光滑的周期波,本文利用動(dòng)力系統(tǒng)的定性理論和分析的方法研究這個(gè)多項(xiàng)式微分系統(tǒng),其主要結(jié)果是給出了周期函數(shù)T(h)的單調(diào)性質(zhì).結(jié)果表明,周期函數(shù)T(h)的單調(diào)性受參數(shù)β符號(hào)的影響,β>0時(shí),周期函數(shù)單調(diào)遞減.β<0時(shí),周期函數(shù)單調(diào)遞增.此外β>0時(shí),利用勒貝格控制收斂定理給出了周期在平衡點(diǎn)附近的極限值.