周 帥 陳克堅 陳政清 曾永平

(1.中國建筑股份有限公司， 北京 100013;2.湖南大學， 長沙 410082;3.中鐵二院工程集團有限責任公司， 成都 610031)

渦激共振是柔性結(jié)構(gòu)，如大跨度橋梁、高層建筑、高聳煙囪、高壓輸電線、海洋輸油管、海岸工程等結(jié)構(gòu)的主要工程振動問題之一。建立一個能準確描述渦激力的數(shù)學模型是分析和解決這個問題最有效的途徑。由于渦激振動的復雜性，尾流的漩渦脫落在渦振鎖定區(qū)間的上升段、下降段等不同的振動階段以及結(jié)構(gòu)的不同邊界條件下會呈現(xiàn)出2S、2P、P+S、2T甚至2C等多種不同的模態(tài)。伴隨著尾流渦模態(tài)的轉(zhuǎn)變，流體作用力的大小以及流體作用力與結(jié)構(gòu)響應之間的相位差等都會相應變化。渦激振動的基本特征，如鎖定區(qū)間的分支，區(qū)間內(nèi)振動頻率與固有頻率的比值等，在水和空氣等不同流體中也會呈現(xiàn)出不同的特性。因此，用一個統(tǒng)一的數(shù)學模型來描述渦激力十分困難?；谝恍┗镜募俣?，學術(shù)界已提出了幾種渦激力數(shù)學模型，主要分為單自由度和兩自由度兩大類。值得注意的是，所有模型中關(guān)鍵的流體參數(shù)往往需要提前假定或根據(jù)結(jié)構(gòu)的實測渦振響應進行識別，這些流體參數(shù)對結(jié)構(gòu)參數(shù)以及來流速度的變化往往都非常敏感，例如Scanlan經(jīng)驗模型。針對以上研究難點，建立一個能準確估算結(jié)構(gòu)渦振幅值的經(jīng)驗公式，在工程設(shè)計階段確定各項參數(shù)設(shè)計指標，預測渦振幅值并采取措施預以控制成為解決該問題的有效途徑。本文系統(tǒng)地綜述目前主要的幾種渦振幅值估算方法，分析各自的理論背景和適用范圍，采用一組勻質(zhì)構(gòu)件實測渦振幅值數(shù)據(jù)，橫向比較各估算方法的效率，針對柔性橋梁渦振幅值估算的研究現(xiàn)狀和研究難點進行總結(jié)和展望。

1 渦振幅值估算方法

結(jié)構(gòu)在渦激力荷載作用下的動力方程如式(1)所示。

v(x1t)=Φ×Y(t)

(1)

式中：M——結(jié)構(gòu)質(zhì)量矩陣；

v(x,t)——結(jié)構(gòu)位移響應；

Φ——振型矩陣；

Y(t)——廣義坐標；

C——結(jié)構(gòu)阻尼矩陣；

k——結(jié)構(gòu)剛度矩陣；

P(t)——渦激力荷載向量。

根據(jù)線性體系的振型分解，結(jié)構(gòu)第n階廣義單自由度模態(tài)動力方程如式(2)所示。

(2)

式中：ξn——結(jié)構(gòu)第n階模態(tài)阻尼比；

ωn——結(jié)構(gòu)第n階模態(tài)固有圓頻率；

Mn——第n階等效質(zhì)量；

φn(x)——結(jié)構(gòu)第n階固有振型；

L——結(jié)構(gòu)全長[1]。

1.1 Ruscheweyh 模型

Ruscheweyh將渦振鎖定區(qū)間內(nèi)的渦激力描述為標準簡諧力荷載，即：

(3)

式中：ρ——空氣密度；

U——來流速度；

D——截面橫風向尺寸；

ψ——結(jié)構(gòu)位移響應與渦激力的相位差；

CL——升力系數(shù)均方根；

w——振動圓頻率；

t——時間。

結(jié)構(gòu)在簡諧響應的前提下，忽略渦激力荷載與結(jié)構(gòu)位移響應之間的相位差，則位移響應如式(4)所示。

Y(t)=Ymax×sin(ω×t+ψ)

(4)

將式(3)和式(4)代入式(2)，可得結(jié)構(gòu)第n階振型的渦激共振廣義坐標位移幅值。

(5)

式中：h——渦激力展向相關(guān)長度。

因此，結(jié)構(gòu)第n階振型無量綱渦振位移幅值。

(6)

Scr=4πmξn/ (ρD2)

St=fnD/U

式中：m——勻質(zhì)結(jié)構(gòu)每延米物理質(zhì)量；

Scr——結(jié)構(gòu)Scruton數(shù)；

St——結(jié)構(gòu)橫截面Strouhal數(shù)；

fn——結(jié)構(gòu)第n階模態(tài)固有工程頻率；

K——結(jié)構(gòu)第n階模態(tài)振型修正系數(shù)；

Kw——相應的渦激力展向相關(guān)性系數(shù)。

式(6)即為EuroCode中的結(jié)構(gòu)渦振幅值估算公式之一[2]。該估算方法基于標準的簡諧渦激力荷載和結(jié)構(gòu)簡諧響應的基本假定，考慮結(jié)構(gòu)位移響應與渦激力荷載之間完全同相位，振動頻率與固有頻率一致，按照線性體系的振型分解法進行數(shù)學推導，所得出的渦振幅值估算公式具有理論可行性。

值得注意的是，該估算方法理論推導中的橫風向升力系數(shù)均方根CL是隨著截面型式和Reynolds數(shù)的變化而變化的，結(jié)構(gòu)在靜止狀態(tài)下和振動狀態(tài)下的CL也不盡相同。展向相關(guān)性參數(shù)Kw對于三維結(jié)構(gòu)的高階渦振幅值估算十分重要，但它也隨截面型式、振幅、振型等參數(shù)的變化而變化。在大量的現(xiàn)場實測和試驗數(shù)據(jù)的基礎(chǔ)上，Ruscheweyh模型擬合了少數(shù)典型截面構(gòu)件在不同流場條件下CL、K、Kw等關(guān)鍵參數(shù)的經(jīng)驗取值方式，可較方便地估算該類結(jié)構(gòu)在風荷載作用下的各階渦振幅值[3]。

1.2 Griffin Plot

“Griffin Plot”的理論基礎(chǔ)與Ruscheweyh 模型十分類似，唯一的差別在于“Griffin Plot”考慮了渦激力荷載和結(jié)構(gòu)位移響應之間的相位差[4]。結(jié)構(gòu)的位移響應表示為式(7)：

Y(t)=Ymax×sin(ω×t)

(7)

同樣地，將式(3)和式(7)代入式(2)，可得：

(8)

為使等式恒成立，必須使正弦和余弦函數(shù)前的系數(shù)均為0。因此,可得結(jié)構(gòu)振動頻率與固有頻率的比值：

(9)

式中：fn——結(jié)構(gòu)第n階模態(tài)固有工程頻率，fn=ωn/2π。

可見，當流體密度較小時(如流體為空氣)，質(zhì)量比參數(shù)ρD2/(2m)基本上在10-3量級，因此，渦激共振時振動頻率與固有頻率基本一致；當流體密度較大時(如流體為水)質(zhì)量比參數(shù)數(shù)值較大，振動頻率與結(jié)構(gòu)固有頻率往往不一致，有文獻報道該比值可達1.4甚至更高[3]。

根據(jù)式(8)也可得到結(jié)構(gòu)無量綱渦振幅值估算公式，如式(10)所示。

(10)

文獻[5]的研究結(jié)果表明，渦激力參數(shù)項CLsinψ是式(10)中結(jié)構(gòu)質(zhì)量阻尼參數(shù)ρD2/(mξn)的函數(shù)。因此，在不考慮結(jié)構(gòu)三維振型和展向相關(guān)性的影響以及默認Strouhal數(shù)恒定的前提下，結(jié)構(gòu)的渦振幅值只與質(zhì)量阻尼參數(shù)相關(guān)。

基于該研究結(jié)論，文獻[6]以結(jié)構(gòu)質(zhì)量阻尼參數(shù)為唯一參數(shù)，對大量的實測數(shù)據(jù)進行回歸分析，建立了相應的經(jīng)驗公式，即“Griffin Plot”。針對原始的“Griffin Plot”數(shù)據(jù)離散性大的缺陷，文獻[6]綜合考慮了對500

Re=ρUD/μ

(11)

α=(m*+CA)ξn

式中：Re——雷諾數(shù);

α——質(zhì)量阻尼參數(shù);

ξn——結(jié)構(gòu)機械阻尼比;

m*——質(zhì)量比, 即結(jié)構(gòu)物理質(zhì)量與相應體積下的流體質(zhì)量的比值;

CA——附加質(zhì)量參數(shù)，在風致振動中的影響可忽略。

文獻[7]的研究表明，Reynolds數(shù)在5.0e5的量級時，“Modified Griffin Plot”對渦振幅值的估算仍然有效。同樣值得注意的是，該估算方法在理論上是合理的，但其估算效率完全取決于擬合數(shù)據(jù)的來源。目前，“Modified Griffin Plot”主要針對在水流作用下的幅值估算，且在三維結(jié)構(gòu)的渦振幅值估算中，振型修正和渦激力展向相關(guān)性的影響得不到充分考慮。

1.3 Tamura 模型

Tamura 模型是針對圓型截面構(gòu)件，對Birkhoff兩自由度渦激共振模型的尾流振子長度進行修正而建立的。即假定一個由尾部脫落漩渦構(gòu)成的尾流振子與結(jié)構(gòu)的振動耦合，并考慮在不同的振動狀態(tài)尾流振子長度的變化[8]，其振動方程如式(12)所示。

(12)

式中：α——尾流振子的角位移；

Y——結(jié)構(gòu)無量綱位移響應；

ν——無量綱流體速度；

η——結(jié)構(gòu)機械阻尼比；

f——流體參數(shù)，根據(jù)Magnus效應和尾流振子確定；

ζ——氣動阻尼；

CL0——圓柱動態(tài)升力系數(shù)幅值；

n——質(zhì)量比；

CD——圓柱阻力系數(shù)。

圓柱在風荷載作用下,ζ=0.038;m*=0.625;S*=1.26 (St=0.2);f=1.16;CD=1.2。通過Runge-Kutta數(shù)值分析方法求解式(12)可得圓柱的渦振幅值。

對于不同截面型式構(gòu)件的渦振幅值估算，此模型同樣具備理論可行性，只需識別在該截面型式下的相關(guān)參數(shù)(如升力系數(shù)，尾流振子長度，寬度等)即可。但三維結(jié)構(gòu)的振型修正和渦激力展向相關(guān)性對渦振幅值的影響需另外考慮。

1.4 Vickery & Basu模型

Vickery & Basu模型是基于線性隨機振動理論建立的，在理論層面上的主要特征是考慮了結(jié)構(gòu)振動干擾流場而導致的渦激力的影響，即流固耦合效應導致的氣動負阻尼的影響。氣動負阻尼的構(gòu)成綜合考慮了Reynolds數(shù)、紊流度、渦激力展向相關(guān)性以及渦振鎖定區(qū)間內(nèi)振動頻率鎖定等因素的影響。將氣動負阻尼自激力與結(jié)構(gòu)在靜止狀態(tài)下的渦脫力疊加構(gòu)成整體的渦激力[9-10]。基于一些假定和簡化，針對圓型和方型截面構(gòu)件的渦振幅值估算如式(13)所示。

(13)

式中：kp——峰值因子；

σy——位移響應根方差;

H——構(gòu)件長度；

Scr——Scruton數(shù)；

St——Strouhal數(shù)；

Ka、aL、Cc——反映截面特性的氣動參數(shù)，與截面型式以及Reynolds有關(guān)，在EuroCode中針對圓型截面和方型截面有各自不同的相關(guān)經(jīng)驗取值。

該估算方法在理論構(gòu)成上比較全面，影響因素考慮得比較全面，特別是考慮了紊流隨機振動的影響。但也正是因為考慮了紊流各方面的影響，在形成估算公式的過程中做了一些相關(guān)的假設(shè)和近似，因此，不太適用于在均勻流場下的幅值估算。另外，該模型對于復雜截面結(jié)構(gòu)的渦振幅值估算也有一定的局限性。

1.5 Scanlan 模型

Scanlan先后提出了經(jīng)驗線性和非線性模型，該類模型的主要特征是設(shè)置氣動參數(shù)來描述渦激共振鎖定區(qū)間和限幅的現(xiàn)象。其中，基于在風荷載作用下振動頻率與固有頻率基本一致的特點，忽略氣動阻尼和氣動剛度的影響，經(jīng)驗非線性模型的渦激力如式(14)[11]所示：

(14)

式中：Y1、ε——氣動參數(shù)，需根據(jù)實測渦振響應區(qū)間而識別。

將式(14)代入式(2)，則結(jié)構(gòu)的振動方程如式(15)所示：

(15)

這是一個具有Van Der Pol震蕩振子特征的非線性方程，振動達到穩(wěn)態(tài)時是具有穩(wěn)定振幅的極限環(huán)運動，在每個周期內(nèi)非保守力做功的總和為0。由此可建立式(16)：

(16)

因此，無量綱渦振幅值如式(17)所示：

(17)

值得注意的是，該估算方法中最為關(guān)鍵的兩個氣動參數(shù)Y1和ε，均需通過實測的渦振響應進行識別，且這兩個參數(shù)對截面型式、結(jié)構(gòu)的質(zhì)量、阻尼以及來流風速的變化均十分敏感。因此，該模型對于實際工程結(jié)構(gòu)的渦振幅值估算有很大的局限性。但從式(17)可以看出，結(jié)構(gòu)的各階最大渦振位移幅值與Scruton數(shù)并非Ruscheweyh 模型中完全的反比例關(guān)系。

2 勻質(zhì)構(gòu)件渦振幅值估算的效率對比

本文根據(jù)一組現(xiàn)場實測和風洞試驗實測的渦振幅值數(shù)據(jù)，對上述5種渦振幅值估算方法的估算效率進行橫向比較。由于Scanlan模型估算實際上是基于實測渦振幅值的參數(shù)識別，文獻[5]等已驗證了該過程的可逆性，因此本文不再進行討論。

2.1 實測值

工況1～工況3共3組勻質(zhì)圓型截面構(gòu)件的結(jié)構(gòu)參數(shù)及實測渦振幅值數(shù)據(jù)如表1所示。工況1對應文獻[12]的直立煙囪。工況2和工況3 為本文以高壓輸電塔大長細比桿件為工程背景開展的風洞試驗，試驗桿件的邊界條件近似為兩端簡支，兩個工況分別對應同一根試驗桿件一階和二階彎曲振型渦激共振。試驗圓桿中點、四分點的振幅和頻率響應分別如圖1和圖2所示。從圖中可以看出，試驗桿件一階和二階彎曲振型渦激共振鎖定區(qū)間的無量綱起振風速點均在5左右，對應Strouhal數(shù)為0.2，相應的振動卓越頻率與固有頻率接近，渦振幅值基本相同。

表1 結(jié)構(gòu)參數(shù)及實測數(shù)據(jù)列表

圖1 試驗桿件中點實測響應(工況2)

圖2 試驗桿件四分點實測響應(工況3)

2.2 估算值

采用上述4種估算方法對工況1-工況3的渦振幅值進行估算，估算結(jié)果分別如表2～表5所示。其中，Ruscheweyh模型、Vickery & Basu模型中相關(guān)的經(jīng)驗參數(shù)根據(jù)EuroCode取值；在Tamura模型的幅值估算中,升力幅值CL0和阻力系數(shù)CD根據(jù)文獻[13]提供的經(jīng)驗公式，由相應的Reynolds數(shù)計算得到，Maglus效應參數(shù)等流體參數(shù)根據(jù)文獻[13]的試驗結(jié)果確定，幅值估算由Runge-Kutta數(shù)值分析方法求解式(12)得到。

表3 Modified Griffin Plot估算與實測渦振幅值對比

表4 Tamura 模型估算與實測渦振幅值對比

表5 Vickery & Basu模型估算與實測渦振幅值對比

2.3 實測與估算對比

工況1-工況3實測的渦振幅值與4種估算方法的估算值對比結(jié)果如表6所示。從表中可以看出，Ruscheweyh模型的估算結(jié)果與實測值較為接近，總體上優(yōu)于其他3種方法。但是值得注意的是，工況2和工況3為同一根試驗桿件的一階和二階彎曲振型渦振，兩者實測的幅值基本相同，但是估算值卻相差較大。Tamura模型的估算值為二維狀態(tài)下的結(jié)果，總體上偏于保守，若考慮結(jié)構(gòu)三維振型和展向相關(guān)性的影響，估算結(jié)果應更為合理。“Griffin Plot”，Vickery & Basu模型的估算值與實測值的偏差均較大。因為“Griffin Plot”主要是基于水流作用下渦振數(shù)據(jù)擬合的經(jīng)驗曲線，在風致渦激振動的估算中難免有較大偏差；而Vickery & Basu模型是基于隨機振動理論建立的，并針對紊流的流場條件，做了相應假設(shè)和近似，該模型并不完全適用于均勻流場。

表6 渦振幅值估算效率對比

3 柔性橋梁渦振幅值的估算

通過對上述勻質(zhì)圓型截面直立煙囪和兩端固定的細長圓管風致渦振幅值的估算，可以看出Ruscheweyh模型的估算效率相對較高。

文獻[24]報道了現(xiàn)場實測的某大跨度懸索橋的高階渦振事例?；谠摌?qū)崪y的結(jié)構(gòu)動力參數(shù)和渦振幅值，采用Ruscheweyh 模型進行渦振幅值估算，檢驗該模型對截面型式復雜的橋梁主梁高階渦振幅值估算的效率。以該橋?qū)崪y到的渦振幅值最大的第四階豎彎振型為例，主要參數(shù)如表7所示。

表7 實橋主要參數(shù)及實測渦振幅值

基于實測的相關(guān)參數(shù)，采用Ruscheweyh 模型對主梁第四階豎彎振型的渦振幅值進行估算?？紤]到實橋主跨較大，主梁端部約束對跨中振型的影響較弱，邊界條件按照兩端簡支進行考慮。實橋主梁是截面寬高比為11的流線型斷面，根據(jù)EuroCode中已有的經(jīng)驗數(shù)據(jù)，估算中按照寬高比為10的矩型截面考慮，這對于橫風向氣動力系數(shù)Clat的處理更偏于保守。幅值估算結(jié)果如表8所示。從表中可以看出，在氣動力系數(shù)取值已偏于保守的情況下，估算的渦振幅值仍大幅低于實測值。因此，對于截面型式以及振型都相對復雜的柔性橋梁結(jié)構(gòu)的渦振幅值估算，EuroCode中的Ruscheweyh 模型并不是偏于安全的。

表8 Ruscheweyh模型估算與實測渦振幅值對比

事實上，柔性橋梁渦振幅值估算，相對于等截面的吊桿、煙囪等構(gòu)件來說要復雜得多。首先，主梁是主要的吸能構(gòu)件，但吸收的能量并不僅僅用于主梁的振動，還包括拉索、橋塔等其他構(gòu)件的振動，因此，主梁的等效質(zhì)量往往等于其物理質(zhì)量，并且隨著振型的變化而變化。其次，由于主梁受到拉索等外部構(gòu)件的不均勻約束，其振型較勻質(zhì)構(gòu)件更復雜，展向相關(guān)性的問題也更為突出[14-15]。再次，橋梁的主梁斷面通常較為復雜，局部構(gòu)件較多，截面氣動參數(shù)缺乏經(jīng)驗數(shù)據(jù)，而對于柔性橋梁渦振幅值估算，該參數(shù)卻十分關(guān)鍵[16]。另外，Reynolds 數(shù)效應對渦振幅值的影響也是一個需要重視的問題。因此，現(xiàn)有的渦振幅值估算方法主要針對截面型式相對簡單規(guī)則的結(jié)構(gòu)，而對于截面型式、結(jié)構(gòu)體系更為復雜的柔性橋梁的高階渦振幅值估算，其局限性是比較明顯的。

4 總結(jié)

(1)本文以現(xiàn)場實測的高聳煙囪及風洞試驗實測圓形細桿渦激共振幅值數(shù)據(jù)為基礎(chǔ)，對比現(xiàn)行主要渦振幅值估算方法的理論估算值，分析結(jié)果顯示，基于簡諧力渦激力模型推導的Ruscheweyh估算值與實測值最為接近；

(2)采用Ruscheweyh渦振幅值估算方法對某大跨度柔性橋梁的高階渦振幅值進行估算，并與現(xiàn)場實測數(shù)據(jù)進行對比，結(jié)果偏差較大，表明該方法在柔性橋梁領(lǐng)域的應用具有局限性；

(3)通過對大跨度橋梁流線型橋梁斷面升力系數(shù)的統(tǒng)計分析，提出經(jīng)驗公式可顯著提高柔性橋梁渦振幅值估算的準確度。