☉江蘇省奔牛高級中學(xué) 林美仙

對數(shù)學(xué)事實和理論進行高度提煉、概括所得的本質(zhì)認識即為我們通常所講的數(shù)學(xué)思想，數(shù)學(xué)思想這一數(shù)學(xué)知識與方法產(chǎn)生的根本源泉對于解決數(shù)學(xué)問題來說無異于指路明燈.華麗的“包裝”對于試題來說遠遠比不上其本身所蘊含的思想方法.教師在實際教學(xué)中應(yīng)努力體現(xiàn)數(shù)學(xué)思想的價值并引導(dǎo)學(xué)生對多種解法進行全方位、多角度的思考，使學(xué)生能夠在多維思考與探究的過程中進行不同知識間聯(lián)系的溝通，順利構(gòu)建知識網(wǎng)絡(luò)并獲得發(fā)散思維的鍛煉，并因此在不同的切入口進行思維與鍛煉的過程中獲得數(shù)學(xué)能力與核心素養(yǎng)的發(fā)展.本文著眼于一道基礎(chǔ)測試題的解法探究，主要談?wù)劰P者在解題教學(xué)中滲透數(shù)學(xué)思想、內(nèi)化素養(yǎng)的一些思考和體會.

一、各種視角下的解題探究

試題已知實數(shù)x，y 滿足x2+xy+4y2=1，則x+2y 的最大值為______.

視角1.構(gòu)造思想

構(gòu)造法運用于解題主要是數(shù)學(xué)式子或模型的構(gòu)建，這需要對已知條件與問題進行觀察和分析并聯(lián)系已有知識來實現(xiàn).本題的解決可以利用重要不等式x，y∈R，x2+y2≥2xy，當且僅當x=y 時取等號.

視角2.函數(shù)與方程思想

利用函數(shù)概念和性質(zhì)對問題進行分析、轉(zhuǎn)化和解決即為函數(shù)思想的運用，方程思想則是著眼于問題的數(shù)量關(guān)系進行轉(zhuǎn)化和數(shù)學(xué)模型的建構(gòu)，方程、不等式和不等式組是運用方程思想解題的主要形式.

令x+2y=t，則直線x+2y=t 和曲線x2+xy+4y2=1 有交點.

視角3.換元思想

又被稱作輔助元素法和變量代換法的換元法需要引進新的變量，問題中分散的條件及隱含的條件因此得以聯(lián)系與顯露，在此基礎(chǔ)上所進行的條件與結(jié)論的聯(lián)系往往能使問題獲得轉(zhuǎn)化.三角換元解決此題是完全可行的.

視角4.等價轉(zhuǎn)換思想

當問題比較難以解決時，教師可以引導(dǎo)學(xué)生將需要解決或者較難解決的問題進行某種轉(zhuǎn)化，使問題最終歸結(jié)為一類已經(jīng)解決或者比較容易解決的問題，這種思想即為等價轉(zhuǎn)換，等價轉(zhuǎn)換思想用于解題思考也是一種有效的方法.應(yīng)用1 的代換與齊次化方法解決本題一樣可行.

視角5.數(shù)形結(jié)合思想

運用數(shù)形結(jié)合思想解題的關(guān)鍵在于數(shù)形之間的相互轉(zhuǎn)化，也就是運用代數(shù)方法對幾何問題進行處理和解決，或者根據(jù)問題的已知條件進行構(gòu)圖來解決代數(shù)問題.構(gòu)造三角形并利用正弦余弦定理解決這一問題一樣可行.

因為x2+xy+4y2=1，當x＞0，y＞0 時，x+2y 可取最大值.令2y=t，則

圖1

根據(jù)正弦定理可得：

視角6.特殊化思想

數(shù)學(xué)高考試題往往變化多端且深淺難測，充分挖掘隱藏于問題之中的特殊因素能使解題更加簡捷，很多煩瑣的運算、作圖與推理往往會因此避開，一些意想不到且新穎獨特的解法也會因此產(chǎn)生.利用特殊因素對解題進行特殊的思維即為特殊化思想視角下的解題.事實上，高考試題中的不少選擇題與填空題可以運用特殊化思想實現(xiàn)順利解題.

令x=2y，則由x2+xy+4y2=1，可得10y2=1，所以y=.因此x+2y 的最大值為

二、教學(xué)思考

1.幫助學(xué)生在解題中領(lǐng)悟數(shù)學(xué)思想

幫助學(xué)生解決數(shù)學(xué)問題自然不會是數(shù)學(xué)教學(xué)的根本目的，數(shù)學(xué)教學(xué)的根本目的應(yīng)該是幫助學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中領(lǐng)悟數(shù)學(xué)思想并學(xué)會具體的應(yīng)用，也就是說，教師幫助學(xué)生學(xué)會運用數(shù)學(xué)思想解決實際問題才是最根本的.不過，學(xué)生僅憑教師的講授是無法真正熟練掌握數(shù)學(xué)思想的，教師必須進行針對性的反復(fù)訓(xùn)練，才能幫助學(xué)生在實際應(yīng)用中進行揣摩并學(xué)會靈活運用.教師應(yīng)有意識地引導(dǎo)學(xué)生思考解題并使其思維模式獲得最大化的提高.學(xué)生的思考過程在缺失教師引領(lǐng)的情況下往往會產(chǎn)生一定的錯誤或發(fā)生偏差，因此，教師在實際教學(xué)中一定要注意典型題目的講解，使學(xué)生能夠在一些典型的、具有代表性的解題教學(xué)中獲得啟發(fā)，不斷萌發(fā)學(xué)習(xí)興趣并因此逐步提升自己的學(xué)習(xí)效率、創(chuàng)造能力與思維能力.

2.幫助學(xué)生在知識發(fā)生中領(lǐng)悟數(shù)學(xué)思想

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)有一定的層次之分，理論知識屬于相對較淺層次的學(xué)習(xí)，數(shù)學(xué)思想則屬于相對較深層次的學(xué)習(xí).數(shù)學(xué)知識的熟練掌握是數(shù)學(xué)思想學(xué)習(xí)與領(lǐng)悟的基礎(chǔ).表層知識的學(xué)習(xí)在教師的傳授中一般能獲得較為理想的效果，但深層的數(shù)學(xué)思想?yún)s離不開學(xué)生自己的領(lǐng)悟與體會，而且這必須建立在學(xué)生已經(jīng)熟練掌握知識并知識積累達到一定的程度才能實現(xiàn).支撐、統(tǒng)帥表層知識的數(shù)學(xué)思想這一深層次的學(xué)習(xí)離不開學(xué)生對這一學(xué)科精髓的深層理解.因此，教師在實際教學(xué)中一定要加以深層次知識的灌輸并使表層知識、深層思想都能得到有意義的傳授，使學(xué)生在雙管齊下的教學(xué)模式中獲得思維最大化的發(fā)展和提高.

數(shù)學(xué)思想方法與操作程序是兩個完全不同的概念，數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)自然沒有具體的步驟，需要的是學(xué)生在熟練掌握知識基礎(chǔ)之上的深層領(lǐng)悟與理解，只有這樣，學(xué)生在解題時才能快速尋得準確的解題方向.本文所闡述的各種不同視角下的解題，實際上是對學(xué)生感悟數(shù)學(xué)思想的引領(lǐng).筆者在上述章節(jié)中闡述的各種數(shù)學(xué)思想在近年來的數(shù)學(xué)高考試題中均有所體現(xiàn)，試題難度的上升也將數(shù)學(xué)思想方法在解題中的作用體現(xiàn)得越發(fā)明顯.教師在實際教學(xué)中應(yīng)多加重視數(shù)學(xué)思想在解題中的引領(lǐng)并啟發(fā)學(xué)生進行多種解法的思考.滲透數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)能幫助學(xué)生在傳統(tǒng)的知識學(xué)習(xí)中獲得轉(zhuǎn)型，使學(xué)生能夠在知識型學(xué)習(xí)向能力型學(xué)習(xí)的轉(zhuǎn)化中獲得有意義的啟發(fā)與領(lǐng)悟.