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        H?rmander向量場上變指數(shù)空間的嵌入定理

        2019-11-15 06:54:04李炳耀李有文
        關(guān)鍵詞:交換子向量場易知

        李炳耀,李 霞,李有文

        (中北大學(xué) 理學(xué)院, 太原 030051)

        Sobolev嵌入定理在偏微分方程中具有舉足輕重的作用。歐氏空間上 Sobolev 嵌入理論已經(jīng)很完善,如:當(dāng)Ω是RN上具有錐性質(zhì)的區(qū)域,m≥1 為整數(shù)時,若設(shè) 1≤p<∞,如果或者mp>N或者m=N,p=1,則對于p≤q≤∞,有Wm,p(Ω)→Lq(Ω); 若設(shè)p>1,如果mpN,1≤q≤∞,則Wm,p(Ω)→→Lq(Ω0)。更多關(guān)于Sobolev嵌入的性質(zhì)參見文獻(xiàn)[1]。

        關(guān)于向量場上的Relich緊嵌入定理由Lu在文獻(xiàn)[4]給出,受上述結(jié)果的啟發(fā),本文主要研究H?rmander向量場上變指數(shù)空間的嵌入性質(zhì)。

        則Wk,p(x)(Ω)→Lq(x)(Ω)。

        p(x)≤q(x), a.e.x∈Ω,

        則Wk,p(x)(Ω)→Lq(x)(Ω)。

        1 基本知識

        1.1 H?rmander向量場

        X(1)={X0,X1,…,Xp},X(2)={[X0,X1],…,[Xp-1,Xp]}

        則X(k)的分量是長度為k的交換子。設(shè)Y1,…,Yq是X(1),…,X(m)分量的一些枚舉, 如果Yi是X(j)的一個元素,則稱Yi具有正規(guī)次數(shù)d(Yi)=j。 關(guān)于向量場及其交換子幾何性質(zhì)的詳細(xì)情況參見文獻(xiàn)[10-11]。

        下面定義Ω上的度量ρ。當(dāng)且僅當(dāng)存在一個絕對連續(xù)映射φ∶[0,1]→Ω且φ(0)=x0,φ(1)=x1,并且?guī)缀跛械?/p>

        都具有 |aj(t)|<δd(Yi), 然后由

        B(x,δ)={y∈Ω|ρ(x,y)<δ}

        給出Ω上相應(yīng)的球族。

        這類球反映了向量場X0,…,Xp和它們的交換子的非各向同性性質(zhì)。球B(x0,δ) 在X0,…,Xp指定的方向上基本上具有大小δ,而在長度為2的交換子給出的方向上具有大小δ2,在長度為3的交換子給出的方向上具有大小δ3等。

        1.2 H?rmander向量場上變指數(shù)空間

        (1)

        其中:k為給定的正整數(shù);Q為齊型維數(shù);kp

        集合

        Lp(x)(Ω) 上引進(jìn)如下范數(shù):

        則Lp(x)(Ω) 成為Banach空間。 由文獻(xiàn)[12]知,Lp(x)(Ω)是Nakano空間,它是Musielak-Orlicz空間的一種特殊形式。

        對于任何正整數(shù)k,集合

        可以在Wk,p(x)(Ω) 上引進(jìn)如下范數(shù):

        α是一個向量,α=α1,α2,…,αn,這樣Wk,p(x)(Ω) 也成為Banach空間。

        關(guān)于變指數(shù)空間的其他更多結(jié)論,如插值與加權(quán)范數(shù)不等式,見文獻(xiàn)[13]。文獻(xiàn)[14]給出了歐氏空間中變指標(biāo)Lebesgue空間的大小空間嵌入,文獻(xiàn)[15]給出了變指數(shù)空間中加權(quán)Kato-Ponce不等式,文獻(xiàn)[16]給出了無界擬距離空間中變指數(shù)空間上的極大算子理論,文獻(xiàn)[17]給出了變指數(shù)函數(shù)空間中,通過奇異積分算子與分?jǐn)?shù)階積分算子的交換子刻畫Lipschitz函數(shù)的過程等。

        2 定理的證明

        為了論述上的方便,本文只證明k=1的情形,k>1的情形可由數(shù)學(xué)歸納法得來。

        在證明本文結(jié)論之前,先給出下述引理:

        則W1,p(x)(Ω)→Lq(x)(Ω)。

        證明對于任何u∈W1,p(x)(Ω){0},只需證明u∈Lq(x)(Ω),記

        在3種情況下研究引理1。此后,用Ci和C表示與u無關(guān)的正常數(shù)。

        (2)

        (3)

        顯然,f∈LQ/(Q-1)(Ω),因此

        (4)

        易知

        (5)

        由于

        故有

        (6)

        由式(4)~(6)及(3)得

        (7)

        下面分別估算J1、J2、J3。

        由Young不等式知

        (8)

        根據(jù)引理1(h3)及

        易知

        (9)

        根據(jù)(h1)及

        易知

        (10)

        由式(8)~(10)及式(2)得

        (11)

        其中ε是充分小的正數(shù)。因此有

        (12)

        (13)

        其中式(13)可由 (h3) 而得。

        根據(jù)式(10),令t0>1,有

        (14)

        設(shè)

        則式(13)意味著 0

        (15)

        那么

        因為

        所以有

        (16)

        為了估算J3,令t0>1,那么有

        (17)

        (18)

        根據(jù)(h3)得

        0

        假設(shè)Ω1和Ω2如同式(15)中那樣定義,根據(jù)式(17)和(18)可得

        (19)

        由式(7)(11)(16)及(19)得

        (20)

        整理式(20)并用C表示一個新常數(shù),得

        (21)

        如果λ≥1,那么易由式(21)得

        (22)

        不失一般性,假設(shè)C0>1,如果λ<1,則式(22)自然成立。因此,需要證明存在C0>1,C0與u無關(guān),使得

        (23)

        (24)

        情形2對任何u∈W1,p(x)(Ω)∩L∞(Ω),證明其滿足式(24)。

        令 {ψn}?C∞(RN,R)(n=1,2,…) 滿足

        ψn(x)=1, ?|x|≤n;ψn(x)=0,?|x|≥n+2;ψn(x)∈[0,1],|Xψn(x)|≤1,?x∈RN

        顯然,

        |Xun(x)|≤|ψn(x)Xu(x)|+|u(x)Xψn(x)|≤|Xu(x)|+|u(x)|

        根據(jù)式(24)得

        因為un(x)→u(x) a.e.x∈Ω,根據(jù)Fatou’s引理有

        (25)

        其中C>1,C是與u無關(guān)的常數(shù)。

        情形3對任何u∈W1,p(x)(Ω),證明其滿足式(24)。

        對于n=1,2,…,令

        則un∈W1,p(x)(Ω)∩L∞(Ω),注意到

        由式(25)知

        因為un(x)→u(x) a.e.x∈Ω,根據(jù)Fatou’s引理有

        因此,u∈Lq(x)(Ω),即W1,p(x)(Ω)?Lq(x)(Ω)。

        定理1的證明令q(x)=p*(x),則q(x) 滿足引理1的條件,因此存在連續(xù)嵌入W1,p(x)(Ω)→Lq(x)(Ω)。

        對于滿足定理1條件的任何可測函數(shù)q(x),令u∈W1,p(x)(Ω),有

        因此,u∈Lq(x)(Ω),即W1,p(x)(Ω)?Lq(x)(Ω)。

        如果ε充分小,則有

        要證明定理3,需要下面的引理。

        則Δ中的每個實值函數(shù)均為勒貝格可積,且函數(shù)族Δ在Ω上等度絕對連續(xù)可積。

        則存在連續(xù)嵌入W1,p(x)(Ω)→Lα(x)(Ω)。

        令A(yù)?W1,p(x)(Ω) 有界,則A是Lα(x)(Ω) 的一個有界子集。因此,存在正常數(shù)L,使得

        表示為

        Δ={f|f(x)=|u(x)|q(x),u∈A}

        Φ(t)=tε, ?t≥0

        根據(jù)引理2知,Δ 在Ω上等度絕對連續(xù)可積。因為存在連續(xù)嵌入W1,p(x)(Ω)→W1,1(Ω) 和緊嵌入W1,1(Ω)→L1(Ω),可知A?L1(Ω) 是相對緊的。令{un}?A,則{un}在L1(Ω) 上有收斂子序列。不失一般性,用{un} 表示。易知,un在Ω上依測度收斂于u。由此可以注意到{|un(x)|q(x)}?Δ 在Ω上等度絕對連續(xù)可積,因此

        顯然,

        |un(x)-u(x)|q(x)≤2p+(|un(x)|q(x)+|u(x)|q(x))

        即{|un(x)-u(x)|q(x)} 在Ω上等度絕對連續(xù)可積,這樣有

        因此,在Lq(x)(Ω) 上有un→u,這證明W1,p(x)(Ω) 的任何有界子集A是Lq(x)(Ω)的相對緊集。

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