徐小琴 張靜

對(duì)高中數(shù)學(xué)教材中函數(shù)定義、指數(shù)函數(shù)引例、任意角的表示、等差數(shù)列中的省略符號(hào)、幾何概型中轉(zhuǎn)盤表示等案例提出質(zhì)疑，并提出若干編寫建議，意在引導(dǎo)學(xué)習(xí)者研讀教材、質(zhì)疑教材、重構(gòu)教材，從而激發(fā)學(xué)習(xí)者的科學(xué)精神、批判精神、創(chuàng)新精神。

人教A版? 數(shù)學(xué)教材? 編寫建議

教材的作用是系統(tǒng)的傳授知識(shí)。章建躍先生認(rèn)為，教材的科學(xué)性體現(xiàn)在教材內(nèi)容的準(zhǔn)確性，包括素材的準(zhǔn)確性，概念原理的正確性，問(wèn)題解答正確無(wú)誤，用詞、術(shù)語(yǔ)、符號(hào)、圖表規(guī)范等[1]。教材是使得教學(xué)活動(dòng)按照一定組織方式、邏輯順序、知識(shí)體系順利進(jìn)行的載體，是教師的教與學(xué)生的學(xué)的聯(lián)系樞紐。教材不僅反映了課程改革的理念，也是指導(dǎo)教師課堂教學(xué)、學(xué)生學(xué)習(xí)的依據(jù)[2]。

一、函數(shù)定義不相稱

概念的定義是準(zhǔn)確揭示一個(gè)概念的內(nèi)涵和外延的邏輯方法，要使概念的定義合理、表述正確，應(yīng)該遵循以下四條規(guī)則：第一，定義要相稱;第二，定義不得循環(huán)、反復(fù);第三，定義要簡(jiǎn)明;第四，定義一般不用否定形式[3]。仔細(xì)研讀高中數(shù)學(xué)教材函數(shù)的定義，發(fā)現(xiàn)其定義不科學(xué)，與概念定義規(guī)則中的“定義要相稱”相悖。

例1? 關(guān)于函數(shù)的定義，人教A版高中教材給出的定義為[4]： 設(shè)A，B是非空的數(shù)集，如果按照某種確定的對(duì)應(yīng)關(guān)系f，使對(duì)于集合A中的任意一個(gè)數(shù)x，在集合B中都有唯一確定的數(shù)f（x）和它對(duì)應(yīng)，那么就稱f：A→B為從集合A到集合B的一個(gè)函數(shù)（function），記作y=f（x），x∈A.

顯然，高中函數(shù)定義的是一元函數(shù)，而一元函數(shù)與二元函數(shù)、多元函數(shù)的外延并不相同，即定義項(xiàng)的外延大于了被定義項(xiàng)的外延，定義過(guò)寬。教材是教學(xué)實(shí)施的基本資料，是多數(shù)一線教師、學(xué)生知識(shí)獲取的主要來(lái)源，具有權(quán)威性與濃厚的信任色彩，定義應(yīng)該做到精確、科學(xué)。函數(shù)定義建議更改為“那么就稱f：A→B為從集合A到集合B的一個(gè)一元函數(shù)（function）”。

二、指數(shù)函數(shù)引例不科學(xué)

例2 指數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)一節(jié)，在引入新課的環(huán)節(jié)設(shè)計(jì)了生物體碳14的含量P與死亡年數(shù)t之間的關(guān)系P=（■）■（t？叟0）與人口增長(zhǎng)模式y(tǒng)=1.07x（x∈N*，x≤20）。從這二式的共同特征中抽象出了指數(shù)函數(shù)，進(jìn)一步給出指數(shù)函數(shù)的定義，即函數(shù)y=ax，（a>0且a≠1）且叫作指數(shù)函數(shù)（exponential function），其中x是自變量，函數(shù)的定義域是R.

我們通過(guò)對(duì)定義的觀察發(fā)現(xiàn)，指數(shù)函數(shù)是有一定結(jié)構(gòu)形式的，即y=ax其中自變量x作為指數(shù)，也就是說(shuō)此處的指數(shù)若為2x，3x，■x…形式的都不是指數(shù)函數(shù)?；诖薖=（■）■，就不是指數(shù)函數(shù)，正確的形式應(yīng)改為P=[（■）■]■.

根據(jù)生物碳14的衰減規(guī)律來(lái)推斷生物死亡年數(shù)，我們不難發(fā)現(xiàn)此處自變量t∈Z，而指數(shù)函數(shù)y=ax中自變量x∈R，且形式應(yīng)嚴(yán)格化為形式P=[（■）■]■.作為指數(shù)函數(shù)的引例應(yīng)該要內(nèi)容的準(zhǔn)確和形式的規(guī)范，本例中的函數(shù)式嚴(yán)格意義上說(shuō)不滿足指數(shù)函數(shù)定義，混淆學(xué)生對(duì)概念的理解。函數(shù)是對(duì)現(xiàn)實(shí)世界數(shù)量關(guān)系的抽象表示，函數(shù)本身不具有現(xiàn)實(shí)意義，需通過(guò)函數(shù)具有的性質(zhì)并結(jié)合現(xiàn)實(shí)意義產(chǎn)生效力作用于現(xiàn)實(shí)世界。反之，實(shí)際生活的數(shù)據(jù)需要抽象出數(shù)，再借助函數(shù)表示，而抽象的過(guò)程不可省略。

三、任意角表示不規(guī)范

例3人教A版必修4第一章第2節(jié)任意角的三角函數(shù)“如圖，設(shè)？琢是一個(gè)任意角，它的終邊與單位圓交于點(diǎn)P（x，y）[5].”教材用圖1的？琢角表示任意角的方式是不規(guī)范的。

圖1的角？琢顯然是一個(gè)屬于（■，？仔）的鈍角，位于第二象限，以x軸正方向?yàn)槭歼?，以O(shè)P為終邊的角。其旋轉(zhuǎn)量及角度是固定的，具有特殊性。教材此處用這樣的一個(gè)特殊角來(lái)表示具有一般性的任意角顯然是不規(guī)范的。也有研究認(rèn)為用圖2的方式表述任意角[6]，但是此處角的概念為圓弧所對(duì)的圓心角，即始邊與終邊的夾角，應(yīng)將角標(biāo)注在始邊與終邊之間，而標(biāo)注在終邊之上僅能表示終邊與單位圓的交點(diǎn)，與交點(diǎn)P重復(fù)，與任意角的表述也大相徑庭。因此，筆者認(rèn)為在表述任意角時(shí)去掉旋轉(zhuǎn)量，僅標(biāo)注角？琢，既能充分表示角的任意性，還能讓學(xué)習(xí)者充分想象角的正負(fù)性（旋轉(zhuǎn)方向順時(shí)針或逆時(shí)針）。角的始邊與軸正方向重合，旋轉(zhuǎn)方向決定角的正負(fù)，終邊為OP。

四、等差數(shù)列省略符號(hào)意難測(cè)

例4 人教A版高中數(shù)學(xué)教材必修5等差數(shù)列一節(jié)習(xí)題2.2（A組），教材40頁(yè)第5題，給出某種昆蟲(chóng)爬行速度的記錄，如下表所示[7]。

問(wèn)題需要學(xué)生建立等差數(shù)列的模型，表示甲蟲(chóng)爬行距離與時(shí)間之間的關(guān)系。

根據(jù)已有數(shù)據(jù)難以確定甲蟲(chóng)的爬行距離與時(shí)間之間滿足等差數(shù)列的定義，因?yàn)槭÷蕴?hào)部分的運(yùn)動(dòng)情況不得而知，或許單位時(shí)間內(nèi)甲蟲(chóng)的爬行距離逐漸縮短，亦或甲蟲(chóng)某個(gè)時(shí)間段停滯不前。

省略號(hào)的使用是判定數(shù)列是否為等差數(shù)列的陷阱。省略號(hào)省去的部分未必按照前面的規(guī)律傳遞下去，此時(shí)省略號(hào)不具有傳遞性。因此，筆者建議在表述等差數(shù)列時(shí)，一種是窮舉，即將數(shù)列每一項(xiàng)表示出來(lái)，如數(shù)列1，3，5，7，9，11，13，15。另一種是將等差數(shù)列的通項(xiàng)寫出，如數(shù)列1，3，5，7，9，…，2n-1，…

五、幾何概型轉(zhuǎn)盤意義模糊

例5 人教A版高中數(shù)學(xué)教材必修3第135頁(yè)幾何概型。圖3中有兩個(gè)轉(zhuǎn)盤，甲乙兩人玩轉(zhuǎn)盤游戲。規(guī)定當(dāng)指針指向B區(qū)域時(shí)，甲獲勝，否則乙獲勝。在兩種情況下分別求甲獲勝的概率是多少[8]？

圖3中轉(zhuǎn)盤分為B，N兩個(gè)區(qū)域，其中轉(zhuǎn)盤分區(qū)規(guī)則、比例并未標(biāo)注。如第一個(gè)轉(zhuǎn)盤未注明小區(qū)域N，B的相同，大區(qū)域的N，B也相同。第二個(gè)轉(zhuǎn)盤未注明轉(zhuǎn)盤每個(gè)區(qū)域均勻劃分。教材用“顯然”兩字得到區(qū)域的劃分比例實(shí)屬不易。建議在問(wèn)題中注明轉(zhuǎn)盤劃分規(guī)則。本題轉(zhuǎn)盤指針指向區(qū)域的概率本質(zhì)為指針指向不同區(qū)域圓心角的范圍。與區(qū)域面積或弧長(zhǎng)、指針長(zhǎng)度非本質(zhì)聯(lián)系。本題的轉(zhuǎn)盤改為三角形、正方形、梯形等，其區(qū)域面積或弧長(zhǎng)之比可能發(fā)生變化，而圓心角之比不變，此題結(jié)果不變。

參考文獻(xiàn)

[1]中國(guó)教育學(xué)會(huì).如何在教材編寫中落實(shí)核心素養(yǎng)？[EB/OL].[2017-02-22].http：//www.sohu.com/a/126953497_387107.

[2] 嚴(yán)卿，胡典順.中國(guó)和日本初中數(shù)學(xué)教材中問(wèn)題提出的比較研究[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2016（02）.

[3] 翁凱慶.數(shù)學(xué)教育概論[M].成都：四川大學(xué)出版社，2007.

[4] 劉紹學(xué)，等.普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書(shū)數(shù)學(xué)必修1（A版）[M].北京：人民教育出版社，2007.

[5] 劉紹學(xué)，等.普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書(shū)數(shù)學(xué)必修4（A版）[M].北京：人民教育出版社，2007.

[6] 王佩，趙思林.對(duì)人教A版高中數(shù)學(xué)教材中幾個(gè)問(wèn)題的商榷[J].教學(xué)與管理，2018（02）.

[7] 劉紹學(xué)，等.普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書(shū)數(shù)學(xué)必修5（A版）[M].北京：人民教育出版社，2007.

[8] 劉紹學(xué)，等.普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書(shū)數(shù)學(xué)必修3（A版）[M].北京：人民教育出版社，2007.

【責(zé)任編輯? 郭振玲】