☉湖北省通山縣第一中學(xué) 黃崇楹

雖數(shù)學(xué)題目變幻無窮，但數(shù)學(xué)思想方法相對不變.在圓錐曲線與方程這一部分內(nèi)容中，運(yùn)用相關(guān)數(shù)學(xué)思想進(jìn)行解題，往往會收到出其不意的效果，以下聯(lián)系幾則實(shí)例進(jìn)行剖析，以期對學(xué)生解題能有一定的啟發(fā).

一、數(shù)形結(jié)合思想

數(shù)形結(jié)合在求解圓錐曲線問題中主要體現(xiàn)在以下兩個方面：一是通過“數(shù)”的精準(zhǔn)性呈現(xiàn)“形”的某一屬性；二是通過“形”的幾何特性來呈現(xiàn)“數(shù)”之間的某一種關(guān)系.

例1已知圓的曲線方程M：，是一定點(diǎn)，在圓M 上有一動點(diǎn)P，點(diǎn)Q 和G分別在NP、MP 上，且滿足，請嘗試求點(diǎn)G 的軌跡方程.

解析：如圖1，由，，得Q 為NP 的中點(diǎn)且GQ⊥PN，所以GQ為NP的中垂線.因此，從而因此，點(diǎn)G 的軌跡是長半軸長a=3，焦點(diǎn)為M、N的橢圓.故點(diǎn)G的軌跡方程是=1（y≠0）.

圖1

點(diǎn)評：因本題條件繁多，假設(shè)通過轉(zhuǎn)移法（或相關(guān)點(diǎn)法）求解點(diǎn)G 的軌跡方程，相對過程較為繁雜，且易出現(xiàn)一些錯誤，借助數(shù)形結(jié)合的思想進(jìn)行處理，顯而易見，直觀簡潔，事半功倍.

二、函數(shù)與方程思想

曲線的方程和方程的曲線有著天然的聯(lián)系，曲線方程也可適當(dāng)變形，變成函數(shù).曲線和方程，方程和函數(shù)，三者之間的合理轉(zhuǎn)化，便可將有關(guān)曲線問題“演繹”成二元二次方程組的問題、一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系問題、一元二次函數(shù)的最值問題等.

例2已知橢圓（a＞b＞0）的長軸長為4，右頂點(diǎn)為A，在橢圓上存在一點(diǎn)P，使OP⊥PA，求短軸長的取值范圍.

點(diǎn)評：將b2用x0的函數(shù)來表示，然后，由0＜x0＜2 可以求得該函數(shù)的值域，函數(shù)與方程思想體現(xiàn)得淋漓盡致.另外，x0也可以表示成b2的函數(shù)，于是原問題就變成了一個關(guān)于b2的不等式，再求之.我們還可利用方程③的根的分布：一個根為2，另一個根位于區(qū)間（0，2）內(nèi)，將其轉(zhuǎn)化為根的分布問題也可讓問題輕松獲解.總之，方程及函數(shù)思想方法是解決圓錐曲線相關(guān)問題的一條有效路徑.

三、分類討論思想

在圓錐曲線問題中，常常會出現(xiàn)第三個量，即參數(shù)，采用分類討論的策略是一條有效的路徑.分類討論，并非無章可循，有時按圓錐曲線的類型分類，有時按聯(lián)立方程后方程的解的情形分類，但無論是哪種分類，必須縝密嚴(yán)謹(jǐn)做到有理有據(jù)、不重不漏.

例3當(dāng)m 變化時，討論方程mx2+（2-m）y2=1 表示曲線的形狀.

解析：（1）當(dāng)m＜0時，方程表示焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線；

（4）當(dāng)m=1 時，方程表示圓x2+y2=1；

點(diǎn)評：數(shù)學(xué)解題，應(yīng)以概念、公式、定理、法則等為準(zhǔn)則，而這些數(shù)學(xué)中的要素往往相互制約，牽一發(fā)而動全身，所以必須分類討論.本題由于m 取不同的值會導(dǎo)致曲線的類型有異，所以必須將其全面討論，雖然略顯煩瑣，但體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的嚴(yán)密性.

四、化歸思想

化歸，其實(shí)就是等價轉(zhuǎn)化，將要解決的新問題轉(zhuǎn)化為已經(jīng)解決的老問題.如何轉(zhuǎn)化，我們必須對問題進(jìn)行全面分析，將它與已經(jīng)學(xué)習(xí)的知識相聯(lián)系，方程向圖形轉(zhuǎn)化、動點(diǎn)向不動點(diǎn)轉(zhuǎn)化、實(shí)際問題通過建模向數(shù)學(xué)問題轉(zhuǎn)化……總而言之，轉(zhuǎn)化就是化新為舊，化生為熟，化繁為簡，化未知為已知，化出數(shù)學(xué)解題新天地.

例4已知橢圓C 的方程是，試確定m 的取值范圍，使得對直線l：y=4x+m，橢圓C 上有不同的兩點(diǎn)P、Q 關(guān)于該直線對稱.

解法1：設(shè)橢圓C 上關(guān)于直線l 對稱的兩點(diǎn)為P（x1，y1），Q（x2，y2），其所在直線方程為，代入橢圓方程3x2+4y2=12，整理得13x2-8bx+16b2-48=0.

解法2：設(shè)PQ 的中點(diǎn)坐標(biāo)為M（x0，y0），由解法1 知消去y0，把代入可得，所以x0=-m.

由于中點(diǎn)M的位置介于P，Q之間，所以必有不等關(guān)系（x1-x0）（x2-x0）＜0，由此可得.經(jīng)驗(yàn)證，當(dāng).適合條件的P、Q 存在，所以.故所求m的取值范圍為

點(diǎn)評：解法1體現(xiàn)了解析幾何問題常用的對稱思想，數(shù)形結(jié)合是根本；解法2 體現(xiàn)了解析幾何問題常用的不等式思想，建立方程組是關(guān)鍵.從兩種不同的方法中可以看出，思考問題的角度不同，會得到不同的方法，兩法難易不同，各有千秋，每一種方法都體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學(xué)思想.

總之，數(shù)學(xué)思想能使學(xué)生從本質(zhì)上認(rèn)識數(shù)學(xué)知識與方法，是學(xué)生形成良好認(rèn)識的結(jié)構(gòu)紐帶，也是學(xué)生將知識轉(zhuǎn)化成為能力與素養(yǎng)的橋梁，因此，在日常數(shù)學(xué)活動中，學(xué)生務(wù)必要高度重視數(shù)學(xué)思想方法的習(xí)得.