張濤　王新華　ZIA　Ullah

摘要：為實現多階磁梯度張量的準確測量，提出一種磁傳感器陣列。陣列由9個三軸磁傳感器組成，在平面呈菱形排列。根據張量對稱性，提出一階及二階磁梯度張量計算方法。采用Floater-Hormann有理插值完成測量盲點的修正。根據磁偶極子原理建立仿真模型，研究陣列在地磁場和噪聲背景下的一階及二階磁梯度張量測量精度。仿真結果表明，提出陣列在磁梯度張量測量精度、完整性方面優(yōu)于十字形陣列和六面體陣列?；谝浑A和二階磁梯度張量的定位應用也可證明所提出陣列的有效性。

關鍵詞：傳感器陣列;一階磁梯度張量;二階磁梯度張量;地磁場;插值;磁源定位

中圖分類號：P203 文獻標志碼：A 文章編號：1674-5124（2019）08-0093-07

收稿日期：2018-11-22;收到修改稿日期：2019-01-18

基金項目：國家重點研發(fā)計劃項目（2017YFC0805005-1）;北京市教育委員會科研計劃項目資助（KZ201810005009）;中國博士后基金（20187110020）

作者簡介：張濤（1989-），男，山西太原市人，博士研究生，研究方向為管道地磁檢測。

通信作者：王新華（1969-），男，山東德州市人，教授，博士，研究方向為管道無損檢測、流體傳動與控制。

0 引言

磁梯度張量由多階磁場分量在不同方向上的空間變化率組成，相比于單分量磁場和總磁場，磁梯度張量包含豐富的磁場信息和諸多旋轉不變量，被廣泛應用于無損檢測[1-2]、磁偶極子源定位[3-4]、磁性體幾何參數反演[5]等領域。

磁梯度張量測量陣列通過捷聯(lián)于載體上的多個磁傳感器間接得到磁場梯度。一階磁梯度張量是在實際應用中最常用的測量量。陳海龍等[6]采用兩個三軸磁場傳感器測量磁場，根據張量縮并理論求取磁梯度張量模量，并利用局部波數實現缺陷定位。但該陣列結構需保持磁傳感器移動速度恒定，不具備實用性。于振濤等[7]利用等邊三角形陣列，計算連續(xù)3個測量點的磁梯度張量，實現運動測量平面的磁偶極子源定位。但該陣列計算的磁梯度張量方法繁瑣，誤差較大。YIN等[8]利用十字形陣列計算單位磁矩向量和單位距離向量，在此基礎上利用最小二乘法完成了磁性目標定位。LIU等[9]采用多組并聯(lián)的十字形陣列結構，利用磁梯度張量各分量觀測值與理論值差值的平方和作為目標優(yōu)化函數，利用粒子群優(yōu)化算法完成目標車輛位置的反演。萬成彪等[10]通過十字形陣列計算磁梯度張量矩陣特征值，進一步得到位置方向矢量，實現磁性目標定位。NARA等[11]通過六面體陣列計算一階磁梯度張量實現電磁線圈定位。但是，在遇到強噪聲時，十字形陣列和六面體陣列會存在較大誤差。

二階磁梯度張量同樣在定位中具有重要的應用，SUI等[12]利用安裝在刻度盤上的單軸傳感器和泰勒級數測量二階磁梯度張量，實現了最大誤差為0.8cm的高精度定位。但是，此系統(tǒng)需要精確控制傳感器旋轉角度，缺乏實用性。YIN等[13]設計了十字形的磁梯度張量系統(tǒng)，利用一階張量間的差分獲得部分二階磁梯度張量。但是，由于十字形陣列測量的一階磁梯度張量存在較大誤差，此方法會進一步擴大誤差。此外，十字形陣列只能獲取部分二階磁梯度張量，導致其應用場合有限。

鑒于此，本文提出一種磁傳感器測量陣列，研究了一階及二階磁梯度張量的計算方法。采用Floater-Hormann有理插值完成盲點的修正，并通過仿真驗證了所提陣列能夠完成高精度及完整的一階及二階磁梯度張量測量。此外，磁源定位應用的結果也表明所提陣列相比于其他陣列更加適合作為磁梯度張量測量陣列。

1 磁梯度張量

磁感應強度B_x，B_y，B_z在3個方向x，y，z的變化率為一階磁梯度張量，其表達式[14]為

在沒有空間電流密度的觀測區(qū)域，磁場的散度和旋度都為0，因此磁梯度張量分量具有對稱性。式（1）可改寫為

二階磁梯度張量是一階磁梯度張量9個分量的空間導數，擁有27個分量。二階磁梯度張量分量同樣具有對稱性，可表示為

2 張量計算方法

陣列由9個三軸磁場傳感器構成，在平面形成菱形排列，其結構如圖1所示。

一階磁梯度張量可表示為其中，2d為基線距離;j=x，y，z，代表笛卡爾坐標中的三軸方向。

二階磁梯度張量可表示為

為更好地驗證新陣列的有效性，引入十字形陣列和六面體陣列，其結構如圖2所示。十字形陣列的一階磁梯度張量可表示為

十字形陣列無法計算完整二階磁梯度張量，則部分二階磁梯度張量的計算公式為其中，*代表分量無法計算。同樣的，六面體陣列的一階磁梯度張量可表示為

與十字形陣列相同，六面體陣列也只能計算部分二階磁梯度張量，其中S_x³和S_y³與十字形陣列的S_x²和S_y²相同，S_z³可表示為

3 一階磁梯度張量測量精度研究

設置仿真條件為：磁源位置為坐標原點，磁矩大小M=（-12500，12500，10000）A·m²。測量平面為2m×2m的正方形區(qū)域，測量高度為1m，每隔0.05m×0.05m作為一個測量點。陣列基線距離d=0.01m，誤差公式為其中，G_ij-a和G_ij-t分別為一階磁梯度張量測量值和理論值。

3.1 Floater-Hormann有理插值

在測量過程中，某些點會使式（17）失去意義，這些點被稱為盲點。采用Floater-Hormann有理插值方法[15]實現盲點的修正。區(qū)間[a，b]有離散點：

a=x₀1

3）在不同背景場下的磁源定位的應用中，提出陣列的位置反演誤差相比于十字形陣列和六面體陣列小，也證明了提出陣列能夠完成高精度的多階磁梯度張量測量。

參考文獻

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（編輯：商丹丹）