☉江蘇省如皋市第二中學(xué) 黃 榮

代換法，是高中數(shù)學(xué)解題的一種基本方法，對(duì)于一些復(fù)雜的問(wèn)題，為了解決問(wèn)題，我們通常采用轉(zhuǎn)化題目中數(shù)量關(guān)系的手段，將一種問(wèn)題轉(zhuǎn)化為另一種問(wèn)題來(lái)解決，起到化難為易的作用，這種代換法靈活多變，通常與其他解題方法相結(jié)合，巧妙出現(xiàn)在解題過(guò)程中.高中數(shù)學(xué)中有哪些代換法呢？本文加以研究，供大家參考.

一、代數(shù)問(wèn)題與三角問(wèn)題的代換

把已知條件中的三角關(guān)系式用代數(shù)式替換，有時(shí)往往能起到規(guī)避三角討論的作用；而把已知條件中的某些代數(shù)式用三角式來(lái)代換，利用三角函數(shù)性質(zhì)，有時(shí)也會(huì)給解題帶來(lái)意想不到的快捷效果.

例1如果?x∈R 和?θ∈］都有（x+3+2sinθcosθ）2+（x+asinθ+acosθ）2≥成立，試求實(shí)數(shù)a 的取值范圍.

解析：因?yàn)轭}目中同時(shí)出現(xiàn)sinθ+cosθ 和sinθcosθ，而（sinθ+cosθ）2=1+2sinθcosθ，于是想到換元法，將已知條件中的三角關(guān)系式用代數(shù)式替換.令t=sinθ+cosθ，則sinθcosθ=.因?yàn)椋?，所?/p>

于是原不等式可化為（x+t2+2）2+（x+at）2≥，即2x2+2（t2+at+2）x+t4+（4+a2）t2+4-≥0.

因?yàn)樯鲜?x∈R 恒成立，所以Δ≤0，即（t2-at+2）2≥

點(diǎn)評(píng)：本題告訴我們，當(dāng)已知條件中同時(shí)出現(xiàn)正弦與余弦的和（差）與積時(shí)，一般可利用代數(shù)代換轉(zhuǎn)化為非三角函數(shù)問(wèn)題.當(dāng)然有些非三角函數(shù)問(wèn)題，同樣可以利用三角代換轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)問(wèn)題，例如：實(shí)數(shù)x，y 滿足x2-3xy+y2=2，求x2+y2的最小值.本題可令x2+y2=S＞0，則有，代入x2-3xy+y2=2，可得S-3Ssinαcosα=2，即，以下略，請(qǐng)讀者試一試，答案：

二、連續(xù)變量與離散變量的代換

在某些問(wèn)題中，通過(guò)連續(xù)變量與離散變量的代換，將一個(gè)代數(shù)式代換成另一個(gè)含有相同字母的代數(shù)式，有時(shí)可以達(dá)到出奇制勝的解題效果，這種代換體現(xiàn)了數(shù)學(xué)解題思維的靈活性與多向性.

化簡(jiǎn)得b2c2+c2a2+a2b2≥abc（a+b+c）.

因?yàn)閍，b，c∈R+，故≥abc.

點(diǎn)評(píng)：本題（1）是函數(shù)方程的一種解法，從已知函數(shù)方程出發(fā)，通過(guò)代換得到另一個(gè)函數(shù)方程，然后聯(lián)立方程組得到所求函數(shù)；而本題（2）則從一個(gè)已知不等式出發(fā)，通過(guò)倒數(shù)代換，“變出”欲證不等式.可見(jiàn)這種代換的神奇功效.

三、二元對(duì)稱代換與對(duì)偶代換

對(duì)于某些二元輪換式，可以嘗試二元對(duì)稱代換，或?qū)ε即鷵Q，同樣可以收到出奇制勝、快速解題的理想效果.這種方法常見(jiàn)于三角函數(shù)問(wèn)題中，體現(xiàn)了同角三角函數(shù)關(guān)系式和三角恒等變換公式的靈活應(yīng)用.

例3cos210°+cos250°-sin40°sin80°=______.

分析：本題通過(guò)降次與和差化積來(lái)求解，解題過(guò)程煩瑣冗長(zhǎng).如果注意到sin40°=cos50°和sin80°=cos10°，而且代數(shù)式關(guān)于cos10°與cos50°對(duì)稱，則可構(gòu)造二元對(duì)稱代換求解.

點(diǎn)評(píng)：本題基于抓住問(wèn)題的本質(zhì)，找到角與函數(shù)的聯(lián)系，通過(guò)靈活構(gòu)造，使原問(wèn)題得到巧妙獲解.這種解法體現(xiàn)了數(shù)學(xué)解題的創(chuàng)新性，能培養(yǎng)解題者的創(chuàng)新思維.

四、相似代換與等值代換

在解某些問(wèn)題時(shí)，為了解題的需要我們往往把某些量替換成另外一種形式，如把n（n-1）替換成，2α 用（α+β）+（α-β）作等量代換.有時(shí)為了解題的方便也不一定是等量代換，而是相似代換，同樣可以達(dá)到不凡的解題效果.

例4是否存在常數(shù)a、b、c 使得等式1·22+2·32+…+n（n+1）2=（an2+bn+c）對(duì)任意n∈N*均成立？并證之.

與原式作對(duì)比得，當(dāng)a=3，b=11，c=10 時(shí)，題中的等式對(duì)任意n∈N*成立.

點(diǎn)評(píng)：本題采用了等值代換的方法，將原數(shù)列求和問(wèn)題轉(zhuǎn)化為組合數(shù)求和問(wèn)題，思維的難點(diǎn)在于找到n（n+1）2=這個(gè)恒等式并巧妙地利用組合數(shù)公式，解題過(guò)程體現(xiàn)了兩個(gè)字：智與巧.有“智”方可生“巧”，從中可以看出，數(shù)學(xué)解題從某個(gè)角度來(lái)看，是培養(yǎng)人的智慧的有效途徑.

五、部分代換與整體代換

對(duì)于某些分類討論的問(wèn)題和復(fù)合函數(shù)的問(wèn)題，我們通常采用部分代換與整體代換來(lái)化解難點(diǎn)，化繁為簡(jiǎn)，使整個(gè)解題過(guò)程便于觀察與分析，也可大大減少書(shū)寫(xiě)量.

例5已知f（x）=lg（1+x）-x 在［0，+∞）上遞減，解關(guān)于x 的不等式

點(diǎn)評(píng)：本題采用了整體代換，將不等式中的某一部分看成一個(gè)整體，再將這個(gè)整體的取值范圍求出來(lái)，最后再解關(guān)于這個(gè)整體中的x 的不等式，從本質(zhì)上看就是將一個(gè)復(fù)雜的不等式變成兩個(gè)簡(jiǎn)單的不等式來(lái)解，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)解題化歸思想中的化復(fù)雜為容易的原則.