☉福建省德化第一中學(xué) 徐建新

在2017 年教育部頒發(fā)的《關(guān)于全面深化課程改革，落實(shí)立德樹(shù)人根本任務(wù)的意見(jiàn)》中，各個(gè)學(xué)科都明確提出了具有學(xué)科特點(diǎn)的核心素養(yǎng).《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》（2017 年版）明確了六大數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，并對(duì)九個(gè)主題提出了具體的核心素養(yǎng)要求，其共同特點(diǎn)是都要求發(fā)展學(xué)生的邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).其中，數(shù)學(xué)運(yùn)算是指在明確運(yùn)算對(duì)象的基礎(chǔ)上，依據(jù)運(yùn)算法則解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的素養(yǎng)，主要表現(xiàn)為：理解運(yùn)算對(duì)象、掌握運(yùn)算法則、探究運(yùn)算思路、形成程序化思維.

筆者覺(jué)得，運(yùn)算素養(yǎng)是在運(yùn)算能力基礎(chǔ)上提出的更高要求，應(yīng)該包括運(yùn)算能力、運(yùn)算意識(shí)、運(yùn)算品質(zhì)、運(yùn)算態(tài)度等.

從教學(xué)實(shí)踐看，高中生數(shù)學(xué)運(yùn)算存在以下幾個(gè)常見(jiàn)問(wèn)題：概念與法則理解不準(zhǔn)確；公式、定理記錯(cuò)；思路不清，答題方向不明確；方法選擇不恰當(dāng)，運(yùn)算煩瑣；表達(dá)條理不清，上下行抄錯(cuò)等.針對(duì)上述問(wèn)題，一方面，要注重培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)算時(shí)細(xì)致、耐心、韌勁、完美等優(yōu)秀的數(shù)學(xué)品質(zhì)；另一方面，即本文要闡述的在教學(xué)中提升高中生數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)的策略問(wèn)題.

一、“概念辨析”有利于“掌握運(yùn)算法則”

核心概念要貫穿高中數(shù)學(xué)教學(xué)的始終.在概念教學(xué)中，通過(guò)符號(hào)變式、圖形變式、語(yǔ)言變式等探究活動(dòng)，辨析概念中的關(guān)鍵字眼，學(xué)生從不同角度對(duì)概念的內(nèi)涵與外延獲得更深刻的理解與認(rèn)識(shí).下面以“函數(shù)概念教學(xué)”為例.

判斷下列對(duì)應(yīng)關(guān)系是否是集合A 到B 上的函數(shù).

（1）A={圓}，B={x|x＞0}，對(duì)應(yīng)關(guān)系f：對(duì)A 中的圓求周長(zhǎng)與B 中的元素對(duì)應(yīng)；

（2）A=R，B=R，對(duì)應(yīng)關(guān)系f：對(duì)A 中的元素取倒數(shù)與集合B 中的元素對(duì)應(yīng)；

（3）A={0，1}，B={0，-1，1}，對(duì)應(yīng)關(guān)系f：對(duì)A 中的元素開(kāi)平方與B 中的元素對(duì)應(yīng)；

（4）A={0，-1，1}，B={0，1}，對(duì)應(yīng)關(guān)系f：x→y=x2，x∈A，y∈B；

（5）A={0，1}，B={0，1，2}，對(duì)應(yīng)關(guān)系f：x→y=x2，x∈A，y∈B.

分析：函數(shù)是特殊的映射，（1）集合A 不是數(shù)集，明確了函數(shù)的特殊所在.以上問(wèn)題是針對(duì)“函數(shù)”的前提“A，B 是非空的數(shù)集”，以及定義中強(qiáng)調(diào)的“三性”：任意性、存在性、唯一性而設(shè)計(jì)的.

二、“公式推導(dǎo)”有利于“理解運(yùn)算公式”

高中數(shù)學(xué)公式具有基礎(chǔ)性、簡(jiǎn)潔性、科學(xué)性、重要性等特點(diǎn).通過(guò)對(duì)公式的推導(dǎo)與證明，了解公式的產(chǎn)生、發(fā)展過(guò)程，以及公式使用的條件、適用范圍等，有利于加深對(duì)運(yùn)算公式的理解.以“基本不等式”為例.

圖1

圖2

圖3

圖4

如圖2，作兩條首尾轉(zhuǎn)接的線段MP，PN，其長(zhǎng)度分別是a，b，則

如圖3，Q，P，R 三點(diǎn)畫線，則PM·PN=PQ·PR=a·b；

三、“一題多解”有利于“選擇運(yùn)算方法”

“一題多解”是指用多角度看一道題，全面利用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題，既開(kāi)拓學(xué)生視野、拓寬解題思路，又培養(yǎng)學(xué)生發(fā)散思維、提高靈活應(yīng)用知識(shí)解決問(wèn)題的能力.在探究“一題多解”的過(guò)程中，要關(guān)注考綱和學(xué)生學(xué)情，關(guān)注解法的選擇.學(xué)生根據(jù)題意選擇更加合理簡(jiǎn)潔的運(yùn)算方法，體現(xiàn)了運(yùn)算的靈活性和普適性.

四、“一題多變”有利于“理解運(yùn)算對(duì)象”

“一題多變”，即“變式教學(xué)”，是數(shù)學(xué)教師較常用的教學(xué)方法之一.通過(guò)對(duì)已知條件、設(shè)問(wèn)方式、求解目標(biāo)等進(jìn)行適當(dāng)變式，有利于學(xué)生充分挖掘問(wèn)題中已知與未知關(guān)系，理解運(yùn)算對(duì)象的變化對(duì)運(yùn)算方法與過(guò)程的影響.

五、“一般問(wèn)題特殊化”有利于“運(yùn)算的簡(jiǎn)潔性”

一般性問(wèn)題往往涉及多個(gè)變量，不容易找到解決問(wèn)題的突破口.“一般問(wèn)題特殊化”就是取變量的特殊值、特殊位置、特殊結(jié)構(gòu)等.比如，字母問(wèn)題數(shù)字化、抽象函數(shù)具體化等.

其依據(jù)是：若命題在一般情況下正確，則在特殊情況下也正確；反之，若在特殊情況下該命題不正確，則在一般情況下也不正確的原理.它避開(kāi)了復(fù)雜的邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算，使得求解過(guò)程更簡(jiǎn)潔，這個(gè)方法在選擇題、填空題中應(yīng)用廣泛，也可以先探求結(jié)論，再證明結(jié)論的普遍性.

例1（2017 年新課標(biāo)卷Ⅰ理11）設(shè)x、y、z 為正數(shù)，且2x=3y=5z，則（ ）.

A.2x＜3y＜5z B.5z＜2x＜3y

C.3y＜5z＜2x D.3y＜2x＜5z

分析：取x=1，則3y=3log32=log38＜2，5z=5log52=log532＞2.所以3y＜2x＜5z，故選D.

六、“特殊問(wèn)題一般化”有利于“形成程序化思維”

“一般問(wèn)題特殊化”應(yīng)用廣泛，特別是不需要運(yùn)算過(guò)程、只需要求得結(jié)論的選擇題和填空題.但對(duì)“特殊問(wèn)題一般化”的方法不夠重視.“特殊問(wèn)題一般化”就是將問(wèn)題放置于更加一般的情景中，得到普適性的結(jié)論與方法，再運(yùn)用于特殊問(wèn)題.一方面，提高對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題的本質(zhì)認(rèn)識(shí)；另一方面，一般化后的數(shù)學(xué)問(wèn)題往往含多個(gè)字母，對(duì)提升數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)大有益處.下面以雙曲線的中點(diǎn)弦為例進(jìn)行說(shuō)明.

例2（人教A 選修2-1.P80.9）經(jīng)過(guò)點(diǎn)M（2，1）作直線l 與雙曲線交于A，B 兩點(diǎn)，且M 為AB 的中點(diǎn)，求直線l 的方程.

分析：該問(wèn)題的常用解法有三種，其中用“點(diǎn)差法”求斜率后寫出方程最常用，其前提是所求直線的斜率是存在的.因此，需要將問(wèn)題一般化，判斷中點(diǎn)弦存在的條件.

一般化：經(jīng)過(guò)點(diǎn)M（x0，y0）作直線l 與雙曲線=1（a>0，b>0）交于A，B 兩點(diǎn)，且M 為AB 的中點(diǎn)，求直線l 的方程.

這個(gè)求解過(guò)程是全字母運(yùn)算，運(yùn)算目標(biāo)要明確，運(yùn)算方向要清晰，運(yùn)算過(guò)程要細(xì)心，心理活動(dòng)要堅(jiān)定，運(yùn)算結(jié)果要合理（對(duì)稱性）.

七、“反思完善”有利于“運(yùn)算的嚴(yán)謹(jǐn)性”

反思對(duì)于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)至關(guān)重要，對(duì)數(shù)學(xué)解題更是如此，不但要反思解題過(guò)程是否正確、完整，對(duì)存在的漏洞要進(jìn)行修正補(bǔ)充，還要反思算理依據(jù)是否明確，在改變條件時(shí)，才不至于出錯(cuò).以一道常見(jiàn)的函數(shù)極值問(wèn)題為例.

例3已知函數(shù)f（x）=x3+ax2+bx+a2在x=1 處有極值為10，則a=______，b=______.

學(xué)生錯(cuò)解：

錯(cuò)因分析：當(dāng)，時(shí)，f′（x）=3x2-6x+3=3（x-1）2≥0，函數(shù)f（x）在R 上單調(diào)遞增，無(wú)極值點(diǎn).正確答案只有

反思：若x=x0是函數(shù)f（x）的極值點(diǎn)，則f′（x0）=0；但f′（x0）=0 時(shí)，x0不一定是f（x）的極值點(diǎn).