☉南京市第九中學(xué) 尤榮勇

函數(shù)的零點(diǎn)在很多時(shí)候能確定其存在，但又無法直接求解出來，這樣的零點(diǎn)我們稱之為“隱零點(diǎn)”.無論是在各地的高考模擬題中，還是在高考真題中，隱零點(diǎn)問題屢見不鮮，儼然成為壓軸試題中的一道風(fēng)景線.究其原因，筆者認(rèn)為，它具有靈活性大、邏輯性強(qiáng)、綜合性廣的特點(diǎn)，是考查邏輯推理、轉(zhuǎn)化與化歸能力很好的素材，因而備受命題者的青睞，而這類問題又是教學(xué)中的難點(diǎn)之一.筆者根據(jù)自己的教學(xué)實(shí)踐，對試題中隱零點(diǎn)問題進(jìn)行題型歸類、分類剖析，供同仁教學(xué)時(shí)參考，不當(dāng)之處，敬請斧正，希望能起到拋磚引玉的作用.

題型一、構(gòu)造函數(shù)試零點(diǎn)，證明超越不等式

例1（2013 年普通高等學(xué)校招生北京卷第18 題（2））求證

思維導(dǎo)引：作差構(gòu)造輔助函數(shù)f（x）=t（x）-h（x），將原不等式證明問題轉(zhuǎn)化為求f（x）的最值問題，是證明超越不等式t（x）≤h（x）的常見思路之一.

證 明：設(shè)f（x）=-x+1，則f ′（x）=-1=，不妨設(shè)g（x）=1-x2-lnx，則g′（x）=-2x-＜0，所以g（x）在（0，+∞）上為減函數(shù).又g（1）=1-1=0，所以當(dāng)0＜x＜1時(shí)，g（x）＞0，f ′（x）＞0；當(dāng)x＞1時(shí)，g（x）＜0，f ′（x）＜0.所以f（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞減，在（0，1）上單調(diào)遞增.所以f（x）max=f（1）=0.所以f（x）≤0 恒成立.所以≤x-1.

難點(diǎn)剖析：f′（x）=-1 不易判斷符號，如果導(dǎo)函數(shù)的解析式能轉(zhuǎn)化為具有分式特征且容易判斷出分母符號的形式，此時(shí)往往將分子看成一個(gè)新的函數(shù)g（x），研究g（x）的符號從而得出f′（x）的符號.對于函數(shù)g（x）=1-x2-lnx，f（x）=-x+1，無法直接求其零點(diǎn)，首先借助函數(shù)的導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性，再通過嘗試其零點(diǎn)，不難發(fā)現(xiàn)g（1）=0，f（1）=0，原不等式證明可轉(zhuǎn)化為f（x）≤0 恒成立.其中對于函數(shù)式中含有l(wèi)nx 時(shí)，可試零點(diǎn)x=et（其中t值可根據(jù)情況而取值）.

題型二、待定系數(shù)設(shè)零點(diǎn)，挖掘關(guān)系找聯(lián)系

例2（2018 年江蘇省蘇州、無錫、常州、鎮(zhèn)江市高三年級第三次聯(lián)考模擬試題第19 題）已知函數(shù)f（x）=x3+ax2+bx+1，a，b∈R.若a2+b=0.

（1）當(dāng)a＞0 時(shí)，求函數(shù)f（x）的極值（用a 表示）.

（2）若f（x）有三個(gè)相異零點(diǎn)，問：是否存在實(shí)數(shù)a 使得這三個(gè)零點(diǎn)成等差數(shù)列？若存在，試求出實(shí)數(shù)a 的值；若不存在，請說明理由.

思維導(dǎo)引：系數(shù)中含有參數(shù)的三次函數(shù)的零點(diǎn)無法直接求出，不妨通過待定系數(shù)法設(shè)出其零點(diǎn)，從而找出它們之間的聯(lián)系.

解析：（1）由f′（x）=3x2+2ax+b 及a2+b=0，得f′（x）=3x2+2ax-a2.令f′（x）=0，解得或x=-a.由a＞0 知，當(dāng)x∈（-∞，-a）時(shí)，f′（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，f′（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，f′（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增.所以f（x）的極大值為f（-a）=1+a3，f（x）的極小值為

（2）當(dāng)a=0 時(shí)，b=0，此時(shí)f（x）=x3+1 不存在三個(gè)相異零點(diǎn).

當(dāng)a＜0 時(shí)，與（1）同理可得f（x）的極小值為f（-a）=1+a3，f（x）的極大值為

所以當(dāng)a≠0時(shí)，要使 f（x）有三個(gè)不同零點(diǎn)，則必須有（，解得a3＜-1 或

法一：不妨設(shè)f（x）的三個(gè)零點(diǎn)為x1，x2，x3，且x1＜x2＜x3，則：

法二：前面同法一求出a3＜-1 或.不妨設(shè)f（x）的三個(gè)零點(diǎn)為x1，x2，x3，且x1＜x2＜x3，則f（x）=（x-x1）·（xx2）（x-x3）=x3-（x1+x2+x3）x2+（x1x2+x2x3+x1x3）x-x1x2x3=x3+ax2+bx+1，則-（x1+x2+x3）=a.又三個(gè)零點(diǎn)x1，x2，x3成等差數(shù)列，所以-3x2=a，x2=.又，解得，所以存在這樣實(shí)數(shù)a，且

難點(diǎn)剖析：法一設(shè)出函數(shù)三個(gè)隱零點(diǎn)，代入函數(shù)一般式f（x）=x3+ax2+bx+1 得到三個(gè)方程.如何找出三個(gè)隱零點(diǎn)之間的關(guān)系？通過循環(huán)作差得到兩個(gè)方程，二次作差后三個(gè)隱零點(diǎn)關(guān)系躍然紙上；法二設(shè)出函數(shù)的零點(diǎn)式，展開后與一般式對比，運(yùn)用系數(shù)相等，三個(gè)隱零點(diǎn)之間的關(guān)系顯然易見.法二的本質(zhì)是運(yùn)用高次函數(shù)（方程）的韋達(dá)定理，找出根與系數(shù)的關(guān)系.

題型三、已知零點(diǎn)個(gè)數(shù)求參數(shù)，運(yùn)用定理去賦值

例3（2017 年全國新課標(biāo)卷Ⅰ理科第21 題）已知函數(shù)f（x）=ae2x+（a-2）ex-x.

（1）討論f（x）的單調(diào)性；

（2）若函數(shù)f（x）有兩個(gè)零點(diǎn)，求a 的取值范圍.

思維導(dǎo)引：f（x）的定義域?yàn)镽，根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)存在性定理，若f（a）f（b）＜0，則f（x）在（a，b）內(nèi)有零點(diǎn)，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性，可以確定零點(diǎn)個(gè)數(shù).

解析：（1）f（x）的定義域?yàn)椋?∞，+∞），f ′（x）=2ae2x+（a-2）ex-1=（aex-1）（2ex+1）.

若a≤0，則f′（x）＜0，所以f（x）在（-∞，+∞）上單調(diào)遞減.

若a＞0，由f ′（x）=0，得x=-lna.當(dāng)x ∈（-∞，-lna）時(shí)，f ′（x）＜0；當(dāng)x∈（-lna，+∞）時(shí)，f ′（x）＞0.所以f（x）在（-∞，-lna）上單調(diào)遞減；在（-lna，+∞）上單調(diào)遞增.

（2）若a≤0，由（1）知，所以f（x）在（-∞，+∞）上單調(diào)遞減，f（x）至多一個(gè)零點(diǎn)，不滿足題意.

①當(dāng)a=1 時(shí)，f（-lna）=0，故f（x）僅有一個(gè)零點(diǎn)x=0；

②當(dāng)a＞1 時(shí)，f（x）min=f（-lna）=1-+lna＞0，故f（x）沒有一個(gè)零點(diǎn)；

③當(dāng)0＜a＜1時(shí)，f（x）min=f（-lna）=1-+lna＜0，而f（-1），故f（x）在（-1，-lna）內(nèi)有一個(gè)零點(diǎn)；

綜上所述，當(dāng)函數(shù)f（x）有兩個(gè)零點(diǎn)時(shí)，a∈（0，1）.

難點(diǎn)破析：如何想到賦值？直接解f（x）=ae2x+（a-2）ex-x＞0 顯然不現(xiàn)實(shí).函數(shù)f（x）的解析式是三個(gè)基本初等函數(shù)的組合，當(dāng)x→+∞時(shí)，ae2x→+∞2，（a-2）ex→-∞，x→+∞，決定f（x）的符號的關(guān)鍵項(xiàng)為ae2x.在不影響函數(shù)f（x）符號的前提下，可利用不等式x≤ex-1

題型四、抽絲剝繭隱零點(diǎn)，設(shè)而不求代整體

例4（2017 年全國新課標(biāo)卷Ⅱ理科第21 題）已知函數(shù)f（x）=ax2-ax-xlnx，且f（x）≥0.

（1）求a；

（2）證明：f（x）存在唯一的極大值點(diǎn)x0，且

思維導(dǎo)引：可導(dǎo)函數(shù)f（x）存在極值點(diǎn)的必要條件是其對應(yīng)的導(dǎo)函數(shù)f′（x）存在零點(diǎn)x0，不難發(fā)現(xiàn)該零點(diǎn)x0是隱零點(diǎn)，想方設(shè)法找出x0應(yīng)該滿足的關(guān)系.

解析：（1）f（x）=x（ax-a-lnx）≥0?ax-a-lnx≥0.設(shè)g（x）=ax-a-lnx，則.當(dāng)a≤0 時(shí)，g′（x）＜0，g（x）在（0，+∞）上遞減，且g（1）=0，則當(dāng)x≥1 時(shí)，g（x）≤0，不符合題意，故a＞0.當(dāng)0＜x＜時(shí)，g′（x）＜0，當(dāng)x＞時(shí)，g′（x）＞0，從而g（x）在上遞減，在上遞增.所以，又g（1）=0，所以，得a=1.

（2）由（1）知f（x）=x2-x-xlnx，則f ′（x）=2x-2-lnx，（f ′（x））′=

難點(diǎn)剖析：函數(shù)f（x）的極大值點(diǎn)是其導(dǎo)函數(shù)f′（x）=2x-2-lnx 的零點(diǎn)，該零點(diǎn)確實(shí)存在，卻無法求解出來，不妨設(shè)函數(shù)f′（x）的隱零點(diǎn)為x0，將f（x0）函數(shù)值中的lnx0用2x0-2 整體代換，同時(shí)注意確定x0的合適范圍：，這樣逐層轉(zhuǎn)化、抽絲剝繭，問題便迎刃而解.

題型五：借助函數(shù)單調(diào)性，刻畫零點(diǎn)的性質(zhì)

例5（2018 年全國新課標(biāo)卷Ⅱ理科第21 題）已知函數(shù)f（x）=ex-ax2.

（1）略；

（2）若f（x）在（0，+∞）上只有一個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a.

思維導(dǎo)引：f（0）=1＞0，又易見x→+∞時(shí)，f（x）＞0，f（x）在（0，+∞）上只有一個(gè)零點(diǎn)，即要求f（x）的極小值為0.

解析：當(dāng)a≤0 時(shí)，因?yàn)閤∈（0，+∞）時(shí)f′（x）=ex-2ax＞0，所以f（x）在（0，+∞）上為增函數(shù).又f（0）=1＞0，所以f（x）在（0，+∞）上沒有零點(diǎn).

當(dāng)a＞0 時(shí)，令f′（x）=ex-2ax，（f′（x））′=ex-2a.

圖1

圖2

圖3

難點(diǎn)剖析：a＞0 時(shí)，對可導(dǎo)函數(shù)f（x）來說，可以通過原函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)的符號，研究其一階導(dǎo)數(shù)的單調(diào)性，通過一階導(dǎo)數(shù)的符號，研究原函數(shù)的單調(diào)性.原函數(shù)的唯一零點(diǎn)就是其極小值點(diǎn).

綜上所述，隱零點(diǎn)問題出現(xiàn)的背景形式多樣，靈活多變，與隱零點(diǎn)有關(guān)的試題已經(jīng)逐漸成為模擬試題乃至高考真題中的熱點(diǎn)、流行色，久考不衰，應(yīng)引起我們教師的重視！當(dāng)然對于以上各類問題，筆者僅僅從隱零點(diǎn)角度去剖析、甄別，至于其他角度，這里就不再一一贅述.