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        考慮初始狀態(tài)的均質(zhì)非飽和土入滲過(guò)程解析解

        2019-11-15 02:07:52
        人民長(zhǎng)江 2019年10期
        關(guān)鍵詞:非飽和算例邊界條件

        (1.山東電力工程咨詢?cè)河邢薰?山東 濟(jì)南 250100; 2.山東黃河勘測(cè)設(shè)計(jì)研究院,山東 濟(jì)南 250013; 3.山東正元建設(shè)有限責(zé)任公司,山東 濟(jì)南 250100)

        研究降雨條件下的非飽和土滲流過(guò)程對(duì)許多巖土工程或環(huán)境巖土工程的實(shí)踐有重要意義,例如,自然或人工邊坡穩(wěn)定性分析[1-4]、礦床或城市垃圾填埋場(chǎng)設(shè)施的覆蓋層設(shè)計(jì)[5-6]、涉及膨脹土和濕陷性土的工程問(wèn)題[7-8],等等。解決這些問(wèn)題的關(guān)鍵和難點(diǎn)在于計(jì)算降雨入滲過(guò)程在非飽和土體中引起的滲流場(chǎng)[9]。

        Richards方程是描述非飽和土體中瞬態(tài)滲流的控制方程。針對(duì)該方程的求解,以往的研究多采用數(shù)值模擬手段給出數(shù)值解[10-12],而解析方法的研究相對(duì)較少。實(shí)際上,與數(shù)值解相比,解析解更清晰簡(jiǎn)潔,能更直觀地顯示定解問(wèn)題對(duì)邊界條件的響應(yīng),且便于對(duì)各影響因素進(jìn)行參數(shù)敏感性分析,并能對(duì)數(shù)值解的結(jié)果進(jìn)行驗(yàn)證[13]。Srivastava 等推導(dǎo)了均質(zhì)、非均質(zhì)土體降雨條件的一維瞬態(tài)入滲解析解[14],基于此模型,詹良通[13]和李寧[9]等人分別推導(dǎo)了考慮坡度影響和降雨形式的滲流解析解。Chen 等[15-16]提出了非穩(wěn)恒降雨條件下的入滲解析模型。Huang等[17]和Ghotbi等[18]也分別基于Fourier積分變換和同倫分析方法(HAM)提出了降雨入滲過(guò)程的解析解。在初始狀態(tài)的處理方面,上述研究或?qū)⒋嬖谇捌诮涤瓴⑦_(dá)到穩(wěn)態(tài)入滲時(shí)刻作為初始條件[9,13-14,16],或假定初始含水率(水頭)分布為線性或特定函數(shù)[15,17-18],而根據(jù)實(shí)際情況,初始狀態(tài)是可以選擇在任意時(shí)刻,相應(yīng)含水率(水頭)分布往往是不規(guī)則的。誠(chéng)如Zhan 等[19]所述,前期降雨所形成的初始狀態(tài)對(duì)水頭分布的影響甚至大于后續(xù)降雨。朱偉等指出在非穩(wěn)定滲流中,能不能正確地考慮初始水分量將會(huì)對(duì)計(jì)算結(jié)果產(chǎn)生非常大的影響[20]。在采用的數(shù)學(xué)算法方面,前人多借鑒Ozisik (1980)關(guān)于偏微分方程的解法[21],在解析表達(dá)式中存在復(fù)雜的積分變換項(xiàng)[9,15-17]。該類方法在理論上是先進(jìn)的,但數(shù)學(xué)算法稍顯復(fù)雜,不利于直接應(yīng)用。因此,需要進(jìn)一步研究任意初始狀態(tài)的入滲過(guò)程解析解,并考量初始狀態(tài)的影響。

        本文采用指數(shù)函數(shù)描述非飽和土體的土水特征曲線及其滲透系數(shù)隨水頭的變化,對(duì)任意初始狀態(tài)的非飽和土入滲過(guò)程解析解進(jìn)行了推導(dǎo)。最后基于所推導(dǎo)模型,分析初始狀態(tài)對(duì)含水率分布的影響。

        1 理論推導(dǎo)

        1.1 基本假設(shè)

        (1) 土體為均質(zhì),非飽和滲流由基質(zhì)吸力差(水頭差)決定,不考慮溶質(zhì)吸力的影響。

        (2) 不考慮非飽和土的回滯特性。

        (3) 地下水位始終穩(wěn)定,不受土表降雨入滲過(guò)程的影響。

        (4) 降雨過(guò)程雨強(qiáng)穩(wěn)定,即為均勻降雨。

        1.2 控制方程

        Richards為非線性偏微分方程,目前它已衍生出3種基本格式,即壓力水頭格式(h-form)、混合格式(mixed form)和體積含水率格式(θ-form),其中混合格式被證實(shí)具有嚴(yán)格遵守質(zhì)量守恒的特性,可表示為

        (1)

        式中,h為孔隙水壓力水頭;θ為體積含水率;k為滲透系數(shù);t為時(shí)間;z為縱坐標(biāo),正方向向下(如圖1所示)。

        圖1 入滲過(guò)程示意Fig.1 Schematic illustration of infiltration process

        Yanful和Mousavi[22]指出,在非飽和土滲流中相較于大的的壓力水頭差,式(1)中的重力項(xiàng)可以忽略。同時(shí),忽略重力項(xiàng)可以極大簡(jiǎn)化推導(dǎo)過(guò)程,避免解析解中復(fù)雜的積分或級(jí)數(shù)項(xiàng)[23]。因此,Richards公式可以簡(jiǎn)化為

        (2)

        參照文獻(xiàn)中常用的指數(shù)函數(shù)形式[13-17,24],土水特征曲線和滲透系數(shù)方程可描述為

        θ(h)=θr+(θs-θr)eαh

        (3a)

        k(h)=kseαh

        (3b)

        式中,θs和θr分別為飽和和殘余體積含水率;ks為飽和滲透系數(shù);α為減飽和系數(shù)。將式(3)代入式(2)可得

        (4)

        為了簡(jiǎn)便計(jì)算,定義土的擴(kuò)散系數(shù)D和無(wú)量綱的體積含水率Θ分別為

        (5a)

        Θ=(θ-θr)/(θs-θr)

        (5b)

        將式(3a)、(5a)和(5b)代入式(4),并進(jìn)一步化簡(jiǎn),可得:

        (6)

        1.3 入滲過(guò)程解析解

        降雨強(qiáng)度與土體飽和滲透系數(shù)的相互關(guān)系會(huì)對(duì)入滲過(guò)程產(chǎn)生影響。對(duì)于降雨強(qiáng)度小于飽和滲透系數(shù)的情況,即q≤ks,降雨將全部入滲,土表不會(huì)形成積水,也即整個(gè)過(guò)程均處于定流量入滲階段。而對(duì)于降雨強(qiáng)度大于飽和滲透系數(shù)的情況,即q>ks,其起始為定流量入滲階段,降雨一段時(shí)間后,表層土體達(dá)到飽和,降雨不能完全入滲,土表存在積水,定流量入滲階段轉(zhuǎn)化為土表積水階段。

        1.3.1定流量入滲階段

        在定流量入滲階段,上邊界為恒定的流量邊界,也即降雨強(qiáng)度。此時(shí)的初始和邊界條件可表示為

        Θ(z,t)|z=L=1

        (7a)

        (7b)

        Θ(z,t)|t=0=f(z)

        (7c)

        式中,L為地下水位深度;q為降雨強(qiáng)度;f(z)為任意初始狀態(tài)含水率分布函數(shù)。式(7a)表示在地下水位處,下邊界土體始終飽和,Θ始終為1;式(7b)表示上邊界為恒定流量邊界條件;式(7c)表示初始狀態(tài)。

        首先求穩(wěn)態(tài)入滲時(shí)的含水率分布,設(shè)為w(z),則w(z)滿足:

        (8a)

        w(z)|z=L=1

        (8b)

        -D(θs-θr)w′(z)|z=0=q

        (8c)

        聯(lián)立式(8)可以求得w(z)的表達(dá)式為

        (9)

        由于原問(wèn)題的邊界條件為非齊次(如式(7)),因此為方便求解,引入一變量使其齊次化,令:

        (10)

        將式(9)和式(10)代入式(6)和式(7),可得:

        (11a)

        (11b)

        (11c)

        (11d)

        這里,式(11a)為控制方程,式(11b)和式(11c)為邊界條件,式(11d)為初始條件。根據(jù)附錄中的推導(dǎo)過(guò)程,式(11)的解可以寫為

        (12)

        由于式(12)中存在積分項(xiàng),較難定量求得。為簡(jiǎn)便應(yīng)用,用一個(gè)二次函數(shù)來(lái)擬合初始含水率分布,以消除積分變量,簡(jiǎn)化計(jì)算。由于z=L時(shí),Θ始終為1,因此令:

        (13)

        式中,a和b為擬合參數(shù)。將式(9)和式(13)代入式(12),并進(jìn)一步化簡(jiǎn),可得定流量入滲階段土體含水率瞬態(tài)分布的解析解表達(dá)式:

        (14)

        1.3.2土表積水階段

        對(duì)于q>ks的情況,假設(shè)土表積水開始時(shí)間為tp。不考慮積水造成的土表水頭堆積的影響,則當(dāng)t>tp時(shí),上邊界條件為恒定含水率邊界條件。

        首先對(duì)于積水時(shí)刻tp,可令式(14)等于1求得。設(shè)此時(shí)的含水率分布為p(z),則p(z)的表達(dá)式為

        (15)

        當(dāng)t>tp時(shí),定義一個(gè)新的時(shí)間變量T=t-tp,將T代入式(6)可得:

        (16)

        在土表積水階段,初始和邊界條件可以表示為

        Θ(z,T)|z=L=1

        (17a)

        Θ(z,T)|z=0=1

        (17b)

        Θ(z,T)|T=0=p(z)

        (17c)

        根據(jù)Carslaw和Jaeger(1959)[25]的解法,式(16)在邊界條件式(17)下的解為

        (18)

        由于式(18)含p(z)函數(shù)未解積分項(xiàng),若直接將式(15)代入求解,算法復(fù)雜,且不能得到其解析表達(dá)式,限制其直接應(yīng)用。因此,我們用二次函數(shù)來(lái)代替式(15),以實(shí)現(xiàn)簡(jiǎn)化。因?yàn)楫?dāng)T=0時(shí),在z=0和z=L處,Θ=1,所以二次函數(shù)的表達(dá)式可寫為

        (19)

        其中,c為擬合參數(shù),利用式(19)擬合式(15)來(lái)可以求得其值。將式(19)代入式(18)可求得存在土表積水階段的含水率分布解析解:

        (20)

        2 算例分析和討論

        本文針對(duì)降雨強(qiáng)度和飽和滲透系數(shù)的關(guān)系,分別進(jìn)行如下兩個(gè)算例討論。如表1所示,在算例1中降雨強(qiáng)度q小于飽和滲透系數(shù)ks;而在算例2中,q大于ks。對(duì)算例1和算例2,均進(jìn)行兩種初始條件(線性和非線性含水率分布)的分析。

        表1 邊界條件和土性參數(shù)Tab.1 The boundary conditions and soil properties

        圖2為降雨強(qiáng)度小于飽和滲透系數(shù)時(shí),不同時(shí)刻土體內(nèi)含水率的分布,其值均由式(14)計(jì)算得出。圖2(a)中,a和b分別賦值0和1來(lái)擬合線性初始含水率分布,而圖2(b)中,a和b分別為2和-1.5。比較圖2(a)和(b),不難發(fā)現(xiàn)初始狀態(tài)對(duì)含水率分布產(chǎn)生非常大的影響。另外,圖2(b)的初始狀態(tài)可認(rèn)為存在較強(qiáng)的前期降雨,由于后期降雨強(qiáng)度小于飽和滲透系數(shù),土體內(nèi)部滲流較快,使得表層土體含水率在t=5 h小于初始含水率。

        圖3展示了降雨強(qiáng)度大于飽和滲透系數(shù)時(shí),不同時(shí)刻土體內(nèi)含水率的分布。其初始狀態(tài)設(shè)定與圖2情況相同。對(duì)圖3(a)和(b),其積水時(shí)刻tp分別為9.69 h和9.39 h,土表邊界在ttp時(shí)上邊界始終維持在飽和含水率,含水率分布由式(20)計(jì)算求得,且以tp時(shí)刻的含水率分布為初始條件。對(duì)應(yīng)圖3中的兩種

        圖2 算例1中不同時(shí)刻土體內(nèi)含水率分布Fig.2 Water content redistribution during infiltration for Case 1

        圖3 算例2中不同時(shí)刻土體含水率分布Fig.3 Water content redistribution during infiltration for Case 2

        情況,式(20)中的擬合參數(shù)c分別為1.53和1.68。隨著時(shí)間推移,含水率分布的變化幅度逐漸變小,并最后趨于穩(wěn)態(tài)。由圖3可見,初始條件不僅影響含水率的大小,而且影響含水率分布形態(tài)。

        3 結(jié) 論

        (1) 基于指數(shù)函數(shù)來(lái)描述土水特征曲線和滲透系數(shù)隨水頭的變化,得到降雨強(qiáng)度大于或小于飽和滲透系數(shù)的入滲過(guò)程解析解。該模型可以考慮任意初始狀態(tài),并且避免了復(fù)雜的數(shù)學(xué)算法表達(dá),無(wú)需借助編程來(lái)實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)計(jì)算,易于應(yīng)用。計(jì)算結(jié)果表明初始狀態(tài)對(duì)入滲過(guò)程的計(jì)算結(jié)果有顯著影響。

        (2) 提出的模型能夠揭示特定情況下的入滲過(guò)程機(jī)理,形式簡(jiǎn)單,能克服數(shù)值模擬的復(fù)雜數(shù)學(xué)算法及計(jì)算收斂問(wèn)題,便于考察入滲過(guò)程的機(jī)理。

        (3) 但同時(shí)需要考慮到,解析解的得出是基于一定的假設(shè)和簡(jiǎn)化。實(shí)際應(yīng)用中,應(yīng)將解析解手段和數(shù)值模擬方法結(jié)合應(yīng)用。

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